Axiomatic Set Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Gaisi Takeuti

出品人:

页数:238

译者:

出版时间:1973-4-6

价格:USD 21.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780387900506

丛书系列:

图书标签:

• 数理逻辑
• 集合论
• 教科书
• 公理集合论
• Set-Theory
• Logic
• Set Theory
• Axiom
• Mathematics
• Logic
• Foundation
• Philosophy of Mathematics
• Independence
• Proof
• Theory
• Model Theory

《集合论公理化探秘：构建现代数学的基石》 本书并非对《Axiomatic Set Theory》一书内容的概述，而是旨在深入探讨现代数学之所以能巍然屹立的基石——集合论的公理化体系。我们将溯源而上，探究数学家们为何需要公理，以及一套严谨的公理系统如何构建起庞大而又自洽的数学世界。 第一章：何为公理？为何需要公理？ 在开始我们的探索之前，有必要先厘清“公理”的概念。公理并非凭空捏造，也不是未经证明的真理，而是作为特定理论体系的出发点，是那些不证自明、被广泛接受且具有基本一致性的陈述。我们之所以需要公理，是因为人类的思维和语言在描述无限和抽象概念时，天然存在模糊性与易出错性。从古希腊欧几里得的《几何原本》开始，公理化思想就一直是追求数学严谨性的重要手段。通过设定一组基本的、不受质疑的规则，我们能够逻辑地推导出所有其他的数学命题，从而避免无限的追溯和主观的臆断。本章将通过历史的视角，展示公理化方法在数学发展中的关键作用，以及在集合论领域引入公理化体系的必然性。我们将探讨早期集合论中的悖论（如罗素悖论），这些悖论深刻地揭示了直观的集合概念存在内在的矛盾，从而催生了对严格公理化体系的需求。 第二章：Zermelo-Fraenkel (ZF) 公理系统：现代集合论的骨架 Zermelo-Fraenkel (ZF) 公理系统是目前最被广泛接受和使用的公理化集合论体系。它由一系列精心设计的公理构成，旨在规避早期直觉集合论中的悖论，并为所有数学对象提供一个统一的奠基。本章将逐一解析ZF公理系统的核心成员： 外延公理 (Axiom of Extensionality): 任何两个集合，如果它们拥有完全相同的元素，那么这两个集合就是同一个集合。这是集合相等性的根本定义。 空集公理 (Axiom of Empty Set): 存在一个不包含任何元素的集合，即空集。 配对公理 (Axiom of Pairing): 对于任意两个集合A和B，存在一个集合，其唯一元素是A和B。这允许我们构建形如 ${A, B}$ 的二元素集。 并集公理 (Axiom of Union): 对于任意一个集合A，存在一个集合，它包含所有属于A的集合的元素。换句话说，如果A包含了一系列的集合，我们可以将这些集合的元素“合并”成一个新的集合。 幂集公理 (Axiom of Power Set): 对于任意集合A，存在一个集合，它包含了A的所有子集。这个公理允许我们构建比原集合“更大”的集合。 替换公理模式 (Axiom Schema of Replacement): 如果有一个“良性”的函数（即对于定义域中的每个元素，它都映射到唯一的集合），那么对于任意集合A，存在一个集合，它包含了函数作用于A中每个元素的结果。这个公理模式非常强大，它允许我们从已有的集合构造新的集合，并且是证明许多重要集合性质的关键。 无穷公理 (Axiom of Infinity): 存在一个包含空集，并且对于其中任何一个元素x，都包含x ∪ {x} 的集合。这是确保自然数以及其他无限集合存在的基石。 正则公理（也称基础公理）(Axiom of Regularity or Axiom of Foundation): 任何非空集合A，都存在一个元素x，使得x与A的交集为空集。这个公理确保了集合的“良基性”，防止了循环定义（如A ∈ A）和无限下降链的存在，从而保证了集合的层次结构。 分离公理模式 (Axiom Schema of Separation/Comprehension): 对于任意集合A和一个性质P，存在一个集合B，它包含A中所有满足性质P的元素。这个公理模式与外延公理一起，确保了集合的“良定义性”，即集合的成员是由其所拥有的性质来确定的，并且避免了由性质直接定义的“概括集合”可能引起的悖论。 我们将详细解释每个公理的作用，以及它们是如何协同工作来构建集合论的。 第三章：ZF 的扩展：选择公理 (AC) 与 ZFC 在 ZF 公理系统之上，数学家们引入了另一个重要的公理——选择公理 (Axiom of Choice, AC)。虽然 AC 本身并不直接从ZF的其他公理推导出来，但它的引入极大地增强了集合论的表达能力，并且是证明许多重要数学定理（如良序定理、不动点定理、代数闭域的性质等）所必需的。本章将深入探讨选择公理的内容，分析其重要性，并解释为何选择公理的接受程度存在争议。我们将介绍 ZFC (Zermelo-Fraenkel + Choice) 公理系统，它是由ZF公理加上选择公理构成的，是现代数学的通行标准。 第四章：集合论的应用与意义 本章将超越公理本身的抽象，展示集合论在现代数学各个分支中的广泛应用。从实数、函数、拓扑空间到群论、范畴论，几乎所有的数学概念都可以用集合的语言来精确定义和描述。我们将探讨集合论如何提供一个统一的框架，使得不同数学领域的研究能够建立在共同的逻辑基础之上。我们将讨论集合论作为一种“元语言”和“元数学”工具的意义，它不仅是数学的基石，也是研究数学本身的基础。 第五章：模型论与一致性 公理化理论的价值不仅在于其内在的逻辑一致性，还在于其能否描述现实世界的数学对象。本章将简要介绍模型论的基本思想，即如何构建集合论的“模型”，并在这些模型中验证公理系统的性质。我们将讨论哥德尔不完备定理在集合论中的含义，以及我们如何理解公理系统的“一致性”（即不存在矛盾）。虽然证明集合论的绝对一致性是不可能的，但通过模型论的研究，我们可以确证某些公理系统在其他已接受的公理系统（如ZF）的一致性假设下也是一致的。 结语：构建数学大厦的坚实基座 通过对集合论公理化体系的深入剖析，我们希望读者能够理解，数学并非随意构建的楼阁，而是一座由清晰的规则和严谨的逻辑所支撑的宏伟建筑。集合论公理化正是为这座建筑提供了最坚实、最可靠的基座。本书旨在为所有对现代数学基础感到好奇的读者提供一个清晰的视角，揭示隐藏在各种数学概念背后的深刻结构和统一性。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

我手里的这本《Axiomatic Set Theory》，其书名本身就宣告了一种对数学基础的深入探究。在我的求学经历中，集合论是绕不开的一环，它既是理解数学概念的钥匙，也是一个充满了深刻哲学思考的领域。我曾经对朴素集合论的直观性感到着迷，但当深入思考后，那些悖论，如著名的罗素悖论，像一座座逻辑的礁石，随时可能撞碎我们建立起来的理解。公理化集合论，正是为了在直观与严谨之间找到平衡而诞生的。我非常希望这本书能够详尽地介绍Zermelo-Fraenkel公理系统。我期待它能够清晰地阐述每一条公理的意义，例如，并集公理和幂集公理是如何使得集合的结构得以不断扩展的？替换公理和分离公理又如何精确地控制集合的构造过程，从而避免逻辑上的灾难？我尤为关注正则公理（或基础公理）的作用，它如何确保集合的层级结构，防止出现“自包含”的怪异情况？此外，关于无限集合的理论，例如基数和序数的定义及其性质，如何在公理化的框架下得到严谨的解释，这对我来说是理解集合论精髓的关键。这本书能否在我心中描绘出一幅清晰、完整、且逻辑自洽的公理化集合论的蓝图，这是我最迫切的期望。

评分☆☆☆☆☆

我注意到《Axiomatic Set Theory》这本书，它的名字本身就暗示了一种从根本上构建数学基础的宏大野心。作为一名对数学哲学和逻辑学都有着浓厚兴趣的学习者，我对公理化方法在构建理论体系中的重要性有着深刻的体会。朴素集合论的直观魅力背后隐藏的逻辑陷阱，一直是吸引和困扰我的地方。我曾经花费不少时间去钻研罗素悖论，试图理解为什么我们那些看似天经地义的集合概念，会指向自相矛盾的结论。公理化集合论，尤其是 ZFC 公理系统，正是为了解决这些深层问题而设计的。我希望这本书能够深入浅出地介绍 ZFC 的各项公理，例如外延公理、空集公理、配偶公理、并集公理、幂集公理、替换公理、分离公理、正则公理（或称基础公理）以及选择公理。我特别好奇它如何证明这些公理之间的独立性，以及在不同公理系统下的集合论会呈现出怎样的面貌。例如，如果移除选择公理，会发生什么？我期待书中能够提供清晰的逻辑推演过程，展示如何从这些抽象的公理出发，一步步构建出我们日常所见的集合运算、函数、关系，乃至于康托尔的基数理论和序数理论。这本书不仅仅是关于集合的定义，更是一种对数学思维严谨性的极致追求，是对逻辑构建力量的有力证明。我希望它能够引领我穿越那些看似枯燥的公理，领略到集合论作为现代数学通用语言的深刻内涵和优雅结构。

评分☆☆☆☆☆

翻开《Axiomatic Set Theory》的扉页，扑面而来的是一种严谨而又深邃的气息，仿佛置身于一座古老的知识殿堂。我一直对数学的基础理论深感好奇，尤其是那些支撑起整个庞大数学体系的基石。《Axiomatic Set Theory》这个书名，便直接指向了集合论这个公认的数学语言和基础。回想起我在本科时期接触的朴素集合论，虽然直观易懂，但其潜在的逻辑漏洞始终让我耿耿于怀。诸如“所有不是自身的集合”这样的表述，在经过一番思考后，往往会导向无法解释的悖论，这让我开始反思，是否我们对“集合”的直观理解存在着某种根本性的偏差。公理化集合论的出现，正是为了解决这些困境，它试图用一套预先设定的、不证自明的公理来规避这些矛盾，从而构建一个稳固的集合论体系。我非常期待这本书能够清晰地阐述这些公理，例如 Zermelo-Fraenkel 公理系统，以及它们各自的作用和意义。它是否会从最基本的构造（如空集、单例集）开始，逐步引入并论证诸如并集、交集、幂集、替换公理、分离公理、归纳公理、选择公理等等？我想了解这些公理是如何协同工作，构建出我们所熟悉和依赖的集合的丰富世界。特别是关于基数和序数的理论，如何在这个公理化的框架下得到严谨的定义和发展，这对于理解无穷的本质至关重要。本书能否在我心中建立起一个清晰、系统的公理化集合论的图像，是我最关注的。

评分☆☆☆☆☆

《Axiomatic Set Theory》这本书，光是名字就足以吸引那些对数学的根基和逻辑严谨性有追求的读者。我一直对数学的公理化方法深感着迷，它如何从最基本的、不证自明的真理出发，构建起一个庞大而精密的理论体系，这本身就是一件令人惊叹的事情。而集合论，作为现代数学的通用语言，其公理化过程更是至关重要。朴素集合论的直观性虽然易于理解，但其潜在的悖论，比如罗素悖论，时刻提醒我们，直觉并非永远可靠。因此，我非常期待这本书能够深入浅出地介绍Zermelo-Fraenkel公理系统（ZFC）。我希望书中能够详细解释每一条公理的数学意义和逻辑功能。例如，配偶公理和并集公理是如何帮助我们构造新的集合的？幂集公理又如何揭示了无穷集合的强大力量？我特别想了解分离公理（或称子集公理模式）是如何限定集合的构造，从而避免产生那些导致悖论的“坏”集合的。此外，正则公理（基础公理）在整个公理系统中的作用也让我非常好奇，它如何确保集合的层级结构，防止无限循环的定义？这本书能否在我心中建立起一个关于公理化集合论的清晰、系统、且逻辑严密的知识框架，是我阅读的最大目标。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《Axiomatic Set Theory》这本书时，内心升起一股强烈的学习冲动。我深知，在现代数学的版图上，集合论占据着如同基石般的核心地位，几乎所有的数学分支都建立在集合论的语言之上。然而，从直观的朴素集合论走向公理化的集合论，却是一条充满挑战的道路。那些看似显而易见的集合概念，在经过严密的逻辑推敲后，常常会暴露出令人不安的矛盾，例如著名的罗素悖论。正是为了克服这些困难，公理化集合论应运而生，它试图通过一套精心设计的公理来规避这些潜在的逻辑危机。我无比期待这本书能够带领我深入探索这一领域。我希望它能够清晰地介绍Zermelo-Fraenkel公理系统的各个组成部分，并深入阐述它们各自的功能和意义。例如，分离公理是如何通过限定构造方式来避免产生悖论的？幂集公理又如何使得集合的数量能够爆炸式增长？我尤为关注关于无穷的理论，例如基数和序数的概念，是如何在公理化的框架下被严格定义的，以及它们之间存在怎样的深刻联系。这本书能否让我对数学的基础拥有一个全新的、更加深刻的认识，能否让我理解数学家是如何通过抽象的公理来构建如此宏大而又严谨的理论体系，这是我最为期待的。我希望这本书不仅仅是一本教科书，更是一次思维的启迪，一次对数学真理的虔诚探索。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁而有力，深蓝色的底色搭配烫金的字体，散发着一种沉静而又权威的气息。初次拿到《Axiomatic Set Theory》时，我便被它所吸引。作为一个在数学领域摸爬滚打多年的研究生，我深知集合论在现代数学中的基石地位。然而，即便是我，也曾在这片浩瀚的海洋中感到过迷失。那些看似直观的集合概念，在深入探究之后，其内在的矛盾和悖论时常让人不寒而栗。从朴素集合论的直觉出发，我们很容易陷入罗素悖论的泥潭，这不仅是对逻辑思维的挑战，更是对数学基础的深刻拷问。正是在这种背景下，公理化集合论应运而生，试图为这个看似混乱的领域建立起一套严谨而坚实的理论框架。这本书的名字本身就透露出一种决心，一种要用最基本、最不可动摇的公理来构建整个集合论大厦的雄心。我对于它如何从 ZF 公理集（或者 ZFC，如果它包含了选择公理）出发，一步步推导出我们熟知的集合运算、基数理论、序数理论，甚至更高级的概念，充满了期待。尤其是关于独立性证明的部分，比如连续统假设（CH）的独立性，是如何通过哥德尔的内模型和科恩的强制法得以实现的，这无疑是集合论中最令人着迷的篇章之一。我希望这本书能够以一种清晰、易懂但又不失严谨的方式，带领读者穿越公理的迷雾，理解集合论的内在逻辑和力量，最终能够站在巨人的肩膀上，更深刻地理解数学的本质。这本书不仅仅是关于集合的理论，更是关于数学语言的构建，关于逻辑思维的训练，以及对数学可能性的探索。

评分☆☆☆☆☆

《Axiomatic Set Theory》这本著作，单从其标题便能感受到一种回归本源、力求严谨的态度。我一直认为，数学的魅力不仅在于其解决现实问题的能力，更在于其内部逻辑的自洽性和深邃的抽象之美。而集合论，作为现代数学的通用语言，其基础的稳固性尤为重要。我曾经在学习过程中，对于朴素集合论中存在的悖论，如罗素悖论，感到深深的困惑，也因此开始探寻公理化集合论的必要性。我期望这本书能够详尽地介绍Zermelo-Fraenkel公理系统（可能包括选择公理，即ZFC）。我希望它能够以一种清晰易懂的方式，阐述每一条公理的含义、目的以及在整个理论体系中所扮演的角色。例如，分离公理（或称为子集公理模式）是如何限制集合的构造，从而避免产生“所有集合的集合”这类问题的？而替换公理又是如何赋予集合论更强大的构造能力？正则公理（基础公理）又为何对于排除自指和确保良基性至关重要？我期待书中不仅给出这些公理的陈述，更能够深入剖析它们之间的相互关系，以及它们如何协同作用，构建起一个无懈可击的集合论框架。此外，关于无限集合的理论，诸如基数和序数的概念，如何在公理化集合论的框架下得到严谨的定义和处理，这无疑是本书的重中之重。我希望通过阅读这本书，能够真正理解公理化集合论的精髓，以及它如何为数学的严谨性奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

《Axiomatic Set Theory》这本书的书名，立刻勾起了我对数学最深层基础的好奇。我一直认为，数学之所以令人着迷，很大程度上源于其无与伦比的严谨性和逻辑性。而集合论，无疑是现代数学的“通用语”和“基石”。然而，回想起我初次接触集合论时，对朴素集合论的直观理解，往往会陷入逻辑上的困境。诸如“所有不是自身的集合”这类表述，经过一番推理后，竟会导致自我矛盾，这让我深刻意识到，建立一套稳固的数学基础并非易事。公理化集合论的出现，正是为了解决这些问题，它试图用一套不证自明的公理来构建一个完整且无矛盾的集合理论体系。我非常渴望通过阅读这本书，能够深入理解Zermelo-Fraenkel公理系统（及其可能的扩展，如ZFC）。我希望书中能够详细阐述每一条公理的内涵，例如外延公理、空集公理、配偶公理、并集公理、幂集公理、替换公理、分离公理、正则公理和选择公理。我尤其期待书中能够解释，这些公理是如何巧妙地避免了朴素集合论中的悖论，以及它们是如何协同工作，使得我们能够进行诸如集合运算、函数定义、以及对无穷集合进行精确描述。这本书能否为我构建起一个清晰、系统、且逻辑严密的公理化集合论的知识框架，是我最看重的。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《Axiomatic Set Theory》这本书，被它所传达出的那种深邃的数学精神所吸引。在我的数学学习旅程中，集合论始终是一个既令人着迷又充满挑战的领域。我深知，我们对集合的直观理解，在经过严格的逻辑检验后，常常会暴露出令人不安的矛盾，诸如罗素悖论便是其中最著名的例子。正是为了解决这些问题，公理化集合论应运而生，它旨在为整个数学大厦奠定一个稳固的基石。我非常期待这本书能够引领我深入探索Zermelo-Fraenkel公理系统，我希望它能够清晰地阐述每一条公理的含义和作用。例如，我希望了解分离公理（子集公理模式）如何有效地限制集合的构造，从而避免悖论的产生？而替换公理又如何赋予集合论更强大的构造能力？我尤为关注正则公理（基础公理）的作用，它如何确保集合的“良基性”，从而排除自指和无限下降链？此外，关于无穷集合的理论，特别是基数和序数的概念，如何在公理化的框架下得到精确的定义和处理，这对我理解数学的无限性至关重要。这本书能否帮助我构建起一个清晰、系统、且逻辑严密的公理化集合论知识体系，这是我最期待的。

评分☆☆☆☆☆

《Axiomatic Set Theory》这本书的封面上，简洁的文字传递出一种数学的纯粹与力量。作为一名对数学逻辑和基础理论充满热情的读者，我深知集合论在现代数学中的核心地位，它是构建几乎所有数学分支的基石。然而，朴素集合论的直观性往往隐藏着深刻的逻辑隐患，诸如罗素悖论之类的思想实验，就足以让人反思我们对“集合”这一基本概念的理解是否足够严谨。公理化集合论的出现，正是为了给这个看似混乱的领域建立起坚实而可靠的理论基础。我非常期待这本书能够深入浅出地介绍Zermelo-Fraenkel公理系统，并逐一阐释每一条公理的含义、目的以及其在整个理论体系中的作用。例如，我希望了解分离公理（或称子集公理模式）是如何通过限定集合的构造方式来避免产生无法理解的集合的？而替换公理又如何赋予集合论强大的构造能力，使得我们可以从已有的集合构造出新的集合？正则公理（或称基础公理）又为何是至关重要的，它如何确保集合的结构是“良基”的，从而避免了无限下降链和循环定义？我尤其关注书中对无限集合的理论处理，诸如基数和序数是如何在公理化的框架下被精确定义的，以及它们之间存在怎样的深刻联系。这本书能否帮助我构建起一个对公理化集合论的清晰、系统、且逻辑严密的理解，是我最大的期待。

评分☆☆☆☆☆

超赞！作者貌似还是Taski的学生

评分☆☆☆☆☆

超赞！作者貌似还是Taski的学生

评分☆☆☆☆☆

经典教科书，众多的习题和lemma很适合初次接触形式推演系统的学生.

评分☆☆☆☆☆

经典教科书，众多的习题和lemma很适合初次接触形式推演系统的学生.

评分☆☆☆☆☆

超赞！作者貌似还是Taski的学生