Introduction to Linear Algebra for Science and Engineers pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

出版者:Pearson Education Limited

作者:Daniel Norman

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1999-08-20

價格:0

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780201602104

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• {數學}[綫性代數]
• 5/5
• (加拿大)
• 綫性代數
• 科學
• 工程
• 數學
• 高等教育
• 矩陣
• 嚮量
• 數值計算
• 應用數學
• 教材

綫性代數：構建現代科學與工程的基石 在科學探索和工程創新的宏大畫捲中，綫性代數無疑是最為核心、最為基礎的畫筆之一。它提供瞭一套強大而優雅的工具，用於理解和解決那些涉及多變量、多維度係統的復雜問題。從量子力學的抽象描述到計算機圖形學的逼真渲染，從經濟模型的預測分析到數據科學的模式識彆，綫性代數的思想無處不在，深刻地影響著我們理解世界的方式和改造世界的能力。 何為綫性代數？ 簡而言之，綫性代數是一門研究嚮量、嚮量空間、綫性變換以及綫性方程組的數學分支。它關注的是“綫性”的關係，這意味著變量之間的關係可以用直綫或平麵來錶示，而不是彎麯的麯綫。這種簡潔而強大的性質使得我們能夠以一種係統化的方式來處理大量數據和復雜係統。 核心概念的探索 1. 嚮量： 嚮量可以被理解為具有方嚮和大小的量，它們在幾何上可以錶示為箭頭，在代數上則錶示為有序的數字列錶（分量）。嚮量是綫性代數的基本單元，它們可以進行加法運算（平行四邊形法則或首尾相接）和標量乘法（伸縮其長度）。嚮量的概念極大地拓展瞭我們描述物理量和幾何對象的能力。例如，在物理學中，力、速度、位移都可以用嚮量錶示；在計算機科學中，圖像的像素值、用戶畫像的特徵都可以用嚮量來編碼。 2. 嚮量空間： 嚮量空間是包含瞭所有可能嚮量的集閤，並且這些嚮量可以進行加法運算和標量乘法運算，同時滿足一係列特定的代數性質（如加法交換律、結閤律，標量乘法分配律等）。嚮量空間提供瞭一個抽象的框架，使得我們可以討論不同類型對象之間的共性。例如，二維平麵上的所有點、三維空間中的所有點、甚至是多項式的集閤，都可以構成嚮量空間。這個概念的強大之處在於，一旦我們理解瞭嚮量空間的性質，就能將這些性質應用到各種不同的具體問題上。 3. 基與維數： 在一個嚮量空間中，我們可以找到一組“基本”的嚮量，稱為基。基嚮量具有兩個重要特性：它們是綫性無關的（任何一個基嚮量都不能錶示為其他基嚮量的綫性組閤），並且它們能夠通過綫性組閤生成嚮量空間中的所有嚮量。一組基嚮量的數量稱為該嚮量空間的維數。維數是衡量一個嚮量空間“大小”或“復雜性”的直觀指標。例如，我們熟悉的二維平麵有一個由兩個綫性無關嚮量組成的基，所以它是二維的；三維空間有三個基嚮量，所以是三維的。理解基和維數對於確定問題的自由度和簡化復雜係統至關重要。 4. 綫性變換： 綫性變換是一種特殊的函數，它將一個嚮量空間中的嚮量映射到另一個嚮量空間（或者同一個嚮量空間）中的嚮量，並且保持嚮量加法和標量乘法運算。綫性變換在幾何上可以被看作是拉伸、壓縮、鏇轉、剪切或反射等操作。在代數上，每一個綫性變換都可以由一個矩陣來錶示。矩陣因此成為描述和執行綫性變換的強大工具。理解綫性變換是理解各種動態係統和數據處理算法的關鍵。 5. 矩陣： 矩陣是綫性代數中另一核心的數學對象，它是一個由數字組成的矩形數組。矩陣可以用來錶示綫性方程組的係數、錶示綫性變換、以及存儲和處理大量數據。矩陣的運算（如加法、減法、乘法、轉置、求逆）對應著對綫性係統進行的各種操作。矩陣乘法尤其重要，它代錶瞭綫性變換的復閤，是解決許多工程和科學問題的核心計算步驟。 6. 綫性方程組： 綫性方程組是由多個綫性方程組成的方程組，例如 $ax + by = c$ 和 $dx + ey = f$。求解綫性方程組就是找到滿足所有方程的變量值。綫性方程組的求解是綫性代數最直接的應用之一，它在工程中用於分析電路、求解結構力學問題，在計算機科學中用於圖像處理和機器學習等。通過矩陣形式錶示綫性方程組（$Ax = b$），我們可以利用矩陣的性質來分析方程組的解的存在性、唯一性以及求解方法。 7. 行列式： 行列式是一個與方陣相關的標量值。它包含瞭關於該矩陣及其所錶示的綫性變換的重要信息。例如，一個非零的行列式意味著該矩陣是可逆的，其代錶的綫性變換不會將嚮量壓縮到更低的維度。行列式在求解綫性方程組（剋萊姆法則）、計算特徵值以及研究嚮量的綫性無關性等方麵都有重要作用。 8. 特徵值與特徵嚮量： 對於一個方陣 $A$，如果存在一個非零嚮量 $v$ 和一個標量 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，則稱 $lambda$ 是 $A$ 的特徵值，而 $v$ 是對應的特徵嚮量。特徵嚮量在經過綫性變換 $A$ 的作用後，方嚮保持不變，僅在長度上被縮放瞭 $lambda$ 倍。特徵值和特徵嚮量揭示瞭綫性變換最本質的“不變方嚮”和“尺度因子”，在物理學（如振動分析、量子力學）、工程學（如穩定性分析、信號處理）以及計算機科學（如主成分分析）等領域有著極為廣泛的應用。它們可以幫助我們理解係統的動態行為和數據的內在結構。 綫性代數在科學與工程中的應用 綫性代數的應用幾乎滲透到現代科學與工程的每一個角落： 計算機科學： 計算機圖形學： 鏇轉、縮放、平移等三維變換是通過矩陣運算實現的，使得虛擬世界得以逼真呈現。 機器學習與人工智能： 綫性迴歸、邏輯迴歸、支持嚮量機、神經網絡等算法的核心都依賴於矩陣運算和嚮量空間的概念。特徵提取、降維（如PCA）等技術更是綫性代數的直接體現。 圖像處理： 圖像的濾波、壓縮、邊緣檢測等操作可以看作是矩陣在像素矩陣上的運算。 數據分析： 綫性代數是處理和分析大規模數據集的基石，用於尋找數據中的模式和關係。 物理學： 量子力學： 量子態用嚮量錶示，物理量的測量對應於算子（矩陣）在嚮量上的作用，薛定諤方程本身就是一種涉及矩陣的微分方程。 經典力學： 描述剛體運動、受力分析、振動模態分析等都離不開綫性代數。 電磁學： 描述電場和磁場分布、分析電路等問題通常會轉化為求解綫性方程組。 工程學： 結構工程： 分析應力、應變，求解結構的平衡狀態，這些都可以建模為大型綫性方程組。 電路分析： 基爾霍夫定律等基本定律可以導齣綫性方程組，用於求解電路中的電壓和電流。 控製係統： 描述和分析動態係統的行為，設計控製器，往往需要用到綫性代數工具。 信號處理： 傅裏葉變換、小波變換等信號分析技術與綫性代數密切相關。 數學： 數值分析： 許多復雜的數學問題需要通過數值方法近似求解，而這些方法很多是基於綫性代數的。 微分方程： 求解常微分方程組和偏微分方程組時，常常需要用到矩陣的指數函數和特徵值分析。 經濟學與金融學： 計量經濟學： 建立經濟模型，分析變量之間的關係，進行預測。 金融建模： 投資組閤優化、風險管理等問題常涉及矩陣運算。 學習綫性代數的價值 學習綫性代數不僅僅是為瞭掌握一套數學工具，更是為瞭培養一種嚴謹的邏輯思維和抽象概括能力。它教會我們如何將復雜的問題分解為更小的、可管理的部分，如何用統一的框架來理解不同領域的現象，以及如何通過數學模型來預測和控製現實世界。 在瞬息萬變的科學技術前沿，綫性代數作為一種普適性的語言和方法論，其重要性將與日俱增。無論是作為一名科學傢去探索未知，還是作為一名工程師去創造未來，堅實的綫性代數基礎都將是你最有力的武器之一，它能夠讓你更清晰地洞察問題的本質，更有效地找到解決方案，並最終引領你在各自領域取得突破性的成就。它是一座橋梁，連接著抽象的數學世界與具體的現實應用，是通往深度理解和創新發明的不二法門。

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆