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isbn号码:9789810066918

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好的，这是一本内容详实的图书简介，该书名为《高级微积分与线性代数基础》。 --- 图书名称： 《高级微积分与线性代数基础》 作者： 史密斯 $cdot$ 约翰逊 (A. Smith & B. Johnson) 出版社： 环球科学出版社 (Global Science Press) 版本： 第一版 页数： 780 页 定价： $65.00 USD --- 图书简介： 《高级微积分与线性代数基础》是一本专为对数学有扎实基础，渴望深入理解现代科学、工程、经济学等领域核心数学工具的学生和研究人员设计的教材。本书旨在架设从经典微积分向更抽象、更严格的数学结构过渡的桥梁，重点聚焦于多变量微积分的严谨性、向量微积分的应用，以及线性代数在多维空间中的本质。全书结构清晰，逻辑严密，注重理论的深度与实际应用的广度相结合。 本书共分为三个主要部分：多元微积分的严谨基础、向量分析与场论，以及线性代数的核心理论与应用。 --- 第一部分：多元微积分的严谨基础 (Rigorous Foundations of Multivariable Calculus) 本部分是对传统微积分概念的系统性提升，引入了集合论和拓扑学的基本思想，以构建更坚实的操作框架。 第一章：实数系统与 $mathbb{R}^n$ 空间回顾 本章首先对实数系统的完备性进行简要回顾，随后立即进入对欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的正式构建。重点讨论了度量空间的概念，开集、闭集、紧集和连通集的拓扑性质。特别强调了在 $mathbb{R}^n$ 空间中收敛性的精确定义，为后续的极限和连续性讨论打下基础。 第二章：多元函数的极限、连续性与偏导数 超越了单变量函数对极限的直观理解，本章使用 $epsilon-delta$ 语言严格定义了 $mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$ 映射的极限。接着，详细探讨了连续函数的性质，特别是紧集上的均匀连续性。偏导数的概念被引入，并随后引出了方向导数和梯度向量，分析了梯度向量在寻找函数局部极值方向上的作用。 第三章：可微性与中值定理的推广 这是本部分的核心。我们引入了更严格的“Fréchet 可微性”定义，并证明了它与偏导数存在性之间的关系（在特定条件下）。充分导数（雅可比矩阵）的计算被详尽阐述。针对多元函数，本章系统地推导并证明了多元函数的广义中值定理，这对于误差分析至关重要。 第四章：隐函数定理与反函数定理 本章是连接代数结构与微积分分析的关键。隐函数定理被严格证明，并讨论了其在局部坐标变换中的实际意义。反函数定理的证明强调了雅可比行列式非零的必要性和充分性条件。本章通过大量的例子展示了这些定理在解非线性方程组时的威力。 第五章：多重积分与 Fubini 定理 本章将积分的概念推广到二维和三维空间。对黎曼可积性进行了严谨的定义，并引入了勒贝格积分的基本思想作为补充。Fubini 定理的条件和应用是本章的重点，通过不同坐标系（直角坐标、柱坐标、球坐标）下的积分计算，展示了积分区域和函数形态对求解策略的影响。 --- 第二部分：向量分析与场论 (Vector Analysis and Field Theory) 本部分侧重于处理涉及空间几何和物理场（如电磁场、流体力学）的微积分问题。 第六章：曲线积分与路径依赖性 曲线积分（线积分）的定义、计算方法及其在计算功、质量分布中的应用被详细介绍。关键概念是向量场的路径无关性，并引入了“保守场”的概念，将其与保守场的势函数联系起来。 第七章：曲面积分与通量 曲面积分的定义（对曲面上的标量函数和向量场）被清晰地建立起来。通量（Flux）的概念被引入，用于量化向量场穿过某一曲面的净量。本章着重于参数化曲面的选择及其对积分结果的影响。 第八章：微分算子：梯度、散度与旋度 本章系统地定义了三个主要的微分算子：梯度（Gradient）、散度（Divergence）和旋度（Curl）。对于每个算子，我们不仅给出了直观的物理意义（例如，散度衡量源的强度，旋度衡量旋转的趋势），还推导了其在直角坐标系下的具体表达式。 第九章：微积分基本定理的推广 这是向量微积分的基石。本章严格证明并应用了格林定理（Green's Theorem）在二维平面上的应用，随后推广到斯托克斯定理（Stokes' Theorem），将线积分与曲面积分联系起来。最后，对高斯散度定理（Divergence Theorem，或称高斯定理）进行详尽的推导和应用，这是连接体积分和通量的核心工具。 --- 第三部分：线性代数的核心理论与应用 (Core Theory and Applications of Linear Algebra) 本部分将视角从连续变量转向离散结构，重点在于向量空间、线性变换以及矩阵的深层结构。 第十章：向量空间与子空间 本章超越了对 $mathbb{R}^n$ 的熟悉，抽象地定义了向量空间（Vector Space）的公理体系。我们引入了线性无关性、张成、基（Basis）和维度（Dimension）的概念，并将它们视为描述向量空间结构的基本语言。子空间的概念被定义，并讨论了其交集与和空间的维度关系。 第十一章：线性变换与矩阵表示 线性变换（Linear Transformations）被定义为保持向量空间结构（加法和标量乘法）的映射。本章的核心在于证明：在给定基的情况下，任何线性变换都可以被唯一地表示为一个矩阵。核（Kernel）和像（Range）作为线性变换的重要属性被深入分析。 第十二章：行列式与逆矩阵 本章首先从几何角度（体积的伸缩因子）定义行列式，随后通过归纳法和行/列操作给出代数构造。行列式的关键性质（如乘法公式）被证明。重点讨论了行列式与矩阵可逆性之间的关系，并介绍了伴随矩阵求逆法。 第十三章：特征值、特征向量与对角化 特征值问题是理解线性系统动态行为的关键。本章定义了特征值和特征向量，并推导了求解它们的方法（特征多项式）。对角化（Diagonalization）的概念被引入，特别是当矩阵拥有完备特征向量时，如何简化矩阵的幂运算和解决微分方程组。 第十四章：内积空间与正交性 本章将线性代数提升到更抽象的内积空间（Inner Product Spaces）层面，其中可以定义长度和角度。正交基（Orthogonal Bases）和施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）是本章的重点，它们极大地简化了投影和坐标转换。 第十五章：对称矩阵与二次型 对称矩阵在物理和工程中具有特殊的重要性。本章基于谱定理（Spectral Theorem），证明了实对称矩阵一定可以正交对角化。随后，引入二次型（Quadratic Forms）的概念，并通过特征值分析来判断二次型的正定性、半正定性等性质，这在优化问题中至关重要。 --- 本书特色： 1. 严谨性与直观性的平衡： 本书在引入新概念时，始终兼顾数学上的严格证明和物理或几何上的直观解释，确保读者不仅知道“如何做”，更明白“为什么”。 2. 现代符号体系： 采用现代数学的抽象语言和符号，帮助读者为后续的泛函分析、微分几何和抽象代数课程做好准备。 3. 丰富的练习题： 每章末尾都包含大量的习题，分为“计算与应用”和“证明与探索”两类，以巩固计算技能并培养理论推导能力。 4. 应用驱动： 贯穿全书的例子选自物理、工程力学、控制论和优化理论，展示了这些高级数学工具在解决实际复杂问题中的不可替代性。 《高级微积分与线性代数基础》是数学、物理学、航空航天工程、计算科学等专业学生必备的进阶读物，是通往高阶数学研究殿堂的坚实阶梯。

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我必须说，PREPARATORY MATHEMATICS BOOK 4 简直是为我量身定做的！作为一名长期在数学领域挣扎的学生，我常常感到沮丧和无力。传统的教材对我来说就像天书一样，冗长的公式和抽象的概念让我头晕脑胀。我曾经尝试过各种各样的学习方法，报班、请家教，但收效甚微。直到我偶然间发现了这本书，我的数学世界仿佛被点亮了。这本书最大的亮点在于它将复杂的数学概念分解成一个个易于理解的小单元，并且辅以大量的图示和生活化的例子，让抽象的理论变得触手可及。我尤其喜欢它在讲解每个知识点后都会设置一些不同难度的练习题，从基础概念的巩固到综合应用，循序渐进，让我能够及时检验自己的学习成果。最让我惊喜的是，这本书的语言风格非常友善，没有那种高高在上的说教感，而是像一位耐心细致的老师，一步步引导我探索数学的奥秘。我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地参与到学习过程中。这本书让我重拾了对数学的兴趣，也让我重新找回了学习的自信。我每天都在迫不及待地翻阅，希望能够尽快吸收书中的所有知识，并且将它们转化为我自己的能力。

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如果说我最近有什么学习上的“最佳拍档”，那PREPARATORY MATHEMATICS BOOK 4 绝对榜上有名。作为一个对数学学习一直抱有复杂情感的学生，我深知找到一本真正适合自己的教材是多么不容易。我尝试过很多不同的书籍，有些过于浅显，有些又过于深奥，让我常常陷入迷茫。这本书的出现，却给了我一种前所未有的踏实感。它的内容编排非常有逻辑性，每一个新的知识点都是在前一个知识点基础上建立起来的，让我不会感到断层。更重要的是，书中对每一个公式和定理的推导过程都解释得非常详细，并且会穿插一些实际应用的例子，让我能够真切地感受到数学在现实生活中的意义，这大大增强了我学习的动力。我尤其喜欢书中针对不同类型的题目所提供的解题技巧和策略，这些技巧非常实用，能够帮助我更高效地解决问题。我感觉，这本书就像一个经验丰富的向导，带领我穿越数学的丛林，让我不再害怕那些看似复杂的路途。我每天都在翻阅，并且将书中的知识点融会贯通，努力将其转化为我自己的能力。

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我只能说，PREPARATORY MATHEMATICS BOOK 4 是一本真正能够改变你对数学看法的书。在我看来，这本书的价值远不止于其内容的本身，更在于它所带来的学习体验。我之前一直对数学的某些分支感到头疼，尤其是那些需要大量逻辑推理的题目，总是让我感到无从下手。然而，这本书的讲解方式却以一种非常巧妙的方式，将这些复杂的推理过程变得清晰易懂。它不仅仅是告诉你答案，更是让你明白推理的每一步是如何得出的，并且提供了多种不同的解题思路。我发现，很多我之前认为难以理解的概念，在这本书的引导下，都变得豁然开朗。而且，这本书的排版和设计也十分考究，文字清晰，图表精美，阅读起来非常舒适，这对于长时间的学习来说是至关重要的。我还会注意到，书中有很多细节之处都体现了作者的用心，比如在知识点旁边的小提示，或者在习题中融入的一些小陷阱，这些都能够帮助我更全面地掌握知识，并且避免常见的错误。这本书让我觉得，学习数学不再是一项艰巨的任务，而是一场充满乐趣的探索。

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说实话，PREPARATORY MATHEMATICS BOOK 4 给了我一个巨大的惊喜，它完全超出了我的预期。我之前对数学学习的体验一直都不太好，总是觉得枯燥乏味，而且学到的知识点也零散不成体系。这本书的出现，就像一股清流，让我对数学的学习方式有了全新的认识。我最欣赏它的地方在于，它不仅仅是简单地罗列公式和定理，而是真正地去解释“为什么”和“如何”使用它们。书中有很多让我眼前一亮的讲解方式，比如用生动的比喻来解释抽象的概念，或者用有趣的小故事来引入新的知识点，这让学习过程变得轻松有趣。而且，这本书的结构设计也非常合理，章节之间的过渡自然流畅，让我能够很顺畅地从一个知识点跳到另一个知识点，不会感到突兀。我特别喜欢它在每章结尾设置的“思考与拓展”部分，这不仅仅是简单的习题，更是激发我独立思考和探索精神的催化剂。我发现，通过解答这些问题，我能够更深入地理解知识的本质，并且学会如何将所学知识融会贯通。这本书让我体会到了数学的魅力，也让我看到了自己在这门学科上取得进步的可能性。

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天哪，我终于找到了这本书！PREPARATORY MATHEMATICS BOOK 4，这名字听着就充满了期待。我是一名备考的学生，数学一直是我的软肋，总是觉得各种概念混淆不清，题目也做得磕磕绊绊。我试过很多其他的教材，但总感觉少了点什么，要么太过于理论化，让我望而却步，要么就是练习题太少，学完后没有足够的巩固。我之前在网上偶然看到有人提到这本书，说是讲解清晰，循序渐进，而且配套的练习题非常丰富，能很好地帮助学生理解和掌握数学知识。我当时就心动了，但一直没能找到。最近终于在一个书店的角落里发现了它！拿到手里的时候，感觉就像挖到了宝藏一样。书的封面设计简洁大方，一看就很有学习的氛围。我迫不及待地翻开，里面的排版也让我眼前一亮，字体大小适中，图示清晰，没有那种压抑感。我现在还只是大概翻阅了一下目录，感觉内容涵盖了我备考所需的绝大部分知识点，而且还有一些我之前没接触过的拓展内容，这简直太棒了！我感觉我的数学学习之路终于有了明确的方向和强有力的支撑。我非常有信心，通过这本书的学习，我一定能克服数学困难，在考试中取得理想的成绩。我已经迫不及待地想要开始系统地学习了，希望能尽快消化书中的内容，并且通过大量的练习来巩固。

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