Outlines & Highlights for Discrete Mathematics and Its Applications by Kenneth H. Rosen pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:AIPI

作者:Cram101 Textbook Reviews

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2009-9-7

价格:USD 33.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781428889385

丛书系列:

图书标签:

• 离散数学
• 数学
• Kenneth H
• Rosen
• 学习指南
• 大学教材
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• 高等教育

离散数学核心概念的深度探索与应用解析 本书简介： 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的离散数学学习体验，完全独立于 Kenneth H. Rosen 的《Discrete Mathematics and Its Applications》。我们聚焦于离散数学领域最基础、最核心的理论框架和广泛的实际应用场景，致力于构建一个逻辑严密、结构清晰的知识体系。本书不仅涵盖了从集合论到图论的经典主题，更强调数学推理能力的培养和解决复杂问题的策略。 本书的结构经过精心设计，旨在引导读者循序渐进地掌握离散数学的精髓。我们坚信，理解离散数学不仅是掌握一组公式和定义，更是学会一种全新的、基于有限性和结构性的思维方式。 --- 第一部分：数学基础与逻辑推理的基石 本部分奠定了整个离散数学大厦的基石，专注于严谨的数学表达和推理技巧。 第一章：预备知识与证明技术 本章首先回顾了集合论的严格定义，包括集合的运算、笛卡尔积、幂集等。我们深入探讨了函数和关系的精确概念，特别强调了函数在构造数学模型中的作用。 随后，我们进入离散数学的灵魂——证明。本书详细介绍了直接证明、反证法、逆否命题证明等基本方法。更重要的是，我们将篇幅着重于数学归纳法，不仅展示其标准应用（如证明序列性质），还引入了强归纳法（或称完整归纳法）在处理递归定义结构（如斐波那契数列、树结构）时的关键地位。本章强调了对“存在性证明”和“全称性证明”的准确把握。 第二章：命题逻辑与谓词逻辑 逻辑是清晰思考的工具。本章从基础的命题演算开始，定义了连接词（与、或、非、蕴含、双条件）及其真值表。我们着重分析了逻辑等价性，并展示了如何利用这些等价关系来简化复杂的逻辑表达式，这在电路设计和程序优化中至关重要。 随后，本书扩展到一阶谓词逻辑。我们详细解释了量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的意义、作用域以及它们与否定词的相互转化关系（如德摩根定律在量词上的应用）。本章还引入了推理规则（如肯定前件、肯定后件、假言三段论），并训练读者如何构建有效的、形式化的论证链。 --- 第二部分：计数、组合学与离散结构 本部分是离散数学在概率论和算法分析中应用最广泛的领域，专注于如何精确地“数清”事物。 第三章：计数原理的艺术 计数不再是简单的点数，而是一门严谨的学问。本章系统地介绍了加法原理和乘法原理作为组合计算的基石。接着，我们深入探讨了排列（Permutations），区分有放回和无放回、有序和无序的情况。 核心内容聚焦于组合（Combinations），即如何计算从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个的方案数 $inom{n}{k}$。我们详尽推导了二项式定理及其系数的性质，并展示了如何使用它来展开多项式或解决概率问题。此外，本章还覆盖了容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），特别是在处理具有重叠属性的集合计数问题时的强大效力，并介绍了鸽巢原理（Pigeonhole Principle）在证明存在性问题中的简洁优雅。 第四章：递归关系与生成函数 本章探讨了如何用递归关系来精确描述过程的重复性，这是算法分析的命脉所在。我们首先定义了一阶和高阶线性齐次递归关系，并教授读者如何利用特征方程法求解其封闭形式解。 更进一步，本书介绍了生成函数（Generating Functions）作为一种强大的代数工具来解决复杂的计数问题和递归关系。我们详细解释了普通生成函数（OGF）的构造，以及如何利用其系数来编码序列信息。通过生成函数，我们可以将复杂的计数问题转化为代数运算，例如求和、乘积和微积分操作。 --- 第三部分：关系、代数结构与图论 本部分将数学的抽象结构与实际网络、代数系统连接起来，展现了离散数学的广度和深度。 第五章：关系与偏序集 关系是描述对象间相互联系的关键概念。本章系统地分析了关系的性质，如自反性、对称性、反对称性和传递性。我们重点研究了等价关系，并解释了它们如何自然地划分集合为等价类，这是抽象代数和数据组织的基础。 随后，我们深入到偏序关系（Partial Orderings）。本章详细介绍了偏序集（Posets）的概念，并阐述了哈斯图（Hasse Diagrams）作为偏序集的直观表示法。我们探讨了最大元、最小元、极大元和极小元，并介绍了链（Chains）和反链（Antichains）的概念，为后续的 lattice 理论打下基础。 第六章：图论基础与应用 图论是离散数学中最具几何直观和应用价值的部分。本章从最基础的图的定义开始，区分了有向图与无向图、简单图与多重图。我们详细讨论了图的基本术语，如度数、路径、环和连通性。 本书随后聚焦于图的特殊结构和性质： 1. 树（Trees）：探讨了树的定义、性质（如任意两点间有唯一路径），以及生成树的概念。 2. 连通性与欧拉/汉密尔顿路径：分析了图遍历的经典问题，并给出了欧拉路径和汉密尔顿回路存在的充要条件（尽管严格证明可能非常复杂，本书侧重于关键判据和实际例子）。 3. 图的着色问题：介绍了图的染色，特别是四色定理的背景，并探讨了色数的计算方法和其在资源分配中的应用。 第七章：代数结构简介 本章为读者提供了进入抽象代数领域的初步视角。我们定义了代数系统，包括集合与封闭性运算。核心关注点在于群论的入门。我们精确定义了群（Group）的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并分析了最简单的群，如整数加法群和模 $n$ 乘法群。我们还探讨了子群的概念，为理解更复杂的代数结构提供了必要的工具。 --- 总结与展望 本书的编写目标是培养读者严谨的数学思维，使其能够灵活运用离散数学的工具去建模和解决现实世界中的各种计算、逻辑和结构问题。通过对逻辑、计数、关系和图论的系统性学习，读者将为深入研究计算机科学、运筹学、网络分析及现代密码学打下坚实的基础。本书的每一个章节都力求通过清晰的定义、详尽的示例和具有挑战性的练习，确保学习者不仅知其然，更能知其所以然。

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这本书的叙述风格非常平易近人，就像一位经验丰富的导师在你身边循循善诱，而不是冷冰冰的公式堆砌。作者擅长将抽象的数学概念与现实生活中的实际案例紧密结合，比如在讲解图论时，会用网络路由或者社交关系来举例，这极大地降低了理解门槛。阅读过程中，那些原本晦涩难懂的逻辑推理，经过作者的层层剖析，变得豁然开朗。我特别欣赏它在引入新概念时所采用的“层层递进”的教学法，先给出直观的理解，再深入到形式化的定义和证明，确保读者步步为营，不会因为基础不牢而产生畏难情绪。对于那些在大学课堂上感到吃力的学生来说，这本书提供的这种细腻而富有同理心的引导，无疑是最好的“救生圈”。它不仅教你“是什么”，更重要的是教你“为什么”和“怎么想”。

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这本书的装帧和印刷质量简直令人赞叹，拿在手上沉甸甸的，纸张的质感非常棒，即便是长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。封面设计简洁大气，深蓝色的主色调配上清晰的白色字体，透露出一种严谨而专业的学术气息。内页的排版也十分考究，公式和定理的展示清晰有序，关键概念的加粗和着重处理做得恰到好处，即便是初次接触离散数学的读者，也能很快抓住重点。随书附带的光盘内容丰富，提供了大量的习题解析和额外的拓展阅读材料，这对于自学者来说简直是如虎添翼。作者的严谨态度在细节中体现得淋漓尽致，每一个插图和图表的绘制都精准无误，让人对书中的内容产生一种强烈的信赖感。这种对细节的极致追求，让这本书不仅仅是一本教材，更像是一件精心打磨的艺术品，让人爱不释手，每一次翻阅都像是一次享受。

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本书的习题设计是其价值的又一重要体现。通常教材的习题要么太简单，要么太偏怪，难以有效检验学习效果。但这本书的练习题设置极具匠心，明显是经过深思熟虑的。它将习题分为基础巩固型、思维拓展型和综合应用型三类，梯度设置得极其科学。基础题能帮助读者熟练掌握定义和基本定理的应用；而那些“挑战性”的题目，往往需要读者跳出书本上已有的框架，进行灵活的逻辑组合和创造性的证明，真正考验了对知识的融会贯通能力。我发现，即便是标注为“选做”的难题，其解答思路也极富启发性，它们并非刁难人，而是引导你从不同的角度审视问题。坚持完成这些习题，无疑是对离散数学思维的最好训练，其带来的心智上的成长，比单纯记住知识点要重要得多。

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深入到内容层面，这本书的广度和深度达到了一个令人印象深刻的平衡点。它覆盖了离散数学的核心领域，从集合论、逻辑、计数到图论和代数结构，几乎没有留下明显的知识盲区。然而，最让人称道的是它对每一个主题的深入探讨。例如，在组合数学部分，不仅仅是简单地罗列公式，而是深入探讨了生成函数和递归关系的精妙之处，并且通过大量的变体问题来训练读者的思维敏锐度。代数部分的处理也十分巧妙，没有为了追求形式上的完备性而牺牲可读性，它适当地介绍了群、环、域的基本概念，为后续学习抽象代数打下了坚实的基础。对于希望全面掌握离散数学并在后续计算机科学或数学深造中有所建树的读者而言，这本书提供的知识深度是完全足够的，它远超了一般入门教材的范畴。

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从实用性和参考价值来看，这本书的适用范围非常广泛。对于本科生来说，它是课堂学习的绝佳补充，很多在课堂上模糊不清的概念，通过书中清晰的图示和详尽的证明都能得到彻底澄清。对于研究生或自学者而言，它更像是一部结构清晰、索引完备的工具书。每章后的总结部分，都会用简练的语言提炼出本章的知识框架和核心要点，非常适合考前复习或快速回顾。此外，书中对不同数学分支之间的联系性也有所强调，例如如何将集合论的概念应用于关系和函数的定义，这种跨章节的知识整合，帮助读者构建起一个完整的离散数学知识体系，而不是零散的知识点堆砌。总而言之，这是一本值得放在书架上，可以反复翻阅并常读常新的经典之作，其价值远超其价格本身。

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