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出版者:Springer New York

作者:Pierre Antoine Grillet

出品人:

页数:688

译者:

出版时间:2009-11-23

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441924506

丛书系列:

图书标签:

• 学术
• 抽象代数
• 代数学
• 数学
• 高等数学
• 群论
• 环论
• 域论
• 代数结构
• 数学教材
• 大学教材

深入解析与应用：数学分析精要 作者： [此处留空，或使用一个虚构的、符合数学专业风格的作者名] 出版社： [此处留空，或使用一个虚构的、信誉良好的学术出版社名称] --- 图书简介 《深入解析与应用：数学分析精要》旨在为读者提供一套严谨、深入且富有洞察力的数学分析理论体系。本书并非对基础微积分概念的简单重复，而是将分析学从其核心——极限、连续性、微分和积分的严密定义出发，推向更广阔的理论前沿与实际应用领域。本书的构建逻辑遵循了从一维实数系统到高维多变量空间的自然过渡，并着重强调了分析学思想在现代科学与工程中的不可替代性。 第一部分：实数系统的基石与极限的严格构建 本书伊始，我们将重塑读者对实数集的理解。我们不会假设读者对实数的完备性有充分的认知，而是从无理数的构造（如戴德金截或柯西序列的极限点）入手，奠定分析学的坚实基础。 第一章：实数、拓扑与度量空间初步 本章深入探讨了 $mathbb{R}$ 的拓扑性质，包括开集、闭集、紧致性和可数性。我们引入度量空间的初步概念，为后续的泛化分析做准备。重点分析了 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的重要性，并讨论了序列收敛的拓扑视角。 第二章：序列、级数与收敛性 本章超越了基础的“$epsilon-N$”语言，聚焦于更高级的收敛判据。我们详细阐述了柯西序列的完备性原理，并将其应用于证明一些关键的等价性关系。对于级数部分，除了传统的比值检验和根值检验外，我们引入了阿贝尔求和法（Abel Summation Formula）和狄利克雷判别法，特别是用于分析傅里叶级数收敛的基础。 第三章：连续性与一致连续性 连续性被提升到更抽象的层次，通过邻域和开集来定义。本章的核心是对“一致连续性”的深刻理解。我们通过反例和构造性证明，清晰地展示了一致连续性与普通连续性在处理函数序列和积分逼近时的本质区别。对连续函数的像（Image）在紧集上的性质进行了详尽分析。 第二部分：微积分的深度挖掘与微分学 这一部分将微分视为一种局部线性化的工具，探讨其在更高维度上的推广与应用。 第四章：导数与微分 我们严格定义了导数的概念，并探讨了导数与函数单调性、极值之间的关系。重点放在了多元函数上的方向导数、梯度（Gradient）的几何意义，以及链式法则在复杂函数复合结构中的应用。我们对 Fréchet 微分和 Gâteaux 微分进行了比较，为进入泛函分析做铺垫。 第五章：中值定理与导数的应用 本章聚焦于支撑微积分基本论断的定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。我们详细分析了这些定理在证明不等式、分析函数凹凸性（二阶导数的作用）中的作用。更重要的是，我们将中值定理推广到更一般的函数空间背景下进行探讨。 第六章：偏微分方程与多重积分的基础 在进入多重积分前，本章先行介绍了偏导数在定义偏微分方程（PDE）时的基础作用。我们考察了热传导方程和波方程的初步形式，并利用偏导数来理解多元函数的极值点（Hessian 矩阵的特征）。 第三部分：黎曼积分与勒贝格积分的过渡 本部分是分析学区别于基础微积分的关键所在，它关乎“可积性”的本质。 第七章：黎曼积分的构造与局限 我们从黎曼上和、黎曼下和的构造出发，严格定义了黎曼可积性。本章的重点在于分析黎曼积分的局限性——例如，那些具有稠密不连续点的函数。我们通过一个著名的反例来展示这种局限性，从而自然地引出更强大的积分理论。 第八章：测度论的初步：从长度到面积 为了克服黎曼积分的缺陷，本章引入了基础测度论的概念。我们不深入集合论的细节，而是聚焦于如何构造一个良态的“长度”和“面积”概念，即 $sigma$-代数和外测度。重点分析了勒贝格可测集的概念，并讨论了单调类定理在构造测度上的作用。 第九章：勒贝格积分的构建与优势 本章是本书的理论高潮之一。我们利用测度论，以简单函数为桥梁，构建了勒贝格积分。我们将详尽比较黎曼积分与勒贝格积分的差异，特别是在处理函数序列的极限与积分顺序交换时，展示出勒贝格积分的优越性。我们将深入讨论有界收敛定理（BCT）和优收敛定理（DCT）的严谨证明及其在级数求和与概率论中的基础应用。 第四部分：序列的极限与函数空间分析 本部分将分析的视角从数值序列拓展到函数序列，探讨函数空间的收敛性质。 第十章：函数序列与点态收敛/一致收敛 我们区分了点态收敛和一致收敛的本质区别，并强调了一致收敛在保持拓扑性质（如连续性、可积性）上的关键作用。我们引入了等度连续性（Equicontinuity）的概念，并用 Arzelà-Ascoli 定理来刻画紧致性，这是泛函分析中极其重要的工具。 第十一章：积分的极限交换与 Fubini 定理 在掌握了勒贝格积分后，本章解决了最实际的问题之一：交换积分的顺序。我们详细阐述了 Fubini 定理和 Tonelli 定理的条件和应用，明确指出哪些情况下可以安全地交换 $int (int f(x, y) dy) dx$ 与 $int (int f(x, y) dx) dy$ 的顺序，并结合多重积分的几何意义进行阐释。 第十二章：傅里叶分析的分析基础 本章将前述的收敛理论应用于傅里叶级数和傅里叶变换。我们利用狄利克雷条件证明了傅里叶级数的逐点收敛性，并利用勒贝格积分和一致收敛理论来分析 $L^2$ 空间的性质。这部分将为读者理解信号处理和偏微分方程的求解提供坚实的分析基础。 --- 本书特点： 1. 严谨性与直观性的平衡： 理论推导严格，但每一步骤都辅以清晰的几何或物理直觉解释。 2. 从 $mathbb{R}$ 到 $L^p$ 的平滑过渡： 结构设计旨在自然地引导读者从经典分析进入现代泛函分析的门槛。 3. 强调关键定理的条件： 对中值定理、收敛定理（BCT/DCT）、Fubini 定理的适用条件进行了细致的剖析，避免了对定理的盲目套用。 4. 大量的精选习题： 习题分为“基础巩固”和“理论探究”两类，后者引导读者探索更深层次的数学结构。 目标读者： 高等数学专业本科生、研究生，以及需要系统回顾和深化数学分析基础的物理学、工程学和计算机科学专业的研究人员。本书要求读者具备扎实的微积分知识，并对逻辑推理抱有浓厚兴趣。

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我是一位对数学充满热情但非专业背景的学习者，对《抽象代数》这本书的期待，更多地源于它所承载的思维方式和解决问题的框架。我深知，抽象代数不仅仅是数学的一个分支，更是一种强大的数学语言和工具，它渗透到科学的各个角落。我特别想了解书中是如何将“对称性”这一直观的概念，转化为严谨的群论语言的，这对我来说是一个极具吸引力的切入点。我期望这本书能用通俗易懂的语言，解释那些看似高深的定理，并展示它们在密码学、物理学乃至计算机科学等领域的实际应用。我希望通过阅读，能够构建起一套系统的数学思维模式，学会如何从具体问题中提炼出抽象模型，并利用数学工具来分析和解决。我尤其关注书中是否提供了足够的练习题，并且难度梯度合理，能够帮助我巩固所学知识，并在实践中加深理解。如果这本书能够让我感受到数学的魅力，并为我未来的学习和研究打下坚实的基础，那么它就是一本真正的好书。

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这本书给我的第一印象是它厚重的分量，仿佛蕴含着整个抽象代数的精髓。我一直对数学中的“结构”和“变换”概念非常着迷，我认为它们是理解世界运作方式的关键。我特别希望书中能够清晰地阐释出群、环、域这三个基本结构之间的层层递进的关系，以及它们各自所拥有的独特属性。我期待书中能够用丰富的例子，比如对称群、多项式环等，来具体说明这些抽象概念的实际意义。同时，我也希望书中能够深入探讨一些更高级的主题，例如域扩张、伽罗瓦理论等，这些理论在数论和代数几何中扮演着至关重要的角色。我希望这本书不仅能让我掌握必要的概念和定理，更能培养我对数学的深刻洞察力，理解抽象代数在现代数学中的核心地位。如果这本书能够让我对数学的严谨性和创造性有更深的体会，并为我深入探索数学的无限世界提供一把钥匙，那将是我最大的满足。

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这本书的封面设计就给人一种沉静而深邃的感觉，一种非凡的学术气息扑面而来，这让我对即将开启的探索之旅充满了期待。尽管我并非数学科班出身，但对于抽象代数这个领域一直怀有浓厚的好奇心。我尤其被书中那些看似简单却蕴含着无限可能性的概念所吸引，比如群、环、域等等，它们仿佛是构建整个数学大厦的基石，隐藏着宇宙运行的某种规律。我期待这本书能够以一种循序渐进的方式，带领我逐步揭开这些抽象概念的神秘面纱。更重要的是，我希望这本书不仅仅是枯燥的理论堆砌，而是能够通过精心设计的例子和习题，让我真切地感受到数学的逻辑之美以及它在解决实际问题中的强大力量。我渴望在阅读的过程中，能够建立起一种直觉，理解这些抽象结构为何重要，它们之间又有着怎样的千丝万缕的联系。如果这本书能够在我心中播下对数学探索的种子，并激发我进一步深入研究的兴趣，那么它的价值便早已超越了纸张本身的厚度。我设想着，在某个宁静的午后，捧着这本书，沉浸在那些优美的数学符号和严谨的逻辑推理中，体验一种思维的飞跃，这种感觉本身就是一种莫大的享受。

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当我翻开《抽象代数》这本书，首先映入眼帘的是它精炼而准确的数学定义，这让我立刻感受到一股严谨而有序的学术氛围。我对于数学中那些“不动点”、“映射”、“同构”等概念一直抱有极大的兴趣，它们似乎是描述事物本质和关系的关键。我尤其期待书中能够以一种清晰的逻辑线索，带领我一步步理解这些抽象概念的由来和发展。我希望这本书能够通过一些引人入胜的数学史料，或者与物理、化学等其他学科的联系，来展示抽象代数并非是孤立的理论，而是具有广泛应用价值的数学工具。我期待书中能够提供充足的练习题，并且难度递进，能够帮助我从理解到掌握，再到灵活运用。如果这本书能够帮助我建立起一种独立思考和解决数学问题的能力，并让我体会到数学的严谨之美，那么它无疑是一部值得珍藏的佳作。

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初拿到这本《抽象代数》，我最先感受到的是它严谨的编排和清晰的脉络。我一直觉得，学习一门复杂的学科，最怕的就是概念的跳跃和逻辑的混乱，而这本书似乎在这方面做得相当出色。我尤其对书中关于“同态”和“同构”的论述很感兴趣，在我看来，这两种概念就像是数学世界中的“翻译官”，能够帮助我们理解不同数学对象之间的深层联系和相似之处。我期望书中能通过大量生动形象的比喻和图示，来阐释这些抽象的概念，让它们不再是冰冷的符号，而是活生生的数学思想。同时，我也期待书中能够包含一些经典的数学问题和定理，例如伽罗瓦理论的引入，以及如何利用抽象代数工具来解决一些困扰数学家多年的难题。我深信，只有在理解了核心概念的基础上，再去接触和解决具体问题，才能真正地掌握这门学科。我希望这本书能够教会我如何“思考”数学，而不是简单地“记忆”数学，培养我独立解决问题的能力。如果这本书能够让我对数学的理解提升到一个新的高度，并培养我严谨的逻辑思维方式，那将是我最大的收获。

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