Basic Algebraic Geometry I (Springer Study Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer-Verlag Telos

作者:I. R. Shafarevich

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1995-05-26

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387548128

丛书系列:

图书标签:

• Algebraic_Geometry
• 数学
• math
• algebraic-variety
• Algebraic Geometry
• Basic Algebraic Geometry
• Springer
• Mathematics
• Study Edition
• Algebra
• Polynomials
• Schemes
• Varieties
• Commutative Algebra
• Abstract Algebra

代数几何基础（一）：概念与探索 这本书并非一本关于“Basic Algebraic Geometry I (Springer Study Edition)”这本书本身的介绍。相反，它是一次关于代数几何核心概念的深入探索，旨在为读者构建一个坚实的基础，引领他们步入这个既古老又充满活力的数学分支。我们将跳过对特定教科书的评价或结构梳理，而是专注于代数几何最本质的思想和方法，从最基础的几何直觉出发，逐步构建严谨的代数框架。 代数几何，顾名思义，是将代数（特别是多项式方程组）的工具应用于解决几何问题，同时又运用几何的直觉来理解代数结构的。它在现代数学中扮演着核心角色，不仅连接了数论、拓扑学、复分析等多个领域，还在物理学（如弦理论）、密码学、计算机科学等领域展现出强大的生命力。这本书的目标是为你打开这扇大门，让你体会到代数与几何之间深刻而迷人的联系。 我们首先要理解代数几何的“基本单元”——簇（variety）。简单来说，簇是多项式方程组的公共零点集合。试想一下，我们在二维平面上，一个方程 $f(x, y) = 0$ 定义了一条曲线，例如 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 定义了一个圆。两个方程，例如 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 和 $y - x = 0$，它们的公共零点就是圆和直线 $y=x$ 的交点，这些点构成了我们感兴趣的几何对象。代数几何就是要系统地研究这些由多项式方程定义的几何对象。 本书将从最简单的例子开始，比如直线、圆锥曲线。我们会看到，即使是这些看似平凡的几何图形，也蕴含着丰富的代数性质。例如，圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）可以被看作是齐次二次方程在射影平面上的零点集合，它们的分类与方程的系数有着直接的对应关系。通过引入齐次坐标和射影空间的概念，我们将能够更统一地处理无穷远点，从而避免了对各种情况进行繁琐的区分，这是代数几何中一个非常重要的思想。 我们将学习如何使用多项式环的语言来描述和分析簇。一个多项式环，例如 $k[x_1, dots, x_n]$（其中 $k$ 是一个域，比如实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$），其元素就是我们熟悉的多元多项式。我们关心的不仅仅是单个多项式，而是由一组多项式生成的理想（ideal）。一个理想 $I subseteq k[x_1, dots, x_n]$ 定义了一个簇 $V(I) = {p in k^n mid f(p) = 0 ext{ for all } f in I }$。这里，“理想”是代数几何的基石之一，它捕捉了描述一个簇所需的最基本的多项式方程集合。 我们将会深入探讨理想与簇之间的关系。希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）是代数几何的“中心定理”，它建立了多项式环中的理想与仿射簇（affine variety）之间的对偶关系。简而言之，这个定理告诉我们，如果一组多项式在某个簇上都为零，那么这些多项式的一些“根”就与这个簇紧密相关。这个定理是连接代数（理想）和几何（簇）的桥梁，一旦掌握了它，我们就拥有了研究代数簇的强大工具。 理解簇的“结构”是代数几何的另一个重要方面。就像我们在研究几何图形时会关心它的维度、连通性一样，代数簇也有其内在的结构。本书将介绍簇的维度（dimension）的概念。簇的维度可以从多方面来理解：直观上，它是描述簇“自由度”的数量；代数上，它可以与生成理想的最小多项式数量联系起来。例如，一条直线是零维的（如果我们将其视为一个点），一个平面是二维的。 我们还会触及簇的“光滑性”（smoothness）和“奇点”（singularities）。光滑的簇就像光滑的曲面，在每一点都有良好的局部行为。而奇点则是簇上“尖锐”或“不规则”的点，它们的存在往往揭示了簇更深层的代数性质。例如，考虑曲线 $y^2 = x^3$。原点 $(0,0)$ 就是一个奇点，这里的曲线“自交”，并且在几何上看起来不那么光滑。分析奇点的性质，需要借助导数和雅可比矩阵（Jacobian matrix）的概念，这会将我们带入微积分与代数几何的交叉区域。 本书还将介绍一些基本的代数构造，这些构造能够让我们从已有的簇构建新的簇，从而扩展我们的研究范围。例如，笛卡尔积（Cartesian product）的概念，两个簇的笛卡尔积是所有点对的集合，其中第一个点来自第一个簇，第二个点来自第二个簇。这对理解高维几何对象非常重要。 另一个重要的构造是商簇（quotient variety）。在某些情况下，我们可以通过一种“等价关系”来“合并”簇上的点，形成一个新的簇。这类似于在整数中定义模运算，将所有同余类视为一个点。商簇的构造通常需要更高级的代数工具，但其几何直觉是十分清晰的。 为了更一般地描述代数簇，我们将引入概形（scheme）的思想。虽然本书的基础部分不会深入到概形的理论细节，但理解其存在的意义是必要的。概形是代数几何现代化的关键，它允许我们在“局部”上使用环的结构，将代数簇的概念推广到更一般的对象，例如非阿基米德域上的簇，甚至可以处理“无穷多”的簇。概形理论使得代数几何能够处理更多复杂的问题，并且与数论的联系更加紧密。 本书还将触及一些重要的代数工具，例如多项式环的因子分解（factorization of polynomials）及其与簇的不可约性（irreducibility）的关系。一个簇是不可约的，如果它不能被表示为两个更小的簇的并集。这在代数上对应于定义该簇的理想是素理想（prime ideal）。研究簇的不可约分解，就像将一个复杂的几何对象分解成若干基本组成部分，从而更容易进行分析。 在学习过程中，我们将不断强调代数与几何之间的双向性。一方面，我们可以通过代数工具（如理想理论）来刻画和理解几何对象（簇）。另一方面，几何直觉可以帮助我们猜想代数性质，并指导我们的代数计算。例如，当我们看到一个簇在几何上是“相交”的，我们可以尝试从代数上寻找相应的性质。 本书的叙述风格将力求清晰、严谨，并辅以大量的例子和计算。我们将从最简单的二维和三维空间中的例子开始，逐步过渡到更抽象的n维空间，以及更高层次的代数结构。每个概念的引入都会尽量从几何直觉出发，然后用代数语言进行精确的定义和推导。 最终，通过对代数几何基础概念的系统学习，读者将能够： 理解代数簇的定义，并能够用多项式方程描述简单的几何对象。 掌握理想理论与簇之间的基本对应关系，理解希尔伯特零点定理的重要性。 认识到代数几何研究的主要对象和核心问题，例如簇的结构、维度、光滑性等。 初步接触到簇的构造方法，如笛卡尔积。 建立起代数工具与几何直觉之间的联系，为进一步深入学习代数几何打下坚实的基础。 这本书将是一个旅程，一个探索代数之美如何转化为几何形状，以及几何直觉如何启迪代数思维的奇妙旅程。它不是对某个特定版本的教科书的总结，而是对代数几何核心思想的提炼和呈现。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

复代数流形等等。。。

评分☆☆☆☆☆

复代数流形等等。。。

评分☆☆☆☆☆

复代数流形等等。。。

评分☆☆☆☆☆

复代数流形等等。。。

评分☆☆☆☆☆

复代数流形等等。。。