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《复变函数与积分变换》 本书深入探讨复变函数论的核心概念及其在解决各类工程与科学问题中的强大应用，特别是通过积分变换这一关键工具。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为读者构建扎实的理论基础，并提供丰富的实践指导。 第一部分：复变函数基础 本部分首先引入复数及其几何意义，为后续内容奠定基础。读者将学习复数的基本运算，包括加减乘除、共轭、模、幅角等，并理解复数在复平面上的对应关系。 随后，本书详细介绍复变函数。我们将考察复变函数的极限、连续性以及导数。在此基础上，建立柯西-黎曼方程，它是复变函数可导的充要条件，并引申出解析函数的概念。解析函数是复变函数论的核心，它们具备许多优良的性质，如无限次可微、泰勒级数展开等。 本书将重点讲解初等复变函数，包括指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数以及幂函数。对这些函数的性质、图像及其在不同定义域内的表现将进行细致的分析。 接着，我们将深入研究复积分。复积分的定义、性质以及计算方法是理解后续内容的关键。本书将详细阐述格林公式在复积分中的应用，并引入柯西积分定理和柯西积分公式，这是复变函数论的基石。柯西积分公式不仅能用于计算复积分，更揭示了解析函数的重要性质。 随后，本书将探讨级数，包括复数项级数和函数项级数。特别是幂级数，我们将研究其收敛域，并介绍泰勒级数和洛朗级数。洛朗级数对于研究解析函数在奇点附近的性质至关重要。 本书还将详尽阐述留数定理。留数是复变函数在孤立奇点附近行为的重要度量，留数定理是计算复积分，特别是闭合曲线上的复积分的强大工具。本书将通过大量实例演示如何计算留数以及如何运用留数定理求解各种积分。 第二部分：积分变换 本部分将焦点转向积分变换，重点介绍拉普拉斯变换和傅里叶变换。这两种积分变换是解决微分方程、信号处理、系统分析等领域问题的核心技术。 拉普拉斯变换 本书将首先介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及收敛域。我们将详细推导常见的函数（如单位阶跃函数、指数函数、三角函数、单位冲激函数等）的拉普拉斯变换。 随后，本书将重点讲解拉普拉斯变换的性质，包括线性性质、延迟性质、积分性质、微分性质、卷积定理等。这些性质极大地简化了复杂函数的变换和反变换过程。 本书将花费大量篇幅介绍拉普拉斯逆变换的计算方法，包括部分分式法、留数定理法等。通过这些方法，我们可以从变换域回到原函数域，从而求得问题的解。 拉普拉斯变换在求解常微分方程和线性常系数偏微分方程中有着极其重要的应用。本书将通过大量的实际工程问题，如电路分析、系统响应、控制理论等，展示拉普拉斯变换如何有效地将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。 傅里叶变换 本书将系统介绍傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶级数用于表示周期函数，而傅里叶变换则将非周期函数分解为不同频率的余弦和正弦函数的叠加。 我们将详细介绍傅里叶级数的收敛性，以及傅里叶级数的计算方法。 本书将重点讲解傅里叶变换的定义、性质以及傅里叶逆变换。我们将推导常见函数的傅里叶变换，并深入分析傅里叶变换的性质，如线性性质、时移性质、频移性质、卷积定理、帕塞瓦尔定理等。 傅里叶变换在信号与系统、图像处理、通信工程等领域有着广泛的应用。本书将通过实例说明如何利用傅里叶变换分析信号的频谱特性，如何进行滤波，以及如何解决卷积积分等问题。 第三部分：综合应用与进阶 本部分将复变函数和积分变换的知识融会贯通，通过一系列综合性强的应用案例，加深读者对所学内容的理解。 本书将探讨如何利用复变函数的方法（如留数定理）来计算傅里叶积分和一些特殊的实积分。 此外，本书还将简要介绍一些其他重要的积分变换，如Z变换，以及它们在离散系统分析中的作用。 本书特色： 理论严谨： 概念清晰，证明详尽，数学语言规范。 例题丰富： 大量精选的例题，覆盖从基础到综合的各类问题，帮助读者巩固理解。 应用广泛： 强调理论在工程和科学领域的实际应用，激发读者学习兴趣。 循序渐进： 内容安排由浅入深，适合不同层次的读者。 图文并茂： 恰当的图形辅助理解，使抽象的数学概念更加直观。 本书适合高等院校数学、物理、工程类专业的学生，以及从事相关研究和工作的工程师和科研人员阅读。通过学习本书，读者将掌握分析和解决复杂问题的强大数学工具。
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