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出版者:The MIT Press

作者:Martin Greenberger

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1965-12-15

价格:USD 20.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780262070195

丛书系列:

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• 计算
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• 高性能计算

《面向现代工程实践的数值方法与建模》 简介 本书旨在为读者提供一套全面而深入的数值分析和计算建模的知识体系，重点关注在当代工程、科学研究及数据驱动决策中的实际应用。本书的编写哲学是理论的严谨性与工程实践的有效性并重，力求在讲解核心数学原理的同时，清晰阐述这些方法是如何被成功地应用于解决复杂的物理、经济和社会问题。 全书内容涵盖了从基础的线性代数运算到高级的偏微分方程数值求解的完整脉络，特别强调了算法效率、数值稳定性以及现代计算工具（如高性能计算、并行化思想）的集成应用。我们相信，掌握这些工具是任何希望在量化领域做出贡献的专业人士的基石。 --- 第一部分：计算基础与线性代数（The Computational Foundation and Linear Algebra） 本部分为后续所有高级主题奠定必要的数学和计算基础。 第一章：计算误差分析与浮点运算 本章从计算的本质出发，探讨了在有限精度机器上进行运算时不可避免的误差来源。详细分析了截断误差（Truncation Error）和舍入误差（Round-off Error）的累积效应。内容包括： 浮点数表示标准（IEEE 754）：对单精度和双精度浮点数的结构、范围和精度进行细致剖析。 误差传播定律：通过病态问题（Ill-conditioned problems）的实例，展示了输入微小扰动如何被放大，并介绍条件数（Condition Number）的概念及其在判断问题稳定性的作用。 有效数字与精度控制：讨论在数值求解过程中，如何通过选择合适的算法和迭代策略来控制最终结果的精度，避免灾难性抵消（Catastrophic Cancellation）。 第二章：矩阵的数值计算与分解 线性代数是科学计算的“通用语言”。本章聚焦于高效、稳定地处理大型矩阵运算。 直接法回顾与优化：对高斯消元法（Gaussian Elimination）的计算复杂度和数值稳定性进行深入探讨。重点介绍LU分解（包括Doolittle和Crout形式）及其在求解线性方程组中的应用。 特殊矩阵的处理：针对带状矩阵（Banded Matrices）、对称正定矩阵（Symmetric Positive Definite, SPD）等在工程中常见的结构，分别介绍Cholesky分解和Tridiagonal Matrix Algorithm (TDMA，即追赶法)。 迭代法基础：引入迭代求解线性系统的概念，详细分析雅可比法（Jacobi）和高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）的收敛条件与速率。探讨了加速收敛的策略，例如SOR（Successive Over-Relaxation）方法。 特征值问题的数值方法：介绍计算矩阵特征值和特征向量的经典算法，包括幂迭代法（Power Iteration）用于求最大特征值，以及针对对称矩阵的QR算法（不含Householder或Givens旋转的完整细节，侧重于其迭代思想）。 --- 第二部分：函数逼近与插值（Function Approximation and Interpolation） 本部分关注如何用已知的、易于计算的函数来近似复杂的、难以直接获得的函数或数据点集。 第三章：插值技术 插值是数据分析和函数重构的基础。 多项式插值：从拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）出发，分析其优缺点（如Runge现象）。重点深入讲解牛顿有限差分法及其与等距节点的联系。 分段插值与样条函数：为克服高次多项式插值的振荡问题，本章详细阐述分段线性插值和三次样条插值（Cubic Splines）的构造原理、边界条件（自然、钳制等）的选择，及其在平滑数据曲线中的优势。 Hermite插值：讨论在已知函数值和导数值（斜率）的情况下，如何构造更精确的逼近多项式。 第四章：数值微分与积分 本章探讨如何通过离散点上的信息来计算函数的导数和积分。 数值微分：基于泰勒级数展开，推导中心差分、前向差分和后向差分公式，并分析其精度阶。探讨二阶导数的近似计算。 牛顿-科茨（Newton-Cotes）求积公式：系统地介绍梯形法则和辛普森法则，推导它们的基本形式和误差项。 复合求积法：解释如何通过复合规则（Composite Rules）来提高低阶公式的整体精度，以适应积分区间内函数行为的剧烈变化。 高斯求积（Gaussian Quadrature）：介绍高斯求积的原理——通过最佳选择节点和权重来最大化精度，并讨论如何从标准区间 $[-1, 1]$ 映射到任意区间。 --- 第三部分：常微分方程的数值解法（Numerical Solutions for Ordinary Differential Equations） 本部分是计算科学应用于动态系统的核心。 第五章：一阶常微分方程（ODE）的单步法 本章专注于求解形如 $y'(t) = f(t, y(t))$ 的初值问题。 欧拉方法家族：从最基础的前向欧拉法开始，分析其稳定性和一阶精度。随后引入后向欧拉法和改进的改进欧拉法（Heun's Method），强调其作为隐式方法的初步应用。 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）：深入讲解经典的四阶龙格-库塔法（RK4）的构造，并讨论Kutta的权衡思想。 局部截断误差与步长控制：引入局部误差估计（如Richardson外推法），讲解如何根据误差容忍度动态调整时间步长（Adaptive Step-Sizing）以平衡精度和计算成本。 第六章：高阶ODE与刚性系统（Stiff Systems） 高阶方程的转化：演示如何将二阶或更高阶的ODE转化为一阶方程组进行求解。 刚性问题的挑战：定义何为“刚性系统”，解释为什么显式方法（如RK4）在求解刚性系统时需要极小的步长才能保持数值稳定。 隐式方法与稳定性：详细介绍后向欧拉法和隐式中点法在处理刚性问题时的优势。引入A-稳定性（A-Stability）的概念，作为衡量隐式方法稳定性的重要指标。 --- 第四部分：偏微分方程的数值方法（Numerical Methods for Partial Differential Equations） 本部分是计算物理和工程模拟的基石，关注对描述连续介质（如热传导、流体动力学、结构力学）的方程的求解。 第七章：有限差分法（Finite Difference Method, FDM） 本章主要针对抛物型（如热传导）、椭圆型（如稳态扩散）和双曲型（如波传播）方程。 离散化思想：介绍如何利用空间导数的有限差分近似来离散化PDE的偏导数项。 抛物型方程（瞬态问题）：详细分析显式欧拉法（Crank-Nicolson）和隐式欧拉法在时间维度上的处理，重点对比两者的稳定性和计算开销。 椭圆型方程（稳态问题）：探讨如何将泊松方程或拉普拉斯方程转化为一个大型的稀疏线性代数系统，并回顾如何使用迭代方法（如Jacobi、SOR）进行求解。 第八章：有限元法的基本概念（Introduction to Finite Element Method, FEM） 本章提供FEM的基本框架，为更深入的结构力学和场模拟打下基础。 变分原理与弱形式：介绍将强形式的PDE转化为等效的积分形式（弱形式）是FEM的核心步骤。 形函数与网格剖分：讨论如何选择基函数（如分片多项式）来逼近真实解，以及线性三角形/四面体单元的构造。 刚度矩阵的组装：概述如何通过对单元上的积分来“组装”全局的系统矩阵（刚度矩阵和载荷向量）。 --- 第五部分：优化与蒙特卡洛方法（Optimization and Stochastic Methods） 本部分扩展到求解复杂系统中的最优参数和涉及不确定性的问题。 第九章：无约束优化方法 一维搜索：介绍求函数极小值点的经典方法，如进退法（Bracketing）、黄金分割法（Golden Section Search）和布伦特法（Brent's Method）。 多维优化：详细讲解基于梯度的优化方法，包括最速下降法（Steepest Descent）、牛顿法及其收敛性。重点介绍拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是BFGS算法，强调其在不计算精确Hessian矩阵下的高效性。 第十章：蒙特卡洛模拟与不确定性量化 随机数生成与检验：介绍高质量伪随机数的生成方法（如Mersenne Twister）及其统计特性检验。 基本蒙特卡洛积分：通过随机抽样估计定积分，并分析收敛速度（$O(1/sqrt{N})$）。 重要性抽样（Importance Sampling）：介绍如何通过修改概率分布来提高对尾部事件或难以探测区域的估计效率。 应用实例：简要探讨蒙特卡洛方法在金融风险评估或复杂系统可靠性分析中的初步应用。 --- 结语 本书的最终目标是培养读者“计算思维”，即在面对一个工程或科学问题时，能够识别出其内在的数值特征（如刚性、病态性、稀疏性），并能根据问题的具体要求，选择、实现并验证最合适的数值算法。书中的所有算法均辅以清晰的数学推导和伪代码示例，鼓励读者利用现代编程语言（如Python、MATLAB或C++）进行实践和验证。本书适合作为高年级本科生和研究生在计算数学、工程力学、物理模拟、金融工程等领域选修课程的教材，或作为专业研究人员的参考手册。

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**5.** 如果用一个词来形容这本书给我的感受，那一定是“启发性”。它不仅仅是一本教会你如何计算或模拟的书，更是一本引导你如何思考的书。我最喜欢的，是它在探讨系统建模时所展现出的那种开放性姿态。作者不断鼓励读者去质疑既有的假设，去探索那些尚未被完全解决的问题。书中对未来计算趋势的展望部分，虽然篇幅不长，却充满了远见卓识，让我对接下来的技术发展方向有了更清晰的预判。这不是那种读完后就束之高阁的书，而是那种需要反复翻阅、时常在工作或学习中对照参考的“工具箱”。它的深度足以满足资深专家的需求，但它的引导性又足够友好，能帮助初学者快速建立起坚实的知识框架。我发现，每当我遇到一个棘手的工程难题，翻开这本书的某一页，总能从中找到某种底层原理的映射，从而获得解决问题的新的视角。这本书的价值，不在于它包含了多少固定的知识点，而在于它激发了读者自主学习和深入探究的内在动力。

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**2.** 当我把这本大部头带回家时，我本以为会是一场漫长而艰苦的“攻坚战”，没想到，它却以一种近乎温柔的姿态，将我吸纳进了它的世界。这本书的叙事风格非常独特，它不像传统的学术著作那样，上来就抛出一堆定义和定理。相反，它更像是一位老教授，在壁炉边，娓娓道来那些关于计算本质的思考。我最欣赏它的地方在于，它没有仅仅停留在“如何做”的层面，而是深入探讨了“为何如此”的哲学根基。比如，书中对“可计算性”的探讨，不仅仅是图灵机模型的展示，更融入了作者对信息边界和人类认知局限的深刻反思。这种将工程实践与思辨哲学完美结合的写作手法，极大地拓展了我的视野。我读到一些关于模拟方法的讨论时，那种感觉就像是站在一个巨大的控制室里，看着无数变量在屏幕上跳动，而作者则站在你身旁，准确地指出了每一个信号背后的含义和可能的风险。这种宏观把握与微观洞察的平衡，让这本书的价值远超了一本普通的技术参考书。它更像是一部关于信息时代复杂系统思维的入门指南，读完后，看待很多日常问题的方式都会潜移默化地发生改变。

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**3.** 坦率地说，我很少在技术类书籍中感受到如此强烈的“人情味”。这本书的语言，虽然严谨，但绝不冰冷。作者在讲解那些极其复杂的数学模型和优化算法时，总能穿插一些极富洞察力的比喻。比如，在解释某种非线性系统的稳定性判据时，他将复杂的微分方程比作一条河流的蜿蜒曲折，瞬间就将抽象的概念具象化了。这种“翻译”能力，是很多作者所欠缺的。我发现自己读起来完全没有卡顿感，即便是面对需要反复推导的证明过程，作者的引导也足够清晰，仿佛他事先已经预判了我所有的疑问点，并在每一步都打好了“地基”。此外，这本书的案例选材极其考究，它们并非是那些已经被用烂的“玩具问题”，而是来自工程实践中的真实挑战，这使得书中的理论知识具有极强的可操作性和说服力。每当我觉得自己快要跟不上时，总能通过一个具体的应用场景，重新找回方向感。它不仅仅是在传授知识，更是在传递一种解决问题的态度——审慎、细致、且充满创造力。

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**1.** 这本书，我得说，简直是一场思维的冒险。从翻开扉页开始，我就被作者构建的那个宏大叙事所吸引。它并非那种枯燥的教科书，而是更像一位经验丰富的向导，带着你穿越技术的迷雾。我尤其欣赏它处理复杂概念时那种庖丁解牛般的清晰度。比如，在讲解基础算法的迭代过程时，作者没有简单地罗列公式，而是通过几个精心设计的、贴近现实的案例，让这些抽象的逻辑“活”了起来。我记得有一个章节，讨论的是如何优化一个多线程环境下的数据同步问题，那段文字读起来简直像在看一场精彩的侦探小说，每一步推理都逻辑严密，引人入胜。更令人称道的是，它在保持技术深度的同时，始终没有忘记读者的感受。它似乎总是知道你会在哪里感到困惑，然后在恰当的时机给出点拨。这种细腻的关怀，使得即使是像我这样，在某些领域只算得上是“略知一二”的读者，也能毫不费力地跟上节奏，甚至时常有豁然开朗之感。这本书的排版设计也值得一提，恰到好处的图示和留白，让阅读体验变得异常舒适，眼睛久看也不会感到疲惫，这在动辄晦涩难懂的技术著作中，实属难得。

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**4.** 这本书的组织结构堪称典范。它采取了一种递进式的学习路径，每一章节的衔接都如同精密齿轮般咬合得天衣无缝。作者并没有采取传统的线性叙事，而是巧妙地设置了几条并行的“知识主线”，这些主线在关键的交叉点汇合，形成了对某一主题更立体、更全面的认知。我特别欣赏它对不同计算范式的对比分析。它不会偏袒任何一方，而是客观地展现了每种方法的优势、局限性以及适用场景。读完关于并行计算那一块时，我感觉自己像是参加了一场高质量的学术研讨会，听到了来自不同学派的激烈而又富有建设性的辩论。作者的文笔干净利落，没有丝毫的冗余，每一个句子似乎都承载了特定的信息量，这对于追求效率的读者来说，简直是福音。我甚至会时不时地停下来，回顾一下前文提到的某个公式或图表，因为我意识到，作者在早期埋下的伏笔，正在后续的内容中被巧妙地兑现和深化。这体现了作者对全书结构有着极高的掌控力，而非仅仅是章节的简单堆砌。

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