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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Gbel, R.; Walker, E.; Gabel, R.

出品人:

页数:447

译者:

出版时间:1981-08-12

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540108559

丛书系列:

图书标签:

• Abelian Groups
• Group Theory
• Algebra
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Commutative Algebra
• Modern Algebra
• Mathematical Structures
• Pure Mathematics
• Algebraic Structures

好的，这是一份关于《群论基础》（Foundations of Group Theory）的图书简介。 --- 《群论基础》（Foundations of Group Theory） 图书简介 《群论基础》旨在为读者提供一个坚实、全面且深入的抽象代数核心——群论的入门和进阶指南。本书不仅仅是介绍概念的教科书，更是一本旨在培养读者抽象思维能力和严谨数学证明技能的工具书。它侧重于建立清晰的理论框架，并通过精心挑选的例子和练习，引导读者逐步掌握群论的经典结构与现代应用。 核心内容与结构 本书内容结构紧凑，逻辑严密，共分为四个主要部分，涵盖了从基础概念到高级主题的完整学习路径。 第一部分：基础与初识 本部分着重于建立群论的基石。我们将从集合论中的等价关系和划分等基本概念出发，自然地引入代数结构的概念。 基本定义与例子： 详细阐述群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并探讨最基础的群结构，如平凡群、整数加法群 $mathbb{Z}$、以及模 $n$ 整数加法群 $mathbb{Z}_n$。重点分析它们的具体运算表和性质。 子群与陪集： 深入探讨子群的判别标准、平凡子群、全域子群。随后，引入陪集（左陪集与右陪集）的概念，详细分析陪集的性质，特别是它们构成了一个群的划分这一核心思想。 循环群： 循环群是理解结构化群的最佳起点。本书将循环群的生成元、阶（Group Order）的概念，并证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。我们将讨论有限循环群的子群结构完全由其阶决定这一重要结论。 第二部分：群的同态与同构 第二部分将焦点转向群之间的关系——同态与同构。这是理解不同群之间联系和结构保存的关键。 群同态： 定义群同态的性质，着重分析保持运算的映射特性。重点讨论核（Kernel）和像（Image）的定义及其在群结构中的重要地位。 群同构与同构定理： 严格定义群同构，并阐述“同构即结构相同”的哲学意义。在此基础上，我们将推导出第一同构定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms），这是群论中最重要的定理之一。本书将通过详尽的例子展示如何运用此定理来简化对复杂群的分析。 内同态与自同构： 探讨将群映射到自身的特殊同态——自同构。引入内自同构（Inner Automorphisms）的概念，它们与群的中心（Center of a Group）密切相关。 第三部分：群的构造与分解 本部分是本书的精髓之一，它关注如何通过已知群构造新的群，以及如何将复杂的群分解为更简单的组成部分。 正规子群与商群： 详细解释正规子群的充要条件，并在此基础上构建商群（Factor Groups 或 Quotient Groups）。我们将展示商群是如何“除去了”正规子群的影响，从而得到结构更简单的群。 置换群： 置换群是理解有限群的强大工具。我们将讨论对称群 $S_n$ 和交错群 $A_n$，分析它们的生成元、阶以及分解成不相交循环的结构。我们将引入对换（Transpositions）的概念，并详细分析奇偶性。 直积与半直积： 介绍外直积（Direct Products）和半直积（Semi-Direct Products）的构造方法。通过这两个工具，读者可以理解如何将两个已知的群结构组合成一个新的群结构，并区分这两种构造在群结构上的细微差别。 第四部分：有限群的高级理论与应用 最后一部分将深入探讨有限群的结构分类，并触及一些经典的应用领域。 Sylow 定理： 这是有限群理论的里程碑。本书将分步详细证明 Sylow 第一、第二和第三定理，这些定理为素数幂阶子群的存在性和数量提供了精确的估计。我们将展示如何运用 Sylow 定理来判断群是否为 Abel 群，或判断某些阶的群是否存在正规子群。 群作用： 引入群作用（Group Actions）的概念，并将群作用与群同态联系起来。讨论轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念，并运用轨道-稳定子定理来计算群的阶或子群的指数。 应用概述： 简要介绍群论在其他数学分支中的体现，如：伽罗瓦理论中的置换群与域扩张的关系，以及在几何学中对称性的描述。 本书特色 1. 严谨性与启发性并重： 所有重要定理均提供完整的、易于跟随的证明，同时辅以大量的构造性例子来直观地解释抽象概念。 2. 强调计算技巧： 提供了大量的计算练习，帮助读者熟练掌握置换的分解、商群的运算表构建以及 Sylow 子群的寻找。 3. 结构清晰： 逻辑线索贯穿始终，从基础公理到复杂结构分解，确保读者能够平稳地过渡到更高级的代数研究。 《群论基础》是数学系本科生、研究生以及希望系统性复习或深入研究抽象代数核心概念的自学者所必需的参考书。掌握本书内容，将为后续学习环论、域论乃至更高级的表示论打下坚实的基础。

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