Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Graphs (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1983-12-31

价格:GBP 47.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540908944

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

微分流形
李群
拓扑学
几何学
数学分析
Graduate Texts in Mathematics
微分几何
流形
代数拓扑
李代数

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具体描述

《可微流形与李群基础》（数学研究生教材）本书旨在为数学研究生提供可微流形与李群这一深刻而迷人的数学分支的坚实基础。内容涵盖了从基础概念到高级理论的广泛主题，为读者深入探索几何学、拓扑学、以及理论物理学中的许多前沿问题奠定必要的理论准备。核心内容概述：拓扑空间与度量空间：本书的起点是回顾和巩固拓扑空间的基本概念，包括开集、闭集、紧致性、连通性等。在此基础上，引入度量空间的定义及其重要性质，为理解流形上的距离和分析奠定基础。流形的概念：详细阐述了可微流形的定义，即局部上可以被欧氏空间“嵌入”的拓扑空间。我们将探讨流形的局部坐标系、图集、以及区分不同图集的标准。重点会放在欧氏空间本身的分析性质，以及如何将这些性质推广到更一般的流形上。微分结构与光滑函数：深入研究流形上的微分结构。我们将定义光滑函数、光滑映射，并建立切空间的概念。切空间是理解流形上矢量场、微分形式以及微分方程的关键工具。我们将详细讨论切向量的定义，以及如何在不同的图集之间进行坐标变换。向量场与微分形式：详细介绍向量场和微分形式，它们是描述流形上几何和分析特性的基本对象。我们将探讨向量场的积分曲线，并引入李导数，这是研究向量场作用下几何对象变化的有力工具。微分形式的内积、外积、以及嘉当积分等概念也将被深入讲解。外微分与德拉姆定理：本书的核心内容之一是外微分的理论。我们将定义外微分算子，并研究它在微分形式上的作用。由此引出德拉姆定理，这是连接微分形式的代数拓扑性质与流形几何特性的一个 fundamental 定理，它在拓扑学和微分几何中扮演着至关重要的角色。李群与李代数：在建立起可微流形及其分析工具后，本书将引入李群和李代数。李群是具有光滑流形结构的群，它们在对称性理论中具有核心地位。我们将研究李群的局部结构，并重点探讨李代数，即李群在单位元附近的线性化。李代数是研究李群性质的强有力工具，许多关于李群的复杂问题都可以通过研究其李代数来解决。指数映射：指数映射是连接李代数和李群的重要桥梁。我们将详细解释指数映射的定义，以及它如何将李代数中的元素映射到李群中的元素。指数映射在研究李群的连通性以及李群和李代数之间的同态关系方面发挥着关键作用。子流形与浸入/淹没：本书还会涉及子流形的理论，即一个流形嵌入到另一个流形中。我们将定义浸入和淹没，并研究它们与导函数的性质之间的关系。这些概念在理解高维空间中的低维结构时非常重要。黎曼流形（简介）：为了给读者提供一个初步的视角，本书还将简要介绍黎曼流形的概念。黎曼流形是在流形上引入了一个度量张量，从而能够定义距离、角度、曲率等几何概念。虽然不深入研究黎曼几何的细节，但会为后续更深入的学习打下基础。本书特点：循序渐进的教学方法：从最基础的拓扑概念开始，逐步引入复杂的流形和李群理论。严谨的数学表述：采用精确的定义和证明，确保读者对概念的理解深入透彻。丰富的例证与练习：包含大量有助于理解抽象概念的具体例子，并提供一系列精心设计的练习题，以巩固所学知识。为进阶研究打下基础：内容的选择考虑到了后续学习的需要，为读者在代数几何、微分几何、微分拓扑、理论物理等领域的研究做好准备。本书适合数学、物理等相关专业的硕士及博士研究生，以及对微分流形和李群理论感兴趣的科研人员。通过对本书的学习，读者将能够熟练掌握可微流形和李群的基本理论工具，并具备分析和解决相关数学问题的能力。