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出版者:科学出版社

作者:И. П. 纳唐松

出品人:

页数:0

译者:徐家福

出版时间:1958

价格:0

装帧:

isbn号码:9780906104149

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• 数学
• 数学分析5
• 数学分析
• 函数构造论
• 构造性数学
• 递归函数
• 可计算性理论
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• 理论计算机科学
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• 数学基础

《概率测量与统计推断：从基础到前沿》 内容简介： 本书旨在为读者提供一个严谨且全面的概率测量与统计推断理论框架。从最基础的概率空间概念出发，逐步深入到测度论的深刻内涵，最终构建起理解复杂统计模型和进行高级统计推断的坚实基石。全书在逻辑上层层递进，理论推导详尽，同时辅以丰富的例证和习题，力求帮助读者不仅掌握抽象的数学概念，更能理解其在实际统计问题中的应用价值。 第一部分：概率测度的基础 本部分将从最基础的概率概念出发，逐步引入测度论的视角。 集合论基础与可测集： 我们将首先回顾集合论的基本概念，包括集合、子集、并集、交集、补集以及可数无限集合的性质。在此基础上，我们将引入sigma代数（σ-algebra）的概念，它是概率测度定义的基石。我们将详细阐述sigma代数的性质，并介绍由一组集合生成的最小sigma代数，例如Borel集。通过具体例子，如实数轴上的Borel集，读者将直观理解可测集的概念。 测度与测度空间： 接着，我们将定义测度，并阐述其基本性质，如非负性、可数可加性。我们将详细讲解Lebesgue测度，作为实数空间上最自然的测度，它在分析和概率论中扮演着核心角色。我们将探讨外测度、Carathéodory扩展定理，从而理解如何从外测度构造出标准的测度。测度空间（Ω, F, μ）的概念将被清晰地引入，其中Ω是样本空间，F是sigma代数，μ是测度。 概率测度与概率空间： 在测度论的基础上，我们自然地过渡到概率测度。我们将定义概率测度，并讲解其满足的三个公理：非负性、总概率为1以及可数可加性。概率空间（Ω, F, P）将是我们后续讨论的核心。我们将深入理解概率测度的性质，例如有限可加性、单调性以及连续性。 随机变量的测度论定义： 传统概率论中的随机变量定义有时显得不够严谨。本书将采用测度论的视角，将随机变量定义为从概率空间到实数（或其他可测空间）的可测映射。我们将详细阐述可测映射的性质，并证明一个重要的结果：随机变量的像集在适当sigma代数下的可测性。这将为理解随机变量的分布函数和期望值打下坚实基础。 分布函数与概率密度函数（测度论视角）： 我们将从测度论的角度重新审视分布函数（CDF）。对于实值随机变量X，其CDF F_X(x) = P(X ≤ x)将被理解为由X诱导在实数轴上的一个概率测度。对于连续型随机变量，我们将引入概率密度函数（PDF）的概念，并说明PDF与诱导测度之间的关系（即，PDF是密度函数，其积分给出了测度）。我们将探讨离散型随机变量及其概率质量函数（PMF），并将其与测度进行对应。 期望值与积分： 期望值是统计推断的核心概念之一。本书将采用Lebesgue积分理论来定义和计算随机变量的期望值。我们将首先回顾Lebesgue积分的基本概念，包括简单函数、非负函数和一般可积函数的积分。然后，我们将定义随机变量X的期望值E[X] = ∫_Ω X dP。我们将详细证明期望值的基本性质，如线性性质、单调性。 重要积分定理： 为了处理复杂随机变量和进行积分运算，我们将重点介绍几个重要的积分定理： 单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）： 描述了一个单调递增的随机变量序列的积分与该序列的极限的积分之间的关系。 Fatou引理（Fatou's Lemma）： 描述了一个非负随机变量序列的极限的积分与该序列积分的下确界之间的关系。 控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）： 是最常用的收敛定理之一，它给出了一个随机变量序列收敛到某个极限时，其积分序列也收敛到极限积分的条件。我们将深入分析定理的条件和应用。 第二部分：随机变量及其分布 本部分将聚焦于不同类型的随机变量以及它们的重要分布。 多维随机变量与联合分布： 我们将扩展随机变量的概念到多维情况，即向量值随机变量。我们将定义联合分布函数以及联合概率密度函数。我们将深入探讨独立随机变量的概念，并阐述独立性与联合分布之间的关系。 随机变量的函数： 在实际问题中，我们经常需要考虑已知随机变量的函数。我们将讨论如何计算一个函数g(X)的期望值，并介绍Jensen不等式，它提供了关于函数期望值和期望函数值之间关系的重要洞察。 条件期望： 条件期望是理解统计模型和因果推断的关键工具。我们将首先从直观上理解条件期望，然后给出基于测度论的严格定义。我们将探讨条件期望的性质，并将其与链式法则等概念联系起来。 常见的离散分布： 本节将详细介绍一系列重要的离散概率分布，包括： 伯努利分布（Bernoulli Distribution）： 单次二项试验的成功概率。 二项分布（Binomial Distribution）： n次独立伯努利试验中成功的次数。我们将推导其概率质量函数，并计算其期望和方差。 泊松分布（Poisson Distribution）： 在固定时间或空间间隔内发生某个随机事件的次数，常用于描述稀疏事件的发生。我们将介绍其参数含义及性质。 几何分布（Geometric Distribution）： 首次成功所需的试验次数。 负二项分布（Negative Binomial Distribution）： 达到r次成功所需的试验次数。 超几何分布（Hypergeometric Distribution）： 在不放回抽样中，从有限总体中抽取时，获得某种特定类型样本的概率。 常见的连续分布： 本节将详细介绍一系列重要的连续概率分布，包括： 均匀分布（Uniform Distribution）： 在某个区间内取值的随机变量，每个值出现的概率相等。 指数分布（Exponential Distribution）： 描述了事件发生的时间间隔，具有无记忆性。 正态分布（Normal Distribution）： 也称为高斯分布，是自然界和统计学中最普遍的分布之一。我们将详细介绍其概率密度函数、期望、方差，并探讨其重要性质，如对称性和钟形曲线。 伽马分布（Gamma Distribution）： 是指数分布和卡方分布的推广，常用于描述等待时间或累积效应。 卡方分布（Chi-squared Distribution）： 在假设检验和置信区间估计中非常重要，是多个独立标准正态变量平方和的分布。 Beta分布（Beta Distribution）： 通常用于描述概率或比例，其定义域在[0, 1]之间。 随机变量的收敛： 在研究大量数据或序列时，随机变量的收敛性非常重要。我们将介绍几种不同类型的收敛： 依概率收敛（Convergence in Probability）： 描述了随机变量序列在概率意义下逼近某个常数或另一个随机变量。 依分布收敛（Convergence in Distribution）： 描述了随机变量序列的分布函数逼近某个极限分布函数。我们将重点关注中心极限定理（Central Limit Theorem）及其在统计推断中的核心作用。 几乎处处收敛（Almost Sure Convergence）： 描述了随机变量序列几乎总是收敛到某个极限。 L_p收敛（Convergence in L_p）： 描述了随机变量序列在L_p范数意义下的收敛。 第三部分：统计推断的基础 本部分将建立概率测度理论的桥梁，引入统计推断的基本概念和方法。 参数估计： 我们将研究如何利用样本数据来估计总体的未知参数。 点估计（Point Estimation）： 引入估计量的概念，并探讨常用的估计方法，如矩估计法（Method of Moments）和最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。我们将深入分析MLE的性质，包括一致性、渐近正态性和渐近最优性。 估计量的性质： 我们将详细讨论估计量的优良性质，如无偏性（Unbiasedness）、有效性（Efficiency）和一致性（Consistency）。我们将介绍Cramér-Rao下界（Cramér-Rao Lower Bound），它为无偏估计的方差提供了理论下限。 区间估计（Interval Estimation）： 介绍置信区间的概念，并展示如何构造均值、方差等参数的置信区间。我们将详细讲解置信水平的含义以及不同置信区间的构造方法。 假设检验（Hypothesis Testing）： 我们将学习如何根据样本数据来检验关于总体的假设。 基本概念： 引入原假设（Null Hypothesis）和备择假设（Alternative Hypothesis）的概念。我们将解释检验统计量、拒绝域、显著性水平（Significance Level）和p值（p-value）等基本要素。 第一类错误（Type I Error）和第二类错误（Type II Error）： 详细解释这两种错误发生的含义以及它们之间的权衡关系。 检验的功效（Power of a Test）： 定义检验的功效，并探讨如何提高检验的功效。 常用检验方法： 介绍一些基本的假设检验方法，如t检验（t-test）、Z检验（Z-test）和卡方检验（Chi-squared test）等，并阐述其适用条件和推导过程。 参数模型的概念： 我们将介绍参数模型的框架，即将总体分布假定为依赖于一组未知参数的某个族。我们将讨论模型的选择和拟合。 贝叶斯统计推断简介： 为了提供一个更全面的视角，我们将简要介绍贝叶斯统计推断的基本思想。我们将引入先验分布（Prior Distribution）、似然函数（Likelihood Function）和后验分布（Posterior Distribution）的概念，并解释贝叶斯定理在参数估计和模型选择中的应用。 第四部分：进阶主题与应用 本部分将对前面内容进行拓展，介绍一些更高级的主题和实际应用。 最大似然估计的渐近理论： 深入探讨最大似然估计的渐近性质，包括一致性、渐近正态性和渐近有效性。这将为理解复杂模型下的参数估计提供理论依据。 非参数统计简介： 介绍一些不依赖于具体参数模型假设的统计方法，例如经验分布函数（Empirical Distribution Function）和基于秩的检验（Rank-based Tests）。 时间序列分析基础： 简要介绍时间序列数据的特点，以及一些基本的模型，如AR（自回归）、MA（移动平均）和ARMA（自回归移动平均）模型。 多元统计分析简介： 简要介绍多元数据的特点，以及一些基本的多元统计方法，如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA）。 随机过程简介（可选）： 对于有兴趣的读者，本书将提供对随机过程（如马尔可夫链）的简要介绍，展示概率测量理论在动态系统建模中的应用。 本书特色： 严谨的数学表述： 本书以测度论为基石，确保了理论的严谨性和一致性。 清晰的逻辑结构： 内容从基础概念循序渐进，逐步深入到复杂理论。 丰富的例证： 大量精心设计的例子帮助读者理解抽象概念。 实用的习题： 每章都配有不同难度的习题，巩固学习效果。 理论与实践的结合： 强调数学理论在统计推断和实际问题中的应用。 目标读者： 本书适合数学、统计学、经济学、金融学、计算机科学、工程学等相关专业的高年级本科生、研究生，以及需要深入理解概率测量和统计推断理论的科研人员和从业者。具备高等数学（微积分、线性代数）和基础概率论知识的读者将更容易掌握本书内容。

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这部著作的深入探讨了数学基础的根基，尤其是关于函数构造的严谨逻辑和哲学意涵。作者以一种近乎建筑师般的精确性，拆解并重构了我们对“存在”与“定义”的理解。书中引人入胜地展示了如何从最基础的集合论公理出发，逐步搭建起复杂的分析结构。我尤其欣赏它在处理某些经典悖论时的独特视角，它没有简单地回避那些棘手的问题，而是将其视为深化理解的契机。阅读过程中，我感觉自己仿佛置身于一个巨大的逻辑迷宫，每一步都充满了挑战，但每解开一个结，都会带来豁然开朗的喜悦。对于那些醉心于纯粹数学美感，并渴望探究其底层架构的读者来说，这本书无疑是一份厚礼。它不是一本轻松的读物，但它的回报是深远的——它能重塑你思考数学问题的方式，使其更加坚实和深刻。那些热衷于理论深度而非应用技巧的同行，想必能从中汲取无尽的灵感。

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这本关于函数构造的论述，其笔触之细腻和观察之犀利，让人不得不惊叹于作者对数学史和理论演进的深刻洞察力。它并非仅仅罗列定理和证明，而是深入探究了那些看似理所当然的数学概念是如何在历史的长河中被塑造、争论和最终确立的。书中对不同数学学派在构造性问题上的分歧进行了精彩的梳理和对比，特别是关于“可计算性”和“非构造性证明”的交锋，写得尤为精彩。我感觉自己像是在听一场跨越世纪的学术辩论，作者是这场辩论的优秀主持者和评论家。它成功地将冰冷的数学符号赋予了历史的温度和思想的张力。对于希望理解数学知识体系“为什么是这样而不是那样”的读者，这本书提供了极佳的背景和批判性思维的工具。

评分☆☆☆☆☆

这部作品的排版和装帧都透着一股古典的严谨感，拿到手里就能感受到它的分量。内容上，它非常侧重于对数学结构进行“合成”的过程，强调构建过程中的每一步骤的必要性和充分性。书中对于“无限”概念的谨慎处理，尤其是如何用有限的步骤去描述和操作无限集合，提供了我以前未曾见过的视角。它似乎在向读者低语：真正的数学力量不在于证明一个事物存在，而在于告诉你如何将其“制造”出来。其中关于函数空间完备性的探讨，用一种近乎诗意的方式描述了数学对象之间的相互依赖关系。对于那些已经对标准分析滚瓜烂熟，并寻求更高层次理论统一性的研究生或研究人员来说，这本书无疑是提供了一种“元思考”的框架，值得反复研读和对照思考。

评分☆☆☆☆☆

我必须坦诚，我是在带着极高的期望接触这本书的，而它在某些方面超出了我的预期，却在另一些方面让人感到有些吃力。该书对高级分析中的紧致性概念的引入方式非常独特，它没有采用标准的拓扑空间定义，而是另辟蹊径，从序列的收敛性出发进行归纳。这种自下而上的构建方式在逻辑上非常漂亮，体现了作者对结构化思维的偏爱。然而，这种非主流的路径使得前半部分的阅读流畅度大打折扣，需要读者具备扎实的预备知识，否则很容易迷失在繁复的符号转换之中。不过，一旦适应了作者的“节奏”，你会发现其内部逻辑的自洽性和优雅性是无与伦比的。它更像是一部艺术品，需要时间和心境去欣赏其独特的纹理。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的阅读体验简直是一场智力上的攀登。它的语言密度极高，充满了晦涩的符号和严密的论证链条，初次翻开时，我甚至需要反复咀嚼每一个句子才能勉强跟上作者的思路。但这正是它的价值所在——它拒绝迎合“快速消费”的阅读习惯。作者似乎有意设置了很高的门槛，仿佛在筛选那些真正有毅力和耐心去深入挖掘抽象概念的头脑。我花了数周时间才消化完其中关于极限理论重构的章节，那里的论证环环相扣，如同精密的瑞士钟表，一旦错漏一步，整个系统就会崩塌。这本书的真正魅力在于，它迫使你停止依赖直觉，转而完全拥抱形式逻辑的冷峻与强大。我推荐给所有对数学哲学，特别是逻辑主义流派有强烈兴趣的学者，它提供的视角是传统教材中难以寻觅的。

评分☆☆☆☆☆

关于函数逼近，关于函数构造。函数逼近的不同标准，不同方法。那汤松的写作是真正的数学家的写作。直观上理解的重视，这样的写作在国内的教科书鲜见；证明很严谨。多项式和点集收敛的关系.读到关于多项式和0的差值的时候，感觉有点玄幻了

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