Convexity & Optimization in Finite Dimensions One pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:J. Stoer

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1970-07

价格:USD 60.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387048352

丛书系列:

图书标签:

• Convex Optimization
• Optimization
• Convexity
• Finite Dimensions
• Mathematical Optimization
• Applied Mathematics
• Engineering Mathematics
• Theoretical Foundations
• Algorithms
• Numerical Analysis

探索数学的优雅与力量：解析多变量世界中的结构与路径 本书将带领您深入探索数学中两个核心而迷人的分支：凸性（Convexity）与优化（Optimization）。在有限的维度空间中，我们将揭示这些概念如何构成现代科学、工程、经济学乃至人工智能等诸多领域的基石。本书的目标是提供一个既具深度又不失清晰度的视角，让读者能够理解这些强大工具的内在逻辑及其广泛应用。 第一部分：凸性的基石——理解几何的边界与平滑 我们首先从凸性的概念出发。在多维空间中，凸集（Convex Set）如同一个“没有内陷”的区域，任何连接其内部两点的线段都完全包含于该区域内。这个看似简单的几何性质，却蕴含着深刻的数学意义。我们将详细介绍凸集的定义、性质以及各种常见的凸集，例如超平面（Hyperplanes）、半空间（Halfspaces）、球体（Spheres）、多面体（Polyhedra）等等。 凸函数的优雅： 进一步，我们将深入探讨凸函数（Convex Functions）。凸函数的核心特征在于其“向上弯曲”的形状，这意味着任何连接函数图像上两点的弦都位于函数图像的上方或之上。我们将深入研究凸函数的判别方法，包括其一阶导数（梯度）和二阶导数（Hessian矩阵）的性质。例如，一个函数是凸的，当且仅当它的Hessian矩阵在定义域内半正定。我们还会介绍一些重要的凸函数类，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等，并探讨它们在不同场景下的应用。 凸集与凸函数的关系： 本书将清晰地阐释凸集与凸函数之间的紧密联系。我们会发现，很多凸函数在其水平集（Level Sets）上形成了凸集，这为理解和分析提供了重要的几何直观。此外，凸集和凸函数常常协同工作，构成了许多优化问题的基本框架。 凸集运算的封闭性： 我们会考察凸集在各种运算下的封闭性，例如交集（Intersection）、和集（Sum）、闵可夫斯基和（Minkowski Sum）、仿射变换（Affine Transformations）等。理解这些运算对于构建更复杂的凸结构至关重要。 第二部分：优化的艺术——寻找最优解的路径 在理解了凸性的基本原理后，我们将步入优化（Optimization）的世界。优化的核心目标是在给定的约束条件下，找到某个函数（目标函数）的最大值或最小值。无论是寻找成本最低的生产方案，还是设计最有效率的通信网络，优化都扮演着至关重要的角色。 无约束优化： 首先，我们将从最基础的无约束优化（Unconstrained Optimization）问题入手。在没有额外限制的情况下，寻找函数的最小值。我们会介绍梯度下降法（Gradient Descent）及其变种，如随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD），分析它们的收敛性和效率。此外，还会讨论牛顿法（Newton’s Method）等二阶方法，理解其如何利用曲率信息加速收敛。 有约束优化： 真实世界的许多问题都伴随着各种各样的约束条件（Constraints）。本书将详细介绍处理约束条件的方法。 拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers）与KKT条件： 我们将深入学习拉格朗日乘数法，并引出KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是解决带不等式约束的优化问题的核心理论。KKT条件为我们提供了一套必要条件，使得我们可以判断一个点是否为最优解，并且是许多优化算法的基础。 对偶理论（Duality Theory）： 对偶理论是优化领域中最深刻和最有力量的工具之一。我们将介绍原问题（Primal Problem）与对偶问题（Dual Problem）的概念，并探讨它们之间的关系（如弱对偶性和强对偶性）。对偶理论不仅可以提供问题的下界，还可以帮助我们设计更有效的算法。 投影梯度法（Projected Gradient Descent）与罚函数法（Penalty Methods）： 对于某些特定形式的约束，我们会介绍投影梯度法，它通过将更新步投影回可行集来满足约束。同时，也会探讨罚函数法，它将约束转化为对目标函数的一种“惩罚”，从而将有约束问题转化为无约束问题。 凸优化问题： 本书将重点关注凸优化问题（Convex Optimization Problems）。幸运的是，对于凸优化问题，局部最优解就是全局最优解。这将大大简化问题的求解难度。我们会详细分析凸优化问题的结构，以及为何凸性使得求解更加容易。 迭代算法的分析： 对于各种优化算法，我们将不仅仅介绍其流程，更会深入分析其收敛性（Convergence）和计算复杂度（Computational Complexity）。理解这些分析有助于我们选择最适合特定问题的算法，并对其性能进行预测。 第三部分：理论与实践的桥梁——在有限维度中的应用 在掌握了凸性和优化的理论基础后，本书将着眼于这些概念在有限维度环境下的实际应用。 线性规划（Linear Programming, LP）： 我们将从最简单的凸优化问题——线性规划开始。在LP中，目标函数和约束条件都是线性的。我们将介绍单纯形法（Simplex Method）和内点法（Interior-Point Methods）等经典的LP求解算法。 二次规划（Quadratic Programming, QP）： 接下来，我们将转向二次规划，即目标函数是二次的，而约束条件是线性的。这在许多领域，如支持向量机（Support Vector Machines, SVM）的训练中扮演着重要角色。 应用案例分析： 为了加深理解，本书将穿插多个实际应用案例。例如： 机器学习中的应用： 如何利用凸优化训练神经网络、逻辑回归模型，以及进行特征选择。 信号处理与控制系统： 如何用优化方法设计滤波器、控制器，以及进行参数估计。 金融与经济学： 如何进行投资组合优化、风险管理，以及资源分配。 本书的编排旨在循序渐进，从基本概念到复杂理论，再到实际应用。每一部分都力求严谨的数学推导与直观的几何解释相结合，帮助读者构建起坚实的理论基础，并能够灵活运用所学知识解决现实问题。无论您是数学、计算机科学、工程、经济学或其他相关领域的学生或研究人员，相信本书都能为您提供宝贵的洞见和实用的工具。

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