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出版者:

作者:Princeton Review

出品人:

页数:640

译者:

出版时间:2009-1

价格:CDN$ 22.95

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isbn号码:9780375428999

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掌握进阶代数与几何：为顶尖高校深造奠定坚实基础 《进阶数学核心概念与应用》 专为准备冲击全球顶尖理工科、工程学及定量分析专业的学生量身打造的权威指南。 本书聚焦于高中代数（Algebra II）和平面/立体几何（Geometry）中最核心、最常被大学入学考试和高阶课程所考察的知识点。它不是一本基础概念的复述，而是深入挖掘复杂问题背后的原理、提供高效解题策略的工具书。 --- 第一部分：超越基础的代数精炼（Advanced Algebra Refinement） 本部分旨在巩固并深化学生对函数、方程组以及复杂数系的理解，为微积分和线性代数的学习扫清障碍。 第一章：函数与图像的深度解析 超越线性：二次、三次及更高次多项式函数 深入探讨多项式函数的根（实根与复根）的性质，特别是利用有理根定理、余项定理和因子定理进行高效求解。 详细分析函数的奇偶性、周期性，以及如何通过代数变换（平移、拉伸、反射）精确控制图像的形态。 关键难点突破： 掌握多项式不等式的解法，包括使用符号分析法和交点分析法解决复杂的不等式系统。 指数与对数：逆运算的威力 指数函数和对数函数的性质对比与统一性阐述。重点解析自然对数 $e$ 的本质及其在增长模型中的应用。 实用技能： 掌握换底公式的灵活运用，以及如何利用对数技巧简化涉及多个变量的指数方程。 应用场景： 详尽介绍金融学中的复利计算、放射性衰变等实际问题中的对数建模。 有理函数与渐近线 精细划分垂直、水平和斜（弯曲）渐近线的判断标准，这对于理解函数在无穷远处的行为至关重要。 核心技巧： 学习如何通过多项式长除法或综合除法快速确定斜渐近线，避免繁琐的极限计算。 探讨函数的间断点类型（可去间断点、跳跃间断点）及其对函数连续性的影响。 数列、级数与求和符号（Sigma Notation） 系统回顾等差数列和等比数列的通项公式与求和公式。 进阶内容： 深入探究无限几何级数的收敛条件与求和，这为后续学习泰勒级数打下基础。 熟练掌握 $Sigma$ 符号的使用，并学习如何拆分复杂的级数和求和公式的组合应用。 第二章：矩阵代数导论 矩阵的运算与几何意义 矩阵的加减、标量乘法、矩阵乘法的定义与运算规则。特别强调矩阵乘法的非交换性。 空间变换视角： 理解 $2 imes2$ 矩阵如何代表平面上的旋转、缩放和剪切等线性变换。 行列式与逆矩阵 计算 $2 imes2$ 和 $3 imes3$ 矩阵的行列式，理解行列式值与矩阵是否可逆之间的关系。 高效求解： 掌握伴随矩阵法求逆矩阵，以及高斯消元法（行简化阶梯形）求逆矩阵的系统步骤。 解线性方程组 系统地使用增广矩阵和初等行变换（行简化）来解决三元及以上变量的线性方程组。 识别无解（不一致系统）和有无穷多解（自由变量）的情况，并用参数形式表达解集。 --- 第二部分：空间的精确描绘：几何学核心（Precision in Space: Core Geometry） 本部分超越了简单的勾股定理，专注于逻辑推理、空间想象力和严谨的几何证明。 第三章：三角形与三角函数的高级应用 非直角三角形的法则 正弦定律 (Law of Sines) 与余弦定律 (Law of Cosines)： 详细讲解何时应用哪一法则（SSA、SAS、SSS 情况的精确区分）。 面积计算的拓展： 利用两边及其夹角求面积的公式，以及海伦公式的推导与应用。 三角恒等式的构建与简化 系统推导和应用和角、差角公式，以及二倍角、半角公式。 关键策略： 掌握如何通过有理化、利用平方关系等技巧，将复杂的三角表达式化简至最简洁形式。 反三角函数与单位圆 精确定义 $arcsin, arccos, arctan$ 的定义域和值域，理解其作为反函数的性质。 利用单位圆进行三角函数的周期性分析，并解决涉及反三角函数复合的方程。 第四章：解析几何：代数与几何的融合 圆锥曲线的精细刻画 抛物线： 深入理解焦点、准线、通径的几何定义，以及抛物线方程的标准形式和平移后的形式。 椭圆与双曲线： 掌握长短轴、离心率、焦距的相互关系。区别椭圆的内切、外切性质和双曲线的渐近线特征。 通用二次方程的处理： 学习如何通过旋转坐标系（涉及三角函数知识）来识别和化简一般二次曲线方程（如 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$）的类型。 向量在几何中的应用 二维向量的运算： 加减法、标量乘法、向量的模。 点积 (Dot Product)： 深入理解点积的代数定义（坐标相乘求和）与其几何意义（衡量两个向量的“投影”关系），以及如何利用点积求两向量间的夹角。 空间几何基础：立体图形的测量 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式的推导思路。 空间关系推理： 熟练判断异面直线、平行线、垂直线的空间位置关系，并能计算点到平面、点到直线的距离。 --- 第五部分：逻辑推理与高效应试策略 本书的最后一部分，并非传授新的数学知识，而是教授如何将这些知识应用于高压的测试环境中。 严谨的几何证明结构 训练学生构建“已知”、“目标”、“步骤”清晰的演绎推理链条，强调每一步论证必须有可靠的定理或公理支撑。 常见陷阱识别： 避免“看起来对”的图形推理，强制要求代数验证。 时间管理与“排除法”技巧 针对选择题，提供“代入特殊值法”和“量纲分析法”在代数和几何问题中的应用。 强调在遇到复杂运算时，应立即评估使用更简洁的几何/向量方法替代纯代数运算的可能性。 目标读者： 致力于在标准化考试中取得接近满分的学生，以及对数学有强烈兴趣，计划在大学阶段学习高等数学和物理学的预科生。本书强调深度理解而非简单记忆公式。

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这本书最让我感到惊喜的，是它对“非学术”技能的重视，特别是写作部分的处理方式，完全颠覆了我对传统应试备考材料的认知。它没有仅仅停留在教授标准论述文的结构上，而是花了很大篇幅去探讨“观点冲突与论证平衡”的艺术。在ACT写作中，考生需要分析并对比三个不同的观点，并形成自己的立场。这本书不是教你如何写出最完美的句子，而是教你如何在有限的时间内，精准地捕捉到这三个观点的核心差异点，并有效地将它们融入你的论证链条中。它甚至提供了一些批判性思维的入门框架，比如如何识别隐含的假设（underlying assumptions），这在阅读部分也同样适用。这种跨模块的知识迁移能力培养，是很多单科备考书籍所缺乏的。它不仅仅是在教你“如何通过考试”，更像是在培养一种更具思辨性的思维模式，让你在面对复杂信息流时，能够保持清醒和条理。这让我觉得，这本书的价值远超ACT本身，甚至可能对未来的学术研究都有潜在的裨益。

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我个人的学习习惯是需要大量的例题和解析来巩固知识点的，而这本书在这方面做得可圈可点，但又有一点让我略感不安。它的例题选择非常具有代表性，覆盖了ACT考试中所有常见的题型和难度梯度。尤其是那些被标记为“高风险”的题目，它们的解析部分简直是神来之笔，深入剖析了出题人设置陷阱的心理机制，让你明白为什么你选了那个“看起来最对”的选项却是错的。然而，我发现书中的解析篇幅，相对于题目本身的篇幅，比例稍微有些失衡，解析的深度达到了极致，但相应的，提供的练习题总量似乎没有达到我预期的那种“题海战术”的规模。我总有一种感觉，这本书更侧重于“质量”而非“数量”的打磨。它希望你把每道题都吃透，彻底理解背后的逻辑，而不是简单地刷过几百道题就满足。对于我这种需要通过大量重复练习来建立肌肉记忆的学习者来说，我可能还需要搭配其他资料来补足题量，但就解析的深度而言，这本书无疑是顶级的导师。

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坦白说，这本书的语言风格非常“精英化”，带着一种不容置疑的权威感，初次接触时，确实会让人产生一定的“畏难”情绪。它几乎默认读者已经具备了相当扎实的英语基础和基础的逻辑推理能力，对于那些需要从零开始打牢基础的考生来说，可能会觉得前面几章的铺垫显得过于简略，有种“高手过招，招式连环”的感觉。我需要经常停下来，查阅一些基础的语法点或者数学定义，才能完全跟上作者的思路。但这同时也催生了一种良性的学习循环：这本书设置的门槛，实际上是在迫使你主动去填补自身的知识漏洞，而不是被动地等待知识的灌输。它像一个高标准的导师，拒绝降低自己的教学水准去迁就学习者的惰性。一旦你克服了最初的阅读障碍，跟上了它的节奏，你会发现，它为你构建的知识体系是非常坚固和自洽的。它成功地将ACT考试的各个部分解构、分析，再用一套严谨的逻辑重新组装起来，让你从宏观上理解整个测试的“生态系统”，而不是仅仅停留在解题技巧的层面。

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说实话，这本书的排版风格相当……“硬核”。它几乎没有多余的装饰，每一页都被密密麻麻的文字和图表塞得满满当当，这对于我这种偏爱简洁风格的读者来说，一开始有点挑战。我得承认，我花了不少时间去适应它的信息密度。不过，一旦静下心来仔细研读，就能发现这种密集的布局背后其实蕴含着极高的信息效率。作者似乎笃信“少即是多”的原则，所有解释都直奔主题，很少有拐弯抹角的废话。举个例子，在分析阅读文章的主旨句时，它提供的分析框架非常具有结构性，不是简单地说“找主题句”，而是提供了一套“三步走”的辨识流程，还配上了大量的真题切片进行佐证。这种手把手、代码般的教学方式，虽然读起来需要集中十二万分的注意力，但效果确实立竿见影。我感觉自己不是在读一本“书”，而是在破解一个复杂的系统，每攻克一个难点，都会有一种智力上的满足感。它要求读者投入大量心力去“挖掘”，而不是被动地“接受”，这本身就是一种对考试态度的提前训练。

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这本书的封面设计倒是挺吸引人的，那种红黑相间的配色，给人一种既专业又充满紧迫感的氛围。拿到手的时候，沉甸甸的感觉还挺实在的，感觉里面装的肯定都是真材实料。我当时是抱着“破釜沉舟”的心态买的，毕竟ACT考试的难度是出了名的，希望这本书能给我指一条明路。翻开目录，模块划分得相当清晰，从基础的语法规则到复杂的阅读策略，似乎都涵盖进去了。特别是那个关于时间管理的部分，看起来写得相当详尽，我甚至在想，光是研究怎么分配时间，就能花上好一阵子。而且，它不像有些教辅书那样，堆砌一堆枯燥的理论，而是穿插了一些实际的考试案例，让人感觉更有代入感。我尤其留意了它的数学部分，那些公式和定理的讲解，据说都是针对ACT考试的特定考点进行提炼的，希望能帮我扫清那些貌似简单实则陷阱重重的题目。总而言之，第一印象非常积极，它散发着一种“我已经为你披荆斩棘”的自信，让人忍不住想立刻投入学习。我对它寄予厚望，希望它不仅仅是一本工具书，更是一位严厉又耐心的私人教练。

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