具体描述
《21世纪高等院校数学基础课系列教材:复变函数论》是在遵循普通高等院校《理工科本科复变函数课程教学基本要求》的基础上，广泛参考国内外经典教材，按照新形势下教材改革精神，同时结合作者长期的教学改革实践经验编写而成的，其内容组织由浅入深，较全面、系统地介绍了解析函数的基本理论和方法。《21世纪高等院校数学基础课系列教材:复变函数论》共七章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数理论、留数理论及其应用、共形映射、解析延拓简介。每章配有适量的习题，并在书后给出简略参考答案，《21世纪高等院校数学基础课系列教材:复变函数论》内容丰富，体系严谨，讲解通俗易懂，具有很强的可读性。
《复变函数论》 内容简介 《复变函数论》是一部深度探讨复数域内函数性质、行为及其应用的经典著作。本书旨在为读者构建一个严谨且全面的复变函数理论体系，从基础的复数与复变函数概念出发，逐步深入到柯西-黎曼方程、解析函数、复积分、留数定理等核心内容，最终触及一些更高级的应用，如共形映射、积分变换等。 全书以清晰的逻辑结构和严谨的数学语言展开。首先，本书会详细介绍复数的代数与几何表示，包括复数的加减乘除、模、辐角、共轭以及复平面上的几何意义。在此基础上，引入复变函数的基本概念，如复变量、复值函数、函数的极限、连续性等，并给出严格的定义和直观的解释。 接着，本书将重点阐述解析函数的概念及其重要性。通过引入柯西-黎曼方程，本书详细分析了复变函数可微的充要条件，并深入探讨了解析函数的各种性质，例如解析函数在复平面上的光滑性、无穷次可微性以及其泰勒级数展开的性质。这将为理解函数的局部行为和全局结构奠定基础。 复积分是复变函数论中的一个核心工具。本书将详细介绍复积分的定义、性质以及计算方法。特别地，本书会深入讲解柯西积分定理和柯西积分公式，这两个里程碑式的定理不仅是复变函数论的基石，更是分析工具的强大体现。通过这些公式，可以将函数在某个区域内的性质与其边界上的信息联系起来，极大地简化了函数的分析过程。 留数定理是复变函数论中最具实用价值的定理之一。本书将详细介绍留数的概念，以及如何计算函数在孤立奇点处的留数。在此基础上，深入阐述留数定理，并展示如何利用留数定理来计算各种复杂的定积分和无穷积分。这些计算技巧在物理学、工程学以及其他数学分支中有着广泛的应用。 此外，本书还会涉猎共形映射这一重要的几何分析概念。共形映射是指保持角度的映射，它们在几何问题、物理场的分析中扮演着至关重要的角色。本书将介绍共形映射的性质，以及如何利用这些性质解决边值问题、流体力学和电磁场理论中的一些经典问题。 贯穿全书的是大量精选的例题和习题。例题旨在帮助读者理解抽象的理论概念，并通过具体的计算过程演示方法的应用。习题则覆盖了从基础概念的检验到复杂问题的解决，旨在全面锻炼读者的逻辑思维能力和数学分析能力。 《复变函数论》不仅是一部理论性的数学著作，更是一部连接理论与实践的桥梁。它所揭示的数学原理和方法，对于理解和解决许多科学和工程领域中的问题具有不可替代的作用。本书适合数学、物理、工程等相关专业的学生和研究人员阅读，也为任何对复变函数论及其应用感兴趣的读者提供了深入学习的平台。通过研读本书，读者将能够掌握一套强大的数学工具，深刻理解复数域内函数的奥秘，并将其应用于解决实际问题。
作者简介
目录信息
第一章 复数与复变函数
1 复数
一、复数域
二、复平面
三、复数的乘幂与方根
四、共轭复数的性质
五、复数在几何中的应用
2 复平面上的点集
一、基本概念
二、区域与曲线
3 复变函数
一、复变函数的概念
二、复变函数的极限与连续性
4 复球面与无穷远点
一、复球面
二、扩充复平面上的几个概念
习题一
第二章 解析函数
1 解析函数的概念
一、导数与微分
二、解析函数
三、柯西一黎曼方程
2 初等解析函数
一、幂函数
二、指数函数
三、三角函数
3 基本初等多值函数
一、根式函数
二、对数函数
三、一般幂函数与一般指数函数
4 一般初等多值函数
一、基本理论
二、辐角函数
三、ArgR（x）的可单值分支问题
四、LnR（x）的可单值分支问题
五、ω＝n√R（x）的可单值分支问题
六、反三角函数与反双曲函数
习题二
第三章 复变函数的积分
1 复变函数积分的概念及其基本性质
一、复变函数积分的定义及计算
二、复变函数积分的基本性质
2 柯西积分定理
一、柯西积分定理
二、不定积分
3 柯西积分公式及其推论
一、柯西积分公式
二、柯西导数公式
三、柯西不等式
四、摩勒拉定理
4 解析函数与调和函数的关系
一、解析函数与调和函数的关系
二、解析函数的求法
习题三
第四章 解析函数的级数理论
1 一般理论
一、复数项级数
二、复变函数项级数
三、解析函数项级数
四、幂级数及其和函数
2 泰勒级数
一、泰勒定理
二、一些初等函数的泰勒展式
3 解析函数的零点及唯一性定理
一、解析函数的零点
二、唯一性定理
三、最大模原理
4 洛朗级数
一、洛朗级数
二、洛朗定理
三、解析函数的孤立奇点
四、解析函数在无穷远点的性质
五、整函数与亚纯函数
习题四
第五章 留数理论及其应用
1 留数及留数定理
一、留数的定义及其求法
二、留数定理
2 用留数定理计算实积分
一、计算∫2π0 R（cos0，sinθ）dθ型积分
二、计算∫＋∞－∞P（x）/Q（x）dx型积分
三、计算∫＋∞－∞P（x）/Q（x）eimxdx型积分
四、计算积分路径上有奇点的积分
3 辐角原理与儒歇定理
一、对数留数
二、辐角原理
三、儒歇定理
习题五
第六章 共形映射
1 共形映射
2 分式线性变换
一、四种基本变换
二、分式线性变换及其分解
三、分式线性变换的性质
四、分式线性变换的应用
3 某些初等函数构成的共形映射
一、幂函数与根式函数
二、指数函数与对数函数
三、两角形区域的共形映射
4 共形映射的一般理论
一、黎曼存在定理
二、黎曼边界对应定理
习题六
第七章 解析延拓简介
1 解析延拓的概念和方法
一、基本概念
二、幂级数延拓
三、透弧延拓
2 完全解析函数及单值性定理
一、完全解析函数
二、单值性定理
参考文献
名词索引
习题答案与提示
· · · · · · (收起)
1 复数
一、复数域
二、复平面
三、复数的乘幂与方根
四、共轭复数的性质
五、复数在几何中的应用
2 复平面上的点集
一、基本概念
二、区域与曲线
3 复变函数
一、复变函数的概念
二、复变函数的极限与连续性
4 复球面与无穷远点
一、复球面
二、扩充复平面上的几个概念
习题一
第二章 解析函数
1 解析函数的概念
一、导数与微分
二、解析函数
三、柯西一黎曼方程
2 初等解析函数
一、幂函数
二、指数函数
三、三角函数
3 基本初等多值函数
一、根式函数
二、对数函数
三、一般幂函数与一般指数函数
4 一般初等多值函数
一、基本理论
二、辐角函数
三、ArgR（x）的可单值分支问题
四、LnR（x）的可单值分支问题
五、ω＝n√R（x）的可单值分支问题
六、反三角函数与反双曲函数
习题二
第三章 复变函数的积分
1 复变函数积分的概念及其基本性质
一、复变函数积分的定义及计算
二、复变函数积分的基本性质
2 柯西积分定理
一、柯西积分定理
二、不定积分
3 柯西积分公式及其推论
一、柯西积分公式
二、柯西导数公式
三、柯西不等式
四、摩勒拉定理
4 解析函数与调和函数的关系
一、解析函数与调和函数的关系
二、解析函数的求法
习题三
第四章 解析函数的级数理论
1 一般理论
一、复数项级数
二、复变函数项级数
三、解析函数项级数
四、幂级数及其和函数
2 泰勒级数
一、泰勒定理
二、一些初等函数的泰勒展式
3 解析函数的零点及唯一性定理
一、解析函数的零点
二、唯一性定理
三、最大模原理
4 洛朗级数
一、洛朗级数
二、洛朗定理
三、解析函数的孤立奇点
四、解析函数在无穷远点的性质
五、整函数与亚纯函数
习题四
第五章 留数理论及其应用
1 留数及留数定理
一、留数的定义及其求法
二、留数定理
2 用留数定理计算实积分
一、计算∫2π0 R（cos0，sinθ）dθ型积分
二、计算∫＋∞－∞P（x）/Q（x）dx型积分
三、计算∫＋∞－∞P（x）/Q（x）eimxdx型积分
四、计算积分路径上有奇点的积分
3 辐角原理与儒歇定理
一、对数留数
二、辐角原理
三、儒歇定理
习题五
第六章 共形映射
1 共形映射
2 分式线性变换
一、四种基本变换
二、分式线性变换及其分解
三、分式线性变换的性质
四、分式线性变换的应用
3 某些初等函数构成的共形映射
一、幂函数与根式函数
二、指数函数与对数函数
三、两角形区域的共形映射
4 共形映射的一般理论
一、黎曼存在定理
二、黎曼边界对应定理
习题六
第七章 解析延拓简介
1 解析延拓的概念和方法
一、基本概念
二、幂级数延拓
三、透弧延拓
2 完全解析函数及单值性定理
一、完全解析函数
二、单值性定理
参考文献
名词索引
习题答案与提示
· · · · · · (收起)
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