Methods of Successive Approximations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Central Books Ltd

作者:N.IA. Vilenkin

出品人:

页数:110

译者:M. Samokhvalov

出版时间:1980-1-3

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780714714110

丛书系列:

图书标签:

• 数值方法
• 优化算法
• 迭代逼近
• 计算数学
• 科学计算
• 近似解
• 误差分析
• 算法分析
• 数学建模
• 工程应用

探索非线性系统的演化：数值方法与理论基础 本书《非线性动力学导论：从混沌到模式形成》致力于深入探讨复杂系统中的非线性现象，重点聚焦于数值分析方法在揭示这些系统行为方面的应用与局限性。它为对物理学、工程学、生物学乃至社会科学中普遍存在的非线性动力学模型感兴趣的研究人员、高级本科生和研究生提供了一个严谨而全面的视角。 本书的结构设计旨在逐步引导读者从基础的微分方程理论过渡到前沿的复杂系统分析。开篇第一部分，“一元系统的基础与稳定性分析”，首先回顾了常微分方程（ODE）的基本理论，特别是对于一维自治系统 $dot{x} = f(x)$ 的相平面分析。我们详细阐述了平衡点的稳定性判据，如线性化方法和李雅普诺夫函数法。然而，本书并未止步于线性化，而是深入探讨了分岔理论的基石，包括鞍结分岔、超临界和次临界霍普夫分岔。通过对这些经典一维系统的几何分析，读者将建立对非线性系统行为突变（定性变化）的直观理解。 第二部分，“迭代映射与离散动力学”，将焦点从连续时间系统转向离散时间系统，即迭代映射 $x_{n+1} = F(x_n)$。尽管映射是离散的，它们却常常是连续系统周期倍增导致混沌的简化模型。我们详尽分析了逻辑斯蒂映射（Logistic Map）和洛伦兹映射（Lorenz Map）的演化路径。书中花费大量篇幅讨论了周期窗口（Period-doubling Cascades）的数学结构，以及混沌的数学定义——对初始条件的极端敏感性，通过庞加莱截面（Poincaré Sections）和李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）进行量化。此外，本书还引入了分形几何的概念，用以描述吸引子的结构，特别是展示了如何计算吸引子的豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）和关联维数（Correlation Dimension），从而区别于传统意义上的周期吸引子。 第三部分，“多维系统的挑战与数值工具”，是全书的核心，侧重于三维及更高维系统的分析技术。在三维系统中，相空间的复杂性急剧增加，简单的几何分析已不足够。我们首先回顾了林肯-皮卡（Picard-Lindenstedt）迭代法在求解特定形式非线性方程组中的应用，并详细探讨了如何利用流的构造（Flow Construction）来理解高维系统的局部结构。重点在于，我们提供了一套实用的数值工具箱，用于分析高维系统的行为： 1. 数值积分方案的评估： 详细比较了欧拉法、龙格-库塔法（特别是RK4）以及更高阶的隐式积分方法（如BDF方法）在处理“刚性”（Stiffness）问题时的表现和稳定性边界。 2. 不变流形的计算： 介绍了中心流形理论（Center Manifold Theory）的数值近似方法，解释了如何通过降维投影来分析鞍节点的局部动力学，而不必求解全部高维方程。 3. 庞加莱截面的自动化识别： 阐述了如何利用数值追踪算法（如打点法和射击法）来精确识别高维系统中的环（Limit Cycles）和环的稳定性。 第四部分，“空间依赖性与模式形成”，将动力学系统扩展到具有空间结构（偏微分方程，PDE）的情形。我们关注反应-扩散系统（Reaction-Diffusion Systems），例如著名的Turing模式形成理论。书中介绍了本征值分析（Eigenvalue Analysis）在识别系统是否会发生空间不稳定性（Turing Instability）中的作用。我们探讨了驻波解（Standing Waves）和行波解（Traveling Waves）的存在性及其稳定性分析的谱方法（Spectral Methods），例如傅里叶谱方法在求解周期边界条件下的非线性扩散问题中的优势。书中还涵盖了如何使用模态截断（Modal Truncation）来建立近似的有限维动力学模型，这在处理大型气候模型或生物形态发生问题时至关重要。 本书的独特之处在于，它非常强调理论与计算的融合。每一章都穿插了大量关于如何选择合适的数值参数（如步长、截断误差容忍度）以及如何解释数值结果中可能出现的伪影的讨论。我们避免了对某一特定领域的深入钻研，而是提供了一套通用的、跨学科的方法论框架，用以理解任何由非线性驱动的、具有演化特性的系统。全书的基调是严谨的数学推导与实际计算的有效性评估相结合，旨在培养读者对复杂系统建模的批判性思维。

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我是一位退休的数学教师，多年来致力于推动高中数学的拓展性教学，希望我的学生能接触到比课本更深、更广的数学世界。《Methods of Successive Approximations》的出现，无疑为我提供了一个极好的教学资源。这本书的叙事风格非常沉稳、严谨，但又不失启发性。它没有使用过于现代或晦涩的术语，而是沿着历史发展的脉络来介绍这些迭代方法，这对于培养学生的数学史观非常有益。例如，书中对巴比伦人求解平方根的方法与现代迭代法的联系，被描述得非常引人入胜。虽然这本书的某些章节涉及的泛函分析背景对我来说略显吃力，但它对基础迭代法的推导逻辑清晰到近乎完美，我完全可以从中抽取核心概念，用更简洁的方式呈现给我的高年级学生。它帮助我构建了一个完整的教学模块，将代数、微积分和初步的数值思想串联起来，极大地丰富了我的课堂内容。

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阅读《Methods of Successive Approximations》的体验，更像是在攀登一座设计精巧的山峰。它没有那种令人望而生畏的峭壁，但每走一步，风景都在变化，不断有新的视角被打开。这本书的结构安排极为巧妙，它不是简单地按照字母顺序介绍不同的方法，而是遵循着逻辑上的依赖关系层层递进。比如，在介绍如何处理大规模线性方程组时，作者首先回顾了如何保证非线性迭代的局部收敛性，这种前后呼应的处理方式，使得整本书的知识体系非常连贯和自洽。我最欣赏的是它对“稳定性”这个核心概念的强调。很多算法在理论上可行，但在计算机上却会因为微小的浮点误差而崩溃，这本书非常坦诚地指出了这些潜在的陷阱，并提供了相应的数值稳定性的判据。这对于任何严肃的科学计算工作者来说都是至关重要的警示。总的来说，这是一部经过深思熟虑、精心打磨的作品，它不仅教授了方法，更培养了严谨的计算思维。

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说实话，我一开始对这本书的期待值并不高，因为市面上关于“逼近法”的书籍汗牛充栋，大多数要么过于偏重理论的严格性，看得人昏昏欲睡，要么就是浮于表面，只罗列公式不讲解原理。然而，《Methods of Successive Approximations》成功地找到了一个难得的平衡点。它的语言风格非常平实，就像一位经验丰富的大师在耐心地和你探讨问题，而不是高高在上地宣讲真理。我特别喜欢它在讨论收敛速度时所采用的类比手法，它用河流的宽度变化来比喻误差的衰减率，这种具象化的描述，让“线性收敛”和“二次收敛”这些抽象概念瞬间变得直观可感。我个人对偏微分方程的数值解法比较感兴趣，书中虽然没有直接深入到有限元，但它对基础迭代（如雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代）的深入剖析，为我理解更高维度的迭代模型打下了坚实的基础。对于初次接触数值分析，但又渴望深入理解的自学者来说，这本书的价值无可替代。

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作为一名软件工程师，我日常工作中经常需要处理优化问题，尤其是在设计控制算法时，精度和效率是两个永恒的矛盾点。我抱着试一试的心态翻开了《Methods of Successive Approximations》，期待能找到一些理论指导来优化我的代码。这本书的视角非常独特，它将纯粹的数学工具与实际工程约束巧妙地结合了起来。让我印象深刻的是其中关于“自适应步长选择”的那一节，作者详细分析了在计算资源有限的情况下，如何平衡计算次数和最终解的精度。书中用大量的伪代码和算法流程图来阐述，而不是堆砌难以理解的数学符号。这对我编写鲁棒性强的嵌入式系统控制程序非常有帮助。我甚至把书中的一个关于最小二乘迭代修正的算法框架直接应用到了我们最新的传感器数据融合模块上，效果立竿见影，计算量下降了近百分之十五，而精度保持在可接受的误差范围内。这本书不仅仅是理论的总结，更像是一本高级应用手册，非常推荐给所有需要将数学模型落地到实际系统中的工程师们。

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这本《Methods of Successive Approximations》简直是为我这种数学学习者量身定做的！我是在为我的高等数学期末考试做准备时偶然发现它的，当时我对迭代法和收敛性分析的部分感到非常头疼，感觉书本上的理论推导太抽象，缺乏直观的理解。然而，这本书的叙述方式简直是一股清流。作者并没有一开始就抛出复杂的定理和证明，而是从一个非常具体、贴近工程实际的问题入手，比如求解一个非线性方程的根，然后自然而然地引出了逐步逼近的思想。书中对每一步迭代过程的几何意义和数值稳定性都做了深入浅出的讲解。我尤其欣赏它对误差估计那一章的处理，用图示和对比的方式展示了不同初始值对收敛速度的巨大影响。读完这一章，我对牛顿法、割线法等方法的优缺点有了立体化的认知，不再是死记硬背公式，而是真正理解了它们背后的迭代逻辑。可以说，它极大地增强了我对数值分析这门学科的信心，让那些原本看起来枯燥乏味的算法变得生动起来，是期末复习和日常巩固知识的绝佳伴侣。

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