Numerical Methods For Mathematics, Science, and Engineering pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall College Div

作者:John H. Mathews

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1992-01-30

价格:USD 84.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780136249900

丛书系列:

图书标签:

• 数值方法
• 数学
• 科学
• 工程
• 计算数学
• 算法
• 高等数学
• 数值分析
• 科学计算
• 工程计算

剖析现代计算的基石：数学、科学与工程领域的数值方法 在现代科学研究、工程设计以及数据分析的广阔领域中，我们常常面临着解析方法难以企及的复杂问题。当方程组庞大而复杂，当函数形态难以描述，当实验数据充满不确定性，我们便将目光投向了数值方法的强大武器库。这门学科，如同隐藏在精密仪器背后的无形之手，赋予我们理解、模拟和解决现实世界挑战的能力。 本书旨在深入探索这些强大的数值技术，并着重阐述它们在数学、科学和工程各个分支中的实际应用。我们并非仅仅罗列算法，而是力求揭示其背后的数学原理，理解其精度与效率的权衡，并引导读者掌握如何在具体问题中选择、实现和优化这些工具。 数学之魂：逼近与迭代的艺术 数值方法的核心在于“逼近”。面对解析上无法精确求解的问题，我们转而寻求一个足够接近的近似解。这一过程本身就蕴含着深刻的数学思想。 方程求解： 对于非线性方程，我们无法直接给出封闭形式的解。诸如二分法（Bisection Method）、不动点迭代法（Fixed-Point Iteration）和牛顿法（Newton's Method）等方法，则通过巧妙的迭代过程，逐步缩小根的范围，或朝着根的方向加速收敛。我们将详细分析这些方法的收敛性，探讨它们的优缺点，并考察它们在不同函数形态下的表现。例如，牛顿法以其快速的二次收敛性著称，但其对初值和导数的敏感性也需要我们仔细权衡。 插值与逼近： 当我们拥有离散的数据点，但需要一个连续的函数来描述其变化趋势时，插值技术便应运而生。多项式插值，如拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛顿插值（Newton's Divided Differences），能够构造通过所有数据点的多项式。我们将探讨这些方法的构造方式，并深入分析龙格现象（Runge's Phenomenon），即高次多项式插值可能在区间端点附近产生剧烈振荡。为了克服这一问题，分段多项式插值，特别是样条插值（Spline Interpolation），如三次样条，成为了更受欢迎的选择，它在保持平滑性的同时，避免了全局高次多项式的振荡。 数值积分： 计算定积分的精确值有时困难重重。数值积分方法，如梯形法则（Trapezoidal Rule）、辛普森法则（Simpson's Rule）以及更一般的牛顿-科特斯公式（Newton-Cotes Formulas），通过将积分区间离散化，并用多项式逼近被积函数，来近似计算积分值。我们将分析这些方法的误差项，理解其精度与步长之间的关系，并探讨复合梯形法则（Composite Trapezoidal Rule）和复合辛普森法则（Composite Simpson's Rule）如何通过增加子区间的数量来提高整体精度。 数值微分： 导数的计算在许多物理和工程问题中至关重要。当解析导数不可用或过于复杂时，数值微分提供了替代方案。基于泰勒展开，我们可以得到前向差分（Forward Difference）、后向差分（Backward Difference）和中心差分（Central Difference）公式来近似导数。我们将分析它们的误差特性，并强调中心差分通常具有更高的精度。 科学计算的支柱：模拟与预测的工具 数值方法是模拟复杂科学现象不可或缺的工具，它们使得我们能够“运行”理论模型，并观察其行为。 微分方程的求解： 许多科学定律都以微分方程的形式表达。对于常微分方程（ODE），欧拉方法（Euler's Method）是最基础的数值解法，尽管其精度较低，但易于理解。改进欧拉方法（Improved Euler Method）和龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods），如经典的四阶龙格-库塔方法（RK4），则通过更复杂的步长估计和函数值计算，显著提高了精度和稳定性。我们将深入探讨这些方法的原理、收敛性分析，以及它们在解决各种物理过程模拟（如粒子运动、电路分析）中的应用。 对于偏微分方程（PDE），数值方法的复杂性大大增加。有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是求解PDE的常用技术，它将空间和时间域离散化，并将PDE转化为代数方程组。我们将考察如何利用差分近似来代替PDE中的偏导数，并讨论不同边界条件的处理方法。此外，有限元法（Finite Element Method, FEM），一种更为强大的技术，尤其适用于复杂几何形状和非均匀介质的问题，它将求解域分割成小的“单元”，并在每个单元上使用简单的基函数来近似解。 线性代数系统： 在数值模拟中，我们常常需要求解大规模的线性方程组 Ax = b。直接法，如高斯消元法（Gaussian Elimination）及其改进形式（如LU分解），可以一次性得到精确解，但计算量随着方程组规模的增加而急剧增长。迭代法，如雅可比迭代法（Jacobi Iteration）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration），通过反复迭代逼近解，在某些情况下能更有效率，尤其当矩阵是稀疏或对角占优时。我们将分析这些方法的收敛条件，并探讨其在求解由网格化引起的稀疏线性系统中的优势。 数据分析与统计： 在科学研究中，我们积累了海量数据。数值方法在数据处理、拟合和统计分析中扮演着重要角色。最小二乘法（Least Squares Method）是拟合数据到模型的最常用技术，它最小化了观测值与模型预测值之间的平方误差。我们将学习如何构建和求解最小二乘问题，无论是线性还是非线性情况。此外，蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods），利用随机抽样来估计复杂积分或求解高维问题，在统计模拟和机器学习领域也日益普及。 工程实践的利器：优化与控制的设计 工程领域离不开精确的计算和有效的优化，数值方法为工程师提供了解决复杂设计和控制问题的强大工具。 优化问题： 寻找一个函数在给定约束条件下的最小值或最大值是工程设计中的常见任务。梯度下降法（Gradient Descent）是最基础的无约束优化算法之一，它沿着函数负梯度方向迭代。牛顿优化法和拟牛顿法则利用二阶导数信息，提供更快的收敛速度。对于约束优化，拉格朗日乘子法（Lagrange Multipliers）和序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）等方法被广泛应用。我们将探讨这些算法的原理，并研究它们在参数寻优、结构设计优化等工程问题中的应用。 信号处理与滤波： 在通信、控制和数据采集等领域，对信号的分析和处理至关重要。傅里叶变换（Fourier Transform）及其离散形式（离散傅里叶变换, DFT 和 快速傅里叶变换, FFT）是分析信号频谱的强大工具。数值方法使得我们能够高效地计算FFT，从而进行频率域分析、滤波和重建。此外，数字滤波器的设计和实现，也大量依赖于数值计算。 控制系统设计： 动态系统的建模和控制是现代工程的核心。数值方法被用于求解控制系统中的微分方程，进行系统辨识，以及设计最优控制器。例如，状态空间方法需要数值求解线性常微分方程组，而模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）则依赖于在线优化的求解器来生成控制信号。 学习路径与展望 本书将从基础概念入手，逐步深入到更高级的主题。每章都将包含理论讲解、算法推导和实际案例分析。我们将鼓励读者动手实践，利用编程语言（如Python、MATLAB）实现这些算法，并在真实或模拟数据集上进行测试。 理解数值方法的精髓，不仅仅是掌握一套孤立的算法，更是培养一种科学思维方式：如何将现实世界的问题抽象为数学模型，如何权衡近似解的精度与计算成本，以及如何选择最适合特定问题的计算工具。这些技能，对于任何希望在科学、技术、工程和数学（STEM）领域做出贡献的人来说，都至关重要。 通过对数学、科学与工程领域数值方法的深入探讨，我们期望读者能够掌握一套强大的计算工具，能够独立解决复杂问题，并为未来的创新和发现奠定坚实的基础。这是一个充满挑战但也充满回报的学习旅程，它将解锁科学研究和工程实践的无限可能。

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