具体描述
这是一部关于概率论与数理统计的深度著作。 内容梗概： 本书系统地阐述了概率论和数理统计的核心概念、理论框架及应用方法。全书分为两大部分：概率论与数理统计。 第一部分：概率论 概率的基本概念与性质： 开篇深入介绍了概率的公理化定义，包括样本空间、事件、概率测度等基本要素。同时，详细讨论了事件的包含、并、交、差运算，以及互斥事件、对立事件等概念。通过丰富的例子，读者将能够深刻理解概率的度量方式及其基本性质，如非负性、规范性、可加性等。 条件概率与独立性： 这一部分是概率论的核心内容之一。我们将详细讲解条件概率的定义、计算方法及其性质，特别是贝叶斯公式的推导与应用，展示其在解决实际问题中的强大威力。接着，深入探讨事件之间的独立性概念，区分条件独立与无条件独立，并通过实例说明独立性在统计推断中的重要作用。 随机变量及其分布： 本章着重介绍一维和多维随机变量的概念。对于离散型随机变量，我们将详述其概率质量函数（PMF）、累积分布函数（CDF）以及常见的离散分布，如伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布等，并深入分析它们的期望、方差及分布特征。对于连续型随机变量，将详细阐述其概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF），并详细介绍均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分布、贝塔分布等重要的连续分布，以及它们的数学性质和应用场景。 随机变量的数字特征： 期望、方差、协方差、矩等数字特征是描述随机变量性质的关键工具。本书将详细介绍这些概念的定义、计算方法及其之间的关系，例如期望的线性性质、方差的计算公式等。此外，还会探讨高阶矩的概念，以及矩母函数、特征函数等用来描述和分析随机变量分布的重要工具。 大数定律与中心极限定理： 这是概率论中关于随机变量序列渐近行为的两个最重要结论。我们将详细阐述伯努利大数定律、切比雪夫大数定律以及辛钦大数定律，解释它们如何揭示大量独立同分布随机变量的平均值趋于其期望值的规律。接着，深入讲解中心极限定理，特别是林德伯格-勒维中心极限定理，说明在何种条件下，独立同分布随机变量的标准化和（或）平均值的分布会逼近标准正态分布，这是许多统计推断方法的重要理论基础。 随机向量与多维分布： 扩展到多维情况，本节将介绍随机向量的概念，以及联合分布函数、联合概率质量函数（对于离散型）和联合概率密度函数（对于连续型）。重点讨论边缘分布、条件分布，以及随机向量的期望、协方差矩阵等。同时，会详细介绍多元正态分布，包括其概率密度函数、均值向量、协方差矩阵，并探讨其重要的性质，如边缘分布和条件分布仍为正态分布。 第二部分：数理统计 统计量与抽样分布： 本部分将从应用的角度出发，介绍统计量的概念，即由样本构成的函数，以及样本均值、样本方差等常用统计量。核心内容是各种统计量的抽样分布，特别是基于正态分布样本的t分布、卡方分布和F分布的来源、性质及其在统计推断中的应用。 参数估计： 估计是数理统计的首要任务。我们将介绍点估计和区间估计两种主要方法。在点估计方面，详细讲解矩估计法和最大似然估计法，分析它们的优缺点，并讨论估计量的评价标准，如无偏性、有效性、一致性等。在区间估计方面，将重点介绍置信区间，讲解如何构造样本均值、样本方差等的置信区间，以及置信水平和置信度的含义。 假设检验： 检验是统计推断的另一重要方面。本书将系统介绍假设检验的基本原理，包括原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域、临界值、p值等概念。我们将详细讲解似然比检验、U检验、t检验、卡方检验、F检验等常用检验方法，并分析它们的适用条件和步骤，例如单样本均值检验、双样本均值检验、方差检验、比例检验等。 方差分析（ANOVA）： 方差分析是用于比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。本书将详细介绍单因素方差分析和双因素方差分析的原理、模型、F检验以及多重比较方法，展示如何通过分解总变异来分析不同因素对响应变量的影响。 回归分析： 回归分析用于研究变量之间的关系。本书将深入讲解简单线性回归和多元线性回归的理论，包括模型设定、参数估计（最小二乘法）、假设检验（对回归系数的显著性检验）、拟合优度检验（R方）以及残差分析。此外，还会简要介绍非线性回归和广义线性模型。 非参数统计： 对于不满足参数模型假设的情况，非参数统计提供了一系列强大的工具。本书将介绍符号检验、秩和检验（如Wilcoxon秩和检验）、Friedman检验等常用的非参数方法，以及它们在排序数据或分布未知情况下的应用。 本书旨在为读者打下坚实的概率论和数理统计理论基础，并使他们能够熟练运用这些工具解决实际问题。每章都配有大量的例题和练习题，以帮助读者巩固理解和提高应用能力。无论是数学、统计学、工程学、经济学、生物学还是社会科学等领域的学生和研究人员，都能从本书中受益。
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