Discrete and Combinatorial Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Boston : Pearson Addison Wesley

作者:Ralph P. Grimaldi

出品人:

页数:833

译者:

出版时间:1993-8

价格:745.00元

装帧:

isbn号码:9780201549836

丛书系列:

图书标签:

• 7
• 数学
• 离散数学
• 组合数学
• 算法
• 图论
• 数学基础
• 高等数学
• 计算机科学
• 数学建模
• 逻辑学

好的，这是一本名为《代数拓扑基础：从同调到同伦》的图书简介，内容涵盖了代数拓扑学的核心概念，力求深入浅出，适合有一定数学基础的读者。 --- 《代数拓扑基础：从同调到同伦》 图书简介 本书致力于构建一座坚实的桥梁，连接直观的几何概念与严谨的代数工具。代数拓扑学是现代数学的一个核心分支，它利用代数结构（如群、环、模）来研究拓扑空间的性质。本书的核心目标是系统地介绍代数拓扑学的两大基石——同调论（Homology Theory）和同伦论（Homotopy Theory）——并展示如何运用这些工具来区分和分析复杂的拓扑形体。 第一部分：拓扑空间的语言与基础工具 本书的开篇部分将为读者打下坚实的拓扑学基础，确保读者对讨论的对象有清晰的认识。我们首先回顾点集拓扑中的关键概念，如紧致性、连通性和度量空间。然而，本书的重点很快转向拓扑空间上的结构化研究。 我们将详细介绍基本群（Fundamental Group），即同伦论的起点。通过路径、路径群和同伦等概念，读者将学习如何用群论的语言来描述空间的“洞”——例如，圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$，而圆盘的则平凡。我们随后引入覆盖空间理论（Covering Space Theory），特别是如何利用基本群来确定一个空间是否存在特定类型的覆盖空间，以及如何应用不动点定理来解决几何问题。 在代数工具的应用上，本书引入了链复形（Chain Complexes）的概念。这是将拓扑结构转化为代数语言的关键步骤。我们将定义链复形、边界算子以及同调群（Homology Groups）。通过具体实例，如辛普莱克斯（Simplex）和单纯复形（Simplicial Complexes），读者将学会如何计算这些群，并理解它们如何反映了空间的拓扑不变量。 第二部分：同调论：洞的代数描述 同调论是本书的核心内容之一，它提供了一种比基本群更强大的工具来研究高维拓扑。我们首先深入研究单纯同调（Simplicial Homology），随后过渡到更具一般性的奇异同调（Singular Homology）。 本书将详细阐述艾伦伯格-斯廷罗德公理（Eilenberg-Steenrod Axioms），这是同调论的特征性定义框架。读者将学习如何利用这些公理来验证新的同调理论的性质。我们还将展示迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）的应用，这是一个强大的计算工具，允许我们将一个空间的同调群与其子空间的同调群联系起来。 为了处理更一般的拓扑空间，本书引入了折合同调（Reduced Homology），以及欧拉示性数（Euler Characteristic）的精确计算方法。通过计算著名的例子，如球面、环面和射影平面，读者将深刻理解同调群作为拓扑不变量的威力。 在代数层面，本书强调了万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），它揭示了同调群与上同调群之间的深刻联系，并允许我们从系数域的不同选择中推导出不同的拓扑信息。 第三部分：同伦论：连续形变的几何 与着重于“洞”的同调论不同，同伦论关注的是空间形变的“韧性”。本书将同伦论的探讨从基本群扩展到高阶的同伦群（Homotopy Groups） $pi_n(X, x_0)$。 高阶同伦群的计算是出了名的困难，因此本书着重介绍Hurewicz同态和Hurewicz定理。该定理是连接同调论和同伦论的里程碑式成果，它表明，如果一个空间是$n-1$连通的（即其所有低于$n$的同伦群都消失），那么其第一个非零同伦群（$pi_n$）与它的第一个非零同调群（$H_n$）之间存在直接的联系。 我们还将探讨纤维丛（Fiber Bundles）和丛空间的概念，这是理解空间构造和同伦群之间复杂关系的关键。通过介绍白色阶梯（Whitehead Tower）和谱序列（Spectral Sequences），本书为读者提供了探索复杂同伦结构的先进视角。特别是Serre谱序列，它揭示了纤维丛中纤维、底空间和总空间同调群之间的乘积结构。 第四部分：高级应用与前沿展望 在本书的最后部分，我们将探讨一些现代代数拓扑学中的重要工具和应用。我们将介绍CW复形作为更灵活的拓扑空间模型，并展示如何利用它来简化同调和同伦的计算。 此外，本书还将触及微分拓扑的边缘，简要介绍微分流形（Differentiable Manifolds）上的德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。通过德拉姆定理，我们将看到拓扑同调与微分结构之间的完美统一，展示了数学不同分支的内在和谐。 本书特色 严谨与直观并重： 每引入一个抽象概念，都伴随着丰富的几何直觉和具体的计算示例。 计算导向： 大量篇幅用于介绍如何运用迈耶-维托里斯序列和Hurewicz定理等工具来计算具体空间的拓扑不变量。 结构清晰： 内容组织遵循从基本群到高阶同调，再到同伦群的逻辑递进路线，确保读者能平稳过渡。 目标读者 本书适合具有扎实的抽象代数（群论、环论）和一般拓扑学（点集拓扑）基础的研究生、高年级本科生，以及希望深入理解几何结构与代数系统之间相互作用的数学研究人员和工程师。阅读本书将为进一步探索微分几何、代数几何和拓扑动力学打下坚实的基础。

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