A Treatise on the Theory of Determinants and Their Applications in Analysis and Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:General Books LLC

作者:Robert Forsyth Scott

出品人:

页数:118

译者:

出版时间:2010-01-01

价格:USD 18.18

装帧:Paperback

isbn号码:9781152085176

丛书系列:

图书标签:

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《代数拓扑基础：从流形到同调》 作者：[此处留空，模拟作者信息缺失或虚构] 出版社：[此处留空，模拟出版社信息缺失或虚构] --- 图书简介： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数拓扑学导论，重点关注从基础概念到核心理论构建的严谨发展路径。不同于侧重于初等代数结构或经典几何学的传统教材，本书将代数方法作为理解空间内在性质的强大工具，系统地引入了同调论、同伦论的基本框架，并将其应用于对复杂拓扑空间的分析。 全书结构清晰，内容覆盖了代数拓扑学的两个主要分支——同伦论与同调论——并以一种有机、递进的方式将它们联系起来，最终为深入研究微分几何、代数几何乃至理论物理中的拓扑结构打下坚实基础。 第一部分：拓扑空间的复习与基本概念的建立 本书的开篇并非直接跳入复杂的代数构造，而是首先对点集拓扑的基础知识进行了一次精炼的回顾与深化。我们假设读者已经掌握了基本的拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性等概念，但会着重强调那些对后续代数构造至关重要的特性，例如函子性（Functoriality）的严格定义和应用，以及同胚（Homeomorphism）与拟同胚（Quasi-homeomorphism）的区别。 随后，引进了基本群（Fundamental Group） $pi_1(X, x_0)$ 作为第一个代数不变量。我们详细探讨了路径的乘法、逆元以及同伦的性质，并严格证明了基本群是拓扑空间的不变量——即同胚映射诱导出群的同构。霍普夫定理（Hopf Theorem）的初级形式被用于说明如何利用基本群区分简单的三维空间，如球面与环面。霍姆套结（Hopf Invariant）的初步概念被引入，为后续更高阶不变量的理解做铺垫。 特别地，本书用相当篇幅讨论了覆盖空间理论（Covering Space Theory）。通过分析纤维丛（Fiber Bundle）的局部平凡性，我们构建了提升映射（Lifting Property），并推导出了著名的提升定理。这部分内容不仅为理解 $pi_1$ 提供了直观模型，也为后续更普遍的纤维丛理论（如向量丛）奠定了基础。 第二部分：同伦论的深化与纤维丛 在基本群的基础上，本书系统地引入了高阶同伦群（Higher Homotopy Groups） $pi_n(X, x_0)$，其中 $n geq 2$。由于高阶同伦群在 $n geq 2$ 时具有阿贝尔性质，这使得它们的计算和性质分析比基本群更为系统化。我们使用 Smirnov 链复形（Smirnov Simplicial Complex）的观点来阐释 $n$-球如何被映射到 $X$，并展示了 Hurewicz 定理的初步形态，即 $pi_1$ 和 $pi_n$ 之间的关系。 Hurewicz 映射 $h: pi_n(X) o H_n(X)$ 的构造是本部分的重点。我们详细讨论了当空间 $X$ 的低阶同伦群消失时，Hurewicz 定理如何精确地揭示了第一个非零同调群的结构。 随后，我们将讨论纤维丛（Fiber Bundles）。不同于代数拓扑的其他分支，纤维丛的讨论需要结合几何直觉。本书将向量丛视为一种特殊的纤维丛，并引入了陈类（Chern Classes）的概念，尽管其完整的代数几何定义稍后讨论，但我们在此处利用其在欧氏空间上的截面性质，初步探讨了第一陈类 $c_1$ 如何测量丛的“扭曲”程度。蒙日-安德烈（Möbius）带的构造被用作最简单的非平凡丛的实例。 第三部分：同调论的构建与应用 本书的第三部分完全致力于奇异同调论（Singular Homology Theory）的严谨构建。我们首先定义了单纯形（Simplexes）和奇异 $n$-链群 $C_n(X)$，以及边界算子 $partial$。通过链复形（Chain Complex）的结构，我们定义了同调群 $H_n(X)$，并严格证明了它是一个拓扑不变量。 为了处理具有洞的拓扑空间，本书详述了Mayer-Vietoris 序列的构造和应用。这一强大的工具被用于计算各种经典空间的同调群，包括： 1. 球面 $S^n$ 的同调群：通过将 $S^n$ 分解为两个 $n$-圆盘，利用 Mayer-Vietoris 序列严格推导出其精确同调群。 2. 环面 $T^2$ 和射影平面 $mathbb{RP}^2$ 的同调：这些例子展示了如何处理具有“非平凡”拓扑结构的流形。 在对基础同调群有了深刻理解后，我们转向截面、映射与同态。本书详细讨论了万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），解释了如何利用 $ ext{Ext}$ 函子从同伦信息（或基础系数下的同调）推导出任意系数下的同调群结构。 第四部分：系数域的扩展与上同调的引入 为了深化对流形的理解，本书引入了截面范畴（Category of Sheaves）的初步概念，以便更自然地讨论上同调（Cohomology）。我们定义了上链复形 $C^n(X; G)$，并给出了上同调群 $H^n(X; G)$ 的定义。 书中强调了上同调与同调之间的万有反向函子性：即上同调群是通过与同调群的对偶关系（$ ext{Hom}$ 函子）来定义的。我们证明了上同调环（Cohomology Ring）的结构，即通过Künneth 乘积公式（Künneth Formula）定义的杯积（Cup Product） $cup$。杯积的几何意义——即如何通过两个低维子集的交集来构造一个高维子集——被详细阐述，并用于区分某些具有相同同调群但不同环结构的流形。 最后，本书以De Rham 定理作为结语，展示了微分几何中的光滑上同调（基于微分形式）如何与代数拓扑中的奇异上同调（基于拓扑结构）精确对应。虽然对微分形式的讨论保持在介绍层面，但它成功地将读者引入了更高级的研究领域。 目标读者： 本书适合于数学专业高年级本科生、研究生，或任何希望系统学习现代代数拓扑学的研究人员。要求读者具备扎实的点集拓扑和抽象代数基础（群论、环论）。本书的风格侧重于概念的严谨定义和关键定理的完整证明。

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我一直对数学中的“优雅”一词情有独钟。它不是简单的简洁，而是在看似复杂的事物中，发现内在的规律和和谐之美。“行列式的理论及其在分析与几何中的应用”，这句话本身就带着一种数学特有的郑重其事，预示着一种严谨的逻辑推演和深刻的数学洞察。我希望这本书能带我深入行列式这个概念的本质，理解它为何如此重要，在数学的宏大体系中占据着怎样的地位。分析学，充满了无穷的探索，从微积分的细致入微到微分方程的动态描述，行列式扮演的角色一定非常关键。我好奇它如何能在描述函数变换、解线性方程组时展现出其独特的威力。同样，在几何的广阔天地里，从二维的平面到高维的空间，我期待行列式能够以一种直观而又深刻的方式，帮助我理解形状的变换、空间的性质，甚至可能是更抽象的几何对象。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位博学的向导，引领我穿越数学的丛林，发现那些隐藏在表面之下的精彩。它是否会包含一些历史的渊源，介绍行列式思想的演变？是否会提供一些巧妙的例子，将抽象的理论与具体的应用联系起来？这些都让我充满了期待，希望它能带来一次令人心满意足的数学之旅。

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这本书的名字听起来就充满了知识的重量，仿佛一本古老而深邃的宝藏。“行列式的理论及其在分析与几何中的应用”，光是这几个词就能勾勒出一幅严谨而精妙的数学图景。我常常会在午后，一杯咖啡，一本书，就这么沉浸在数学的海洋里。这本书，毫无疑问，就是我这次航行的最佳指南。我期待着它能为我揭示行列式这个看似抽象的概念背后，蕴藏的无穷的结构与和谐。分析学，那是描述变化与连续的语言，而几何学，那是勾勒空间与形态的画笔。当这两者与行列式相结合，我敢肯定，必定会激荡出思想的火花，带来前所未有的洞见。我渴望了解，它是如何巧妙地将那些看似杂乱无章的数字排列，转化为理解复杂函数行为的关键，又如何用一种优雅的方式，描绘出多维空间中的旋转、伸缩与投影。这本书，不仅仅是数学公式的堆砌，更是逻辑思维的盛宴，是探索数学真理的阶梯。我已经在脑海中构思了无数个画面：从微积分中的雅可比行列式，到线性代数中的特征值与特征向量，再到几何学中体积、面积的计算，甚至可能涉及到群论或拓扑学的更深层次应用。这本书，定能拓展我的数学视野，让我对这些领域有更深刻、更全面的理解。我迫不及待地想翻开它，让我的思维在它的引导下，自由翱翔。

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阅读一本关于数学理论的书籍，对我而言，是一种精神上的净化和智力上的锻炼。这本书的名字“行列式的理论及其在分析与几何中的应用”，听起来便是一种严谨而系统性的学术探索。我期待它能提供一个全面而深入的视角，让我理解行列式不仅仅是一个代数工具，而是一个贯穿多个数学分支的强大概念。在分析学领域，我希望能看到行列式如何被用来理解和解决涉及多变量的函数问题，例如多重积分的变换，或者微分方程组的稳定性分析。我猜想，雅可比行列式之类的概念一定会有详尽的介绍，以及它们在数值分析中的重要性。至于几何学，我非常好奇行列式如何能够桥接代数与几何的鸿沟，用一种抽象的语言来描述空间中的几何结构，比如线性变换对体积和方向的影响，或者曲面的曲率计算。这本书的价值，我认为在于它能否将这些看似分散的知识点串联起来，形成一个有机的整体，让读者在掌握理论的同时，也能清晰地看到其应用的路径。如果它能提供一些启发性的思考，或者引导读者发现新的数学联系，那将是这本书最令人兴奋的地方。

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一本好的数学书籍，应该像一位循循善诱的老师，它不仅要传授知识，更要激发探索的兴趣。“行列式的理论及其在分析与几何中的应用”，这个书名本身就有一种邀请感，仿佛在邀请读者一同走进一个充满智慧的殿堂。我尤其看重它在“应用”方面的阐述，因为这能让我更直观地感受到数学的强大与魅力。在分析学部分，我期待看到行列式如何被应用于解决诸如偏微分方程的求解，或者在概率论和统计学中描述多维随机变量的性质。是否会有一些经典问题的案例分析，展示行列式在其中的关键作用？而在几何学方面，我更希望能理解行列式如何与向量空间、内积空间等概念紧密相连，并最终应用于描述空间的度量、变换以及一些高级的几何结构。这本书如果能提供一些清晰的图示，或者用生动的语言解释复杂的数学概念，那将是对我学习极大的帮助。我希望它不仅仅是一本学术论文式的著作，而是能够让像我这样的普通读者，也能在其中找到学习的乐趣，并从中获得深刻的启迪，从而在数学的道路上走得更远。

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有时候，一本好书就像一位沉默的智者，它不喧哗，但字里行间都充满了力量，能够悄无声息地改变你看待世界的方式。“行列式的理论及其在分析与几何中的应用”，这个书名，给我一种沉静而坚实的感觉。我更看重的是它如何将数学的抽象理论与具体的应用场景联系起来。毕竟，数学的魅力不仅仅在于其自身的逻辑完美，更在于它能够解释和塑造我们所处的现实世界。我期待这本书能详细阐述行列式在解决实际问题中的作用，例如在物理学中的力学分析，在工程学中的系统建模，甚至可能是在计算机科学中的图形渲染或数据处理。对于分析学部分，我好奇它会如何深入探讨行列式在微积分、积分方程等领域的应用，是否会讲解一些我之前不曾接触过的精妙方法。而在几何学方面，我希望它能展现行列式在向量空间、线性变换、曲面方程等方面的应用，用一种清晰易懂的方式，揭示数学语言如何描述几何对象的形态与关系。这本书，如果能做到理论深度与应用广度并重，那将是一笔宝贵的财富，能够极大地丰富我的数学知识库，并为我解决实际问题提供强大的工具。

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