Convexity Properties of Hamiltonian Group Actions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society, Centre de Recherches Mathematiques

作者:Victor Guillemin and Reyer Sjamaar

出品人:

页数:82

译者:

出版时间:2006-9-8

价格:USD 36.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821842362

丛书系列:

图书标签:

• 哈密顿群作用
• 凸性
• 群论
• 拓扑学
• 微分几何
• 李群
• 李代数
• 不动点理论
• 代数拓扑
• 几何群论

凸性与群作用在数学物理中的交叉研究 本书旨在对现代数学物理领域中一个核心且快速发展的交叉学科——凸性理论与哈密顿群作用的相互作用——进行一次深入而全面的探讨。本书并非专注于哈密顿动力学中的特定应用或某一种群作用的专门研究，而是着重于利用几何分析、拓扑学以及泛函分析中的工具，来理解和量化涉及李群和李代数作用的系统中的凸性结构。 全书结构分为五个主要部分，每一部分都以前沿研究的深度和广度为目标。 --- 第一部分：基础框架与几何化（Foundational Framework and Geometric Formalism） 本部分首先为读者奠定坚实的理论基础，重点回顾并深化了理解凸性在无限维空间中如何被重新定义和应用的必要概念。 1. 广义凸集与变分原理的联系： 我们不再局限于传统的欧几里得空间中的凸集定义。本章详细介绍了K-凸集（K-convex sets）、强凸性（Strong convexity）在黎曼流形上的推广，特别是当流形配备有特定的对称性结构时。引入了次梯度分析（Subgradient analysis）在非光滑优化问题中的作用，并展示了如何将哈密顿系统的能量泛函视为一个具有特定对称性约束的凸函数。 2. 辛几何与对称空间（Symplectic Geometry and Symmetric Spaces）： 深入探讨了李群作用在辛流形上的哈密顿性的几何本质。重点分析了作用群$G$如何作用于相空间$(M, omega)$，产生一套满足Noether定理的守恒量。在此基础上，我们引入了阿诺索夫流（Anosov flows）和泊松极限的概念，将群作用的动力学特性与流形的几何结构（如常曲率空间）中的凸性联系起来。 3. 凸集族上的李群作用： 研究李群 $G$ 如何作用于一个固定的凸集 $mathcal{C}$ 上。特别是，当 $mathcal{C}$ 是一个凸锥（Convex Cone）或玻尔环（Borel Set）时，群作用保持了某些重要的代数结构。本章通过Cartan-Hadamard 定理的推广，探讨了在具有负截面曲率的空间中，群作用下的测地线凸性。 --- 第二部分：对称性、正则化与逼近（Symmetry, Regularization, and Approximation） 本部分关注在存在对称性的情况下，如何利用凸性方法来处理复杂的、病态的（ill-posed）问题，尤其是在逼近理论和正则化技术中。 4. 凸函数在对称群下的不变性与不变测度： 系统分析了由一个紧致李群 $K$ 作用于一个 Banach 空间 $X$ 上时，$K$-不变凸函数的结构。引入了冯·诺依曼定理在凸优化中的变体，即利用不变性来降低问题的维度。探讨了哈尔测度（Haar Measure）在对凸函数进行平均化（即轨道平均）操作中的关键作用，这些平均化后的函数往往具有更强的正则性。 5. 凸正则化与群作用的共轭性： 侧重于解决欠定或病态问题时，凸正则化（如 $ell_1$ 范数）的有效性。我们将对偶理论（Duality Theory）与群作用的共轭表示（Dual Representation）相结合。关键在于证明：如果正则化项（如 $ell_1$ 范数）在某个对称群作用下是等变的（equivariant），那么其解集也倾向于继承这种对称性，从而在特定子空间中保持凸性。 6. 近似算法的收敛性： 本章分析了基于交替方向乘子法 (ADMM) 或次梯度下降法的迭代算法，当它们应用于具有哈密顿群作用约束的优化问题时，其收敛速度和全局收敛性。核心是利用李群作用保持的二次形式（Quadratic forms）来建立误差项的几何界限，从而证明算法对初始值的敏感度降低。 --- 第三部分：李群表示与凸性（Lie Group Representations and Convexity） 本部分深入研究了群表示论如何直接影响或决定相空间中凸结构的几何性质。 7. 线性凸集上的群作用： 在矩阵空间或张量空间上研究李群的作用。特别关注正定矩阵锥（Positive Definite Cone）——这是一个天然的凸集，其边界由特征值决定的非线性条件定义。分析了群作用如何保持（或破坏）这个锥的洛伦兹凸性（Lorentzian convexity），并联系到Schatten 范数的凸性。 8. 结合表示论与凸函数分析： 利用不可约表示（Irreducible Representations）来分解复杂的凸问题。如果一个凸函数 $F$ 在群作用下是“近似不变”的，则可以通过将其投影到不同的不变子空间上来简化分析。介绍了Krein-Milman 定理在描述由群作用生成的最接近的凸集时的应用。 9. 作用在函数空间上的凸性： 研究群作用在 $L^p$ 空间或索伯列夫空间上的作用，这些空间是无限维的。重点分析了谱（Spectrum）的概念如何与函数空间的凸性联系起来，例如，特征函数（eigenfunctions）的线性组合在特定范数下形成的凸包的性质。 --- 第四部分：随机性与凸性（Stochasticity and Convexity in Dynamics） 本部分将视角转向更具随机性的系统，探讨随机微分方程（SDEs）的解集和其统计性质与凸性的关系。 10. 随机哈密顿系统中的凸包： 考虑具有随机扰动的哈密顿系统。系统的演化路径不再是确定的，而是一个概率测度。我们分析了系统在长时间尺度上覆盖的相空间区域的凸包的统计特性。这涉及到使用大偏差理论（Large Deviation Theory）来估计随机路径在偏离“平均”（或平衡态）凸结构时的概率。 11. 熵与凸性在统计力学中的交汇： 从统计物理的角度审视凸性。吉布斯自由能（Gibbs Free Energy）是信息论和热力学的核心凸函数。本章研究了在对称性驱动的（例如，晶格模型）系统中，熵（作为凹函数）与其共轭凸函数（自由能）之间的关系，以及群作用如何影响这些热力学势的极值点。 --- 第五部分：高级应用与开放问题（Advanced Applications and Open Problems） 最后一部分将理论工具应用于当前研究热点，并指出未来研究的方向。 12. 凸性在量子信息中的体现： 在量子力学中，密度矩阵集合是一个凸集。研究群作用（如酉变换群）如何作用于这个集合。重点探讨了量子保真度（Fidelity）作为一种非凸度量，如何通过巧妙的重构转化为在特定子空间上的凸问题，尤其是在量子场论中处理规范不变性时。 13. 几何优化与对称性破缺的边界： 分析了在连续系统（如场论）中，对称性如何通过能量最小化（即凸性极小值）来自发破缺。利用莫尔斯理论（Morse Theory）和非线性泛函的凸性分析，精确地识别出导致对称性破缺的临界几何配置。 本书通过这种多层次、跨学科的视角，为研究者提供了一个统一的框架，用以理解：在一个具有内在对称结构的系统中，其全局的、最优的性质（通常表现为凸性）是如何被维持、量化或破坏的。 书中严格的数学推导与清晰的几何直觉相结合，旨在推动对复杂动力学系统和高维几何分析的认识。

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这本书的难度梯度设置得非常陡峭，但同时也充满了挑战的乐趣。当你成功地跟上作者的思路，证明了某个定理，那种成就感是难以言喻的。我注意到作者在讨论某些关键引理时，会引用一些非常前沿或比较冷门的文献，这表明作者的研究视野非常开阔，紧跟学术前沿。对于那些希望在这领域做出突破性研究的人来说，这本书无疑提供了一个极佳的知识储备库和研究方向的指引。它不是那种提供现成答案的“工具书”，更像是一张详细的藏宝图，告诉你宝藏在哪里，但如何挖掘，还需要读者自己下功夫。对于那些希望系统学习或深入研究这一特定领域的博士生而言，这本书的分量是毋庸置疑的。它更像是一位资深导师在耳边低语，引导你思考更深层次的问题。

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这本书的封面设计非常引人注目，那种深邃的蓝色调配合烫金的标题，立刻就给人一种严肃、高深的学术氛围。我是在图书馆的数学物理交叉学科区域偶然发现它的，当时就被标题中“Hamiltonian Group Actions”这个词组所吸引。虽然我对具体的“Convexity Properties”还不太了解，但作为一个对动力系统和几何力学有浓厚兴趣的研究生来说，这样的组合无疑具有巨大的吸引力。翻开扉页，印刷质量上乘，纸张的触感也很好，这在学术专著中是难得的。书的排版也相当考究，公式的编号清晰明了，参考文献的引用格式也十分规范，这体现了作者在细节上的认真态度。虽然我还没有深入阅读正文，但仅从这本书的外在表现来看，它显然是一部经过精心打磨、面向专业读者的严谨著作。它给人的感觉就像是一件精美的工艺品，让人期待内部知识的深度和广度。

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从整体结构和学术贡献来看，这本书的野心很大，它试图构建一个连接代数、几何和物理的统一框架。我个人感觉，作者在某些部分的处理上，似乎更偏向于代数结构和不变式的研究，对于具体的物理图像的描绘略显不足，这可能是为了保持数学上的纯粹性。如果作者能在附录或后续章节中增加一些更贴近实际物理应用（例如在规范场论或可积系统中）的案例分析，或许能让更广泛的物理学读者受益。不过，瑕不掩瑜，这本书无疑是该领域近年来最重要的著作之一，它不仅是对现有知识的系统整理，更是对未来研究方向的一种大胆预测和开拓。它不是一本用来消遣的书，而是需要沉下心来，反复研读，并最终融入自己研究体系中的经典之作。

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我尝试着将书中的一些抽象结论应用到我目前正在研究的一个物理模型中，结果发现，这本书提供的框架确实具有极强的普适性和解决实际问题的潜力。特别是关于某些对称性和不变性的讨论，为我提供了一个全新的视角去审视我的模型，过去困扰我的一个难题，在应用了书中的某个定理后，似乎豁然开朗。这种理论与实践的完美结合，是优秀数学专著的标志。当然，这本书的阅读体验也并非总是轻松愉快的，在一些涉及高维几何或拓扑的章节，我不得不反复查阅相关的背景知识，这确实对读者的综合数学素养提出了较高的要求。但正是这种“硬核”的内容，才使得这本书的价值得以凸显，它毫不留情地筛选出了真正有志于此的读者。

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读了前几章之后，我发现作者的论述风格极其严谨，仿佛在进行一场精密的外科手术。他似乎对每一个概念的定义都进行了反复的推敲，力求做到无懈可击。特别是对于一些基础概念的引入，作者并没有直接跳到复杂的情形，而是先从一些经典的例子入手，逐步引导读者进入更抽象的框架。这种循序渐进的方式对于初次接触这个领域的读者来说，无疑是一剂强心针。不过，对于那些已经有扎实背景的读者来说，可能需要稍微耐心一点。我特别欣赏作者在论证过程中穿插的那些历史背景介绍和与其他领域研究的联系，这使得原本枯燥的数学推导过程变得生动起来，也让我对这些理论的产生动机有了更深的理解。整本书的逻辑链条非常紧密，每一章的结论都自然地导向下一章的探讨，读起来有一种“一气呵成”的酣畅淋漓感，让人忍不住想一口气读完。

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