A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Kenneth Ireland

出品人:

页数:403

译者:

出版时间:1990-10

价格:GBP 42.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540973294

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• Number Theory
• Classical Number Theory
• Modern Number Theory
• Graduate Texts in Mathematics
• Algebraic Number Theory
• Analytic Number Theory
• Diophantine Equations
• Modular Forms
• Elliptic Curves
• Cryptography

好的，以下是一本关于代数拓扑的入门教材的详细内容简介，旨在为读者提供一个坚实的理论基础和直观理解，其深度和广度与经典的《A Classical Introduction to Modern Number Theory》相媲美，但主题完全不同： --- 代数拓扑基础：从同调到纤维丛 作者： [此处可虚拟作者名] 出版社： [此处可虚拟出版社名] 系列： 现代数学前沿（Frontiers in Modern Mathematics） 内容概述 本书旨在为具有扎实微积分、线性代数和初步抽象代数（群论和环论）背景的本科高年级学生和研究生提供一套全面而深入的代数拓扑学导论。代数拓扑学是连接几何、分析和代数三大数学分支的核心桥梁。它通过代数工具（如群、环和模）来研究空间的拓扑性质，从而赋予我们描述和区分复杂几何结构的能力。 本书的结构经过精心设计，力求在严谨的数学构建与直观的几何洞察之间取得完美的平衡。我们从最基本的拓扑空间概念出发，逐步构建起同调论、同伦论，并最终触及纤维丛这一现代几何学的关键概念。本书的特点在于其清晰的证明、丰富的例题以及大量的几何直观解释，帮助读者跨越从具体空间到抽象代数结构的理解鸿沟。 第一部分：拓扑空间与连续性（The Topological Landscape） 本部分为后续的代数工具奠定必要的分析和集合论基础。 第1章：拓扑空间的概念 我们从度量空间出发，自然地过渡到拓扑空间的一般定义——通过开集族来刻画邻近性。重点讨论了闭集、紧致性、连通性及其子集的性质。紧致性在研究函数空间和收敛性方面的重要性被着重强调。 第2章：连续映射与同胚 详细阐述了连续映射的拓扑定义，并引入了商空间的构造。商空间是理解识别映射和构造复杂空间的基石。我们深入探讨了“粘合”结构如何通过商空间形成，并展示了如何利用同胚来判断两个空间在拓扑意义上是否“相同”。 第3章：基本拓扑结构 本章聚焦于一些在代数拓扑中频繁出现的特殊拓扑空间：流形（Manifolds）的初步介绍，以及对 CW 复合体（CW Complexes）的详细描述。CW 复合体因其适中的代数结构和良好的拓扑性质，成为同调和同伦群计算的理想模型。 第二部分：同伦论：研究“洞”的初级代数工具（Homotopy Theory） 同伦论是研究空间中“形变”和“环路”的第一道防线，是理解高维空间的直观入口。 第4章：基本群（The Fundamental Group） 本书从最具体的代数不变量——基本群 $pi_1(X, x_0)$ 开始。我们详细讨论了路径、路径群和基本群的定义。重点解析了布劳尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）在二维情况下的证明，以及对环 $S^1$ 的基本群的计算。覆盖空间理论被引入，作为计算基本群的强大技术。 第5章：同伦等价与纤维化 定义了同伦等价（Homotopy Equivalence）和形变收缩（Retracts），阐明了哪些拓扑性质在同伦意义下是保持不变的。随后，引入了纤维丛（Fibrations）和胡普夫-维特根斯坦定理（Hurewicz Theorem）的初步讨论，为理解更高阶的同伦群做铺垫。 第三部分：同调论：系统化的“洞”的量化（Homology Theory） 同调论是代数拓扑中最强大、应用最广泛的工具之一，它系统地量化了空间中“洞”的维度。 第6章：链复形与同调群的构造 本章是理论构建的核心。我们首先定义了辛普利小环（Simplices）和链复形（Chain Complexes）。通过边界算子（Boundary Operators）的精确定义，引入了循环（Cycles）和边界（Boundaries）的概念。同调群 $H_n(X)$ 作为正合列的第三个元素被定义出来，强调了其群结构的意义。 第7章：特殊同调理论 我们详细计算了标准空间的同调群，包括点、区间、球面 $S^n$ 和环面 $T^2$。特别是球面同调群的计算，将引导读者理解为何需要更高级的方法（如约化同调）。随后，将引入约化同调群（Reduced Homology）以简化某些计算，并展示其与基本群之间的联系（Hurewicz 映射）。 第8章：同调的构造性性质：迈耶-维托里斯序列 迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）是计算复杂空间同调群的“瑞士军刀”。本章详细阐述了该序列的构造和应用，特别是在处理由两个较简单空间拼接而成的空间时，如楔和环。 第9章：应用与内积结构 本章探讨了同调论的关键代数结构。我们引入了张量积和构造性的同态，如克内特-李舍茨定理（Künneth Formula），用于计算乘积空间的同调群。此外，我们将介绍球面上的上同调（Cohomology），通过奇异上同调（Singular Cohomology）引入环结构（上同调环），为理解微分几何中的某些概念打下基础。 第四部分：纤维丛与特征类（Fibrations and Characteristic Classes） 本书最后一部分将视角提升到更现代的几何领域，代数拓扑如何用于微分几何。 第10章：纤维丛入门 在对纤维丛（Fiber Bundles）进行精确定义之前，我们先以切丛（Tangent Bundles）和斯蒂费尔丛（Stiefel Bundles）为例，建立几何直觉。定义了总空间、基空间和纤维。 第11章：欧拉类与庞加莱对偶 我们将展示同调和上同调如何通过庞加莱对偶性（Poincaré Duality）在特定条件下（如流形）联系起来。最后，介绍欧拉示性数（Euler Characteristic）的深刻意义，并初步展示拓扑不变量如何转化为微分形式中的特征类（Characteristic Classes）的代数表现。 --- 本书的特点 1. 几何驱动的代数： 每一个代数概念的引入都伴随着清晰的几何模型和直观解释。 2. 计算导向： 包含了大量详尽的计算实例和习题，旨在巩固读者对抽象工具的实际操作能力。 3. 结构清晰： 遵循从 $pi_1$ 到 $H_$ 再到纤维丛的逻辑递进，保证学习路径的平滑性，避免概念堆砌。 本书适合希望深入研究拓扑学、几何学、微分几何或理论物理中拓扑场论的读者作为第一本专业教材使用。

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从教学法お角度来看，这本书的习题设置可以说是双刃剑。一方面，题目的深度和广度毋庸置疑，它们确实能有效地检验读者对概念的掌握程度，有些挑战性的题目更是需要综合运用好几章的知识才能解答。这对于培养独立解决问题的能力至关重要。然而，另一方面，习题的难度梯度分布不太均匀。有些小节后的练习题过于简单，更像是对定义和定理的直接复述，而另一些章节的习题则直接跳跃到了研究生水平的深度研究问题，几乎没有中间的过渡练习。这种极端的设置，很容易让那些渴望通过练习来巩固知识的读者感到挫败。我个人更倾向于那种从易到难，循序渐进的习题梯度，它能提供持续的正反馈，鼓励读者不断挑战自己，而不是在第一道坎就望而却步。

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这本书的风格可以说是非常“欧式”的严谨，处处体现着对数学结构的深刻洞察，但这种风格也带来了一个副作用：它似乎不太擅长与“直觉”对话。在讲解代数数论的核心思想时，比如理想类的概念，作者更多的是通过定义和公理来进行演绎，很少有生动的例子或者类比来帮助建立直觉上的联系。举个例子，当涉及到域扩张和环论的基础时，如果读者不熟悉抽象代数中那些复杂的构造，直接面对这些符号和定义，很容易迷失方向，感觉自己只是在机械地操作符号，而没有真正抓住其背后的数学意义。对于希望通过本书建立起数论直觉的读者来说，这可能是一个不小的挑战。我更希望看到的是，作者能够用更富有启发性的语言，将那些抽象的结构“可视化”或“具象化”一些，哪怕只是在脚注里简短地提及一下，也能极大地改善初学者的体验。

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我比较欣赏这本书在章节间的逻辑衔接处理上所展现出的匠心。它不是简单地将数论的各个分支拼凑在一起，而是构建了一条清晰的主线，从古典的解析方法，逐步过渡到更现代的代数几何的视角。这种组织方式非常有利于构建一个全面的知识体系。尤其是当探讨费马大定理的背景时，作者巧妙地将数论与椭圆曲线的联系引入进来，这种跨领域的整合展示了现代数学的强大生命力。虽然我个人的兴趣点可能更偏向于初等数论的应用题，但能看到这种宏大的叙事结构，依然让人感到振奋。它让人意识到，我们所学的每一个定理都不是孤立存在的，而是庞大数学网络中的一个重要节点。这种体系化的编排，使得学习过程更像是一次有目的的探险，而不是随机的知识点收集。

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这本书的装帧和排版真的没的说，作为一本数学专业的教材，纸张的质感和印刷的清晰度都达到了很高的水准。拿到手里就能感受到它作为“Graduate Texts in Mathematics”系列的一员所应有的分量感。封面设计简洁大气，经典的数学教材风格，让人在书架上看到它时，就能立刻联想到严谨的学术氛围。不过，话说回来，光有好看的皮囊可不够，内容才是王道。我翻阅了一下前几章，初步的感受是，作者在引言部分下了不少功夫，试图搭建一个平滑的阶梯，让初涉数论的读者能够顺利过渡到更现代、更抽象的概念。他们似乎特别注重概念的引入和历史背景的交代，这对于理解数论这门学科的演变脉络非常有帮助。可惜的是，虽然开篇很友好，但我对后续章节的难度曲线保持谨慎乐观的态度，毕竟，现代数论的门槛是公认的高，希望它能真正做到“引人入胜”而不是“劝退读者”。整体而言，从物理体验上来说，这是一本令人愉悦的藏书。

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我尝试着用这本书来复习一些基础的解析数论知识，但说实话，阅读体验并不是我预期的那种“豁然开朗”。作者在某些关键定理的证明过程中，步骤的跳跃性略大，留给读者的思考空间固然重要，但对于那些需要细致推导才能理解核心逻辑的读者来说，可能会觉得有些吃力。我特别留意了关于狄利克雷$L$-函数的部分，感觉作者在铺陈理论框架时，过于侧重于最终的结论，而对中间那些关键的技巧性操作，比如截断误差的控制和积分的变换，解释得不够详尽。这就好比厨师直接端上了一盘精美的菜肴，却省略了火候掌握的关键步骤。我不得不频繁地停下来，去查阅其他更侧重于计算细节的参考书，才能真正弄明白每一步是如何达成的。这无疑减慢了我的学习进度，也让我开始怀疑，这本书更适合那些已经有一定基础，只需要一个高屋建瓴的视角来串联知识的成熟研究者，而不是我这样的“自学者”。

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