Problems in Real and Complex Analysis (Problem Books in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Bernard R. Gelbaum

出品人:

页数:498

译者:

出版时间:1992-06-18

价格:USD 84.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387977669

丛书系列:Problems Books in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 实分析
• 复分析
• 数学分析
• 问题求解
• 数学竞赛
• 高等数学
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• 分析学
• 数学

探索数学的边界：解析学领域的挑战与洞见 《数学问题集》系列中的一本，本书并非仅仅罗列习题，而是引领读者深入理解实分析与复分析这两个数学分支的核心概念、深刻联系及前沿挑战。本书旨在培养读者严谨的数学思维，提升解决复杂问题的能力，为有志于在数学研究领域深造的学生、教师和研究者提供宝贵的资源。 实分析：严谨的基石 实分析是数学分析的基石，其严谨性要求对数集、序列、级数、函数、极限、连续性、微分和积分等基本概念进行精确的定义和深入的探讨。本书通过一系列精心设计的题目，引导读者： 理解测度和积分的深度： 从勒贝格积分的定义出发，本书将深入探讨测度的性质，如可测集、可测函数，以及勒贝格积分与黎曼积分在理论和应用上的差异。读者将有机会解决关于收敛定理（如单调收敛定理、控制收敛定理）、积分的性质以及特殊函数的积分计算等问题。这些问题将不仅考验读者对定义和定理的掌握程度，更要求读者能够灵活运用这些工具解决实际问题，例如在概率论、泛函分析等领域中的应用。 掌握函数空间及其分析： 函数空间是现代分析学的重要研究对象。本书将涵盖各种重要的函数空间，如 $L^p$ 空间、$C^k$ 空间、索伯列夫空间等。读者将面对关于函数空间范数、完备性、可分性、嵌入定理以及其在偏微分方程、逼近论等领域的应用方面的挑战。例如，通过对 $L^2$ 空间上傅里叶级数和傅里叶变换的深入研究，读者将理解信号处理、量子力学等领域背后的数学原理。 探索微分方程的解析理论： 常微分方程和偏微分方程的解析理论是实分析的重要组成部分。本书将涉及关于微分方程解的存在性、唯一性、光滑性、稳定性以及特解的计算等问题。通过分析微分方程的特征方程、奇点、格林函数等概念，读者将能够深入理解系统的动态行为。例如，关于常微分方程初值问题解的Picard-Lindelöf定理的证明和应用，将是检验读者对收敛性和Lipschitz条件理解的重要环节。 深入理解拓扑和度量空间： 拓扑和度量空间是实分析的抽象化和一般化。本书将引导读者探索开集、闭集、紧集、连通集等拓扑概念，以及度量空间的完备性、依范性、压缩映射定理等。这些概念在学习泛函分析、微分几何等领域时至关重要。例如，关于度量空间上紧集的 Heine-Borel定理的推广，将帮助读者理解更抽象的空间结构。 掌握傅里叶分析的精髓： 傅里叶分析是研究周期性函数和信号的重要工具，在信号处理、图像分析、物理学等领域有着广泛应用。本书将涵盖傅里叶级数、傅里叶变换、卷积定理、Plancherel公式以及Hardy空间等内容。读者将通过解决关于收敛性、积分性质、特殊函数的傅里叶变换计算等问题，深入理解其理论和应用。例如，关于一个函数是否可以表示为傅里叶级数的问题，需要读者深入理解Dirichlet条件和函数的光滑性之间的关系。 复分析：解析的奇妙世界 复分析是实分析的自然延伸，它利用复数及其性质来解决实数领域中难以处理的问题，并揭示了数学中一些最深刻、最美丽的结构。本书将带领读者探索复分析的精妙之处： 解析函数的性质： 解析函数是复分析的核心。本书将深入探讨解析函数的定义、性质，如柯西-黎曼方程、泰勒级数展开、洛朗级数展开，以及解析延拓等。读者将有机会解决关于柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理等基本定理的应用问题。例如，利用留数定理计算复平面上的定积分，将是检验读者对解析函数和积分性质掌握程度的重要环节。 复变函数的积分和映射： 复变函数在复平面上的积分是复分析的基石。本书将引导读者理解复曲线积分的计算，柯西积分定理在判断函数解析性方面的应用，以及共形映射在几何和物理问题中的应用。例如，关于利用Schwarz-Christoffel映射将一个区域映射到另一个区域的问题，将是考验读者几何直觉和代数运算能力的挑战。 解析函数与代数结构： 本书将探讨解析函数与代数结构之间的深刻联系。读者将学习关于整函数、亚纯函数、有理函数等概念，并探索它们与代数方程的根、函数的零点和极点之间的关系。例如，关于Liouville定理的应用，即证明有界的整函数必然是常数函数，将帮助读者理解解析函数的强约束性。 特殊函数在复分析中的应用： 许多重要的特殊函数，如Gamma函数、Beta函数、Zeta函数等，都具有丰富的复数性质。本书将引导读者研究这些函数的解析性质，以及它们在数论、概率论、统计物理学等领域的应用。例如，关于复Zeta函数的零点分布的黎曼猜想，是数学中最著名和最困难的未解决问题之一，本书将引导读者理解其初步概念和相关研究。 复分析在其他领域的应用： 复分析不仅是纯粹的数学理论，它在物理学（如电磁学、流体力学、量子力学）、工程学（如信号处理、控制论）、以及其他数学分支（如拓扑学、数论）等领域都有着至关重要的应用。本书将通过一系列具有挑战性的问题，展示复分析的强大应用能力。例如，利用复分析方法求解一些复杂的物理问题，将是检验读者跨学科应用能力的绝佳机会。 本书的特点与价值 本书的编写旨在超越传统的教材模式，更加注重启发性和探索性。每一章的问题都精心设计，由浅入深，覆盖了实分析和复分析的各个重要方面。书中不仅包含经典的难题，也引入了一些反映当前研究方向的挑战。 多角度的理解： 本书的问题旨在从不同角度切入，帮助读者深入理解核心概念。例如，一个关于收敛性的问题，可能需要读者从序列的定义、级数的性质、积分的逼近等多个维度去思考。 严谨的证明： 解决这些问题需要严格的数学证明。本书鼓励读者在解决问题时，不仅得出答案，更要清晰、完整地阐述证明过程，培养严谨的数学语言表达能力。 洞察数学的美： 通过解决这些具有深度和广度的问题，读者将逐渐领略到数学分析的内在逻辑、优雅结构以及其在描述和解决现实世界问题时的强大力量。 本书的目标读者包括对数学分析有浓厚兴趣的本科生、研究生，以及希望拓展知识边界的数学教师和研究人员。通过系统地研习本书中的问题，读者将不仅在理论知识上有所提升，更能在解决复杂数学问题的能力上获得显著的飞跃，为未来的学术研究和实践应用打下坚实的基础。本书将是一次充实而富有挑战性的数学探索之旅。

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