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isbn号码:9789814202640

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《高等数学：理论与应用》 图书简介 《高等数学：理论与应用》是一本全面而深入探讨高等数学核心概念、方法与应用的权威著作。本书旨在为读者提供坚实的数学基础，并引导他们理解高等数学在现代科学、工程、经济及技术领域中的广泛应用。本书的编写严格遵循严谨的数学逻辑和清晰的教学结构，力求在保持学术深度的同时，兼顾读者的理解性与可读性。 第一部分：微积分基础 本书开篇聚焦于微积分的基石——极限与连续性。我们将详细阐述极限的 $varepsilon-delta$ 定义，这对于理解现代数学分析的严谨性至关重要。随后，深入探讨函数在不同定义域上的连续性，并通过中值定理（如罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理）来揭示函数局部性质与全局行为之间的内在联系。 紧接着，本书详细介绍了导数的概念及其在变化率和斜率方面的直观意义。微分法部分涵盖了所有标准函数的求导法则，包括链式法则、乘法法则和除法法则。我们特别强调导数的几何意义，如切线和法线的计算，以及相关变化率问题。 积分学的引入以定积分的黎曼和定义为起点，强调其与面积和累积效应的联系。随后，详细阐述微积分基本定理，这是连接微分与积分的桥梁。不定积分的求解技巧是本部分的核心内容，涵盖了直接积分法、换元法（第一类和第二类）以及分部积分法。对于更复杂的积分，如有理函数积分和三角代换积分，本书提供了详尽的步骤和例题分析。此外，本书还深入讨论了反常积分（瑕积分）的收敛性判定及其在物理学和概率论中的应用。 第二部分：多元函数微积分 随着问题的复杂化，我们自然过渡到多元函数的分析。本部分从三维空间中的向量与几何入手，为后续的偏导数和多重积分做准备。 偏导数的概念被清晰地引入，并解释了其在空间曲面上的几何意义——方向导数和梯度。梯度向量不仅是最大变化率的方向，也是理解多变量函数等高线和等势面的关键。本书详细讨论了链式法则在多元函数中的扩展，以及高阶偏导数的计算，并引入了泰勒级数在多元函数中的推广——泰勒公式，用于函数的局部近似。 隐函数定理和反函数定理是理解多变量函数之间复杂依赖关系的重要工具，本书对此进行了严谨的证明和应用实例的展示。 多重积分是本部分的核心难点与亮点。从二维平面上的二重积分到三维空间中的三重积分，本书系统地阐述了坐标变换（如极坐标、柱坐标和球坐标）在简化积分计算中的强大作用。我们着重讲解了雅可比行列式在变量替换中的关键角色，并展示了如何利用多重积分计算质量、质心和转动惯量等物理量。 第三部分：向量微积分与场论 向量微积分是连接经典物理学与现代数学的重要分支。本部分首先介绍了线积分和面积分。线积分在计算功和保守场中的势能方面具有关键作用。面积分则被应用于计算通过曲面的流量。 为处理场论中的基本定理，本书详细阐述了三个核心定理：格林公式、斯托克斯公式和高斯（散度）公式。这些定理本质上是微积分基本定理在高维和曲面上的推广，它们极大地简化了涉及闭合路径、闭合曲面上的积分计算。本书通过大量的流体力学和电磁学背景的例子，帮助读者建立起这些抽象定理的直观理解。 第四部分：常微分方程 常微分方程（ODE）是描述自然界中动态过程的标准数学语言。本书系统地分类和求解一阶微分方程，包括可分离变量方程、恰当方程、线性一阶方程以及伯努利方程等。 对于二阶及以上常系数线性微分方程，本书详细介绍了特征方程法、常数法以及参数变易法（拉格朗日法）来求解齐次与非齐次方程。本部分也专门探讨了欧拉方程的解法。 对于无法解析求解的复杂方程，本书介绍了幂级数解法，特别是中心点和正则奇点附近的解的构造。此外，拉普拉斯变换作为一种强大的积分变换工具，被引入用于高效求解具有初始条件的线性常微分方程，尤其擅长处理阶跃函数和脉冲函数作为驱动力的系统。 第五部分：级数与傅里叶分析 本部分深入探讨了无穷序列和级数的收敛性。我们从基本概念入手，详细讲解了正项级数的收敛判别法（如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法）。交错级数则通过莱布尼茨判别法进行分析。绝对收敛与条件收敛的区别和重要性被强调。 幂级数是本部分的核心。我们详细推导了常见函数（如 $e^x, sin x, cos x$）的泰勒级数和麦克劳林级数，并确定了这些级数的收敛半径和收敛区间。阿贝尔定理和魏尔斯特拉斯关于幂级数在收敛区间端点性质的讨论，为严格的分析奠定了基础。 傅里叶级数作为一种将周期函数分解为正弦和余弦函数之和的强大工具，被详细介绍。本书不仅推导了傅里叶系数的计算公式，还讨论了函数在不同定义区间上的傅里叶展开，以及奇偶延拓在简化计算中的作用。傅里叶级数在热传导、波的分析以及信号处理中的应用得到了充分的展示。 总结 《高等数学：理论与应用》不仅是一本教材，更是一份全面的数学工具箱。全书结构逻辑清晰，论证严谨，习题丰富多样，覆盖了从基础概念到前沿应用的所有关键领域。它将引导读者掌握分析思维，为未来在理工科、经济学或数据科学领域的深入研究打下坚不可摧的数学基础。

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这本书的封面设计得相当吸引人，蓝白相间的配色给人一种清爽、专业的感觉，虽然内容我还没细看，但光是看到它厚实的体量和清晰的排版，就让人觉得物超所值。包装上没有太多花哨的装饰，直接点明了“导览与练习”的定位，这一点很合我胃口。我一直觉得好的学习材料，重点在于内容的实用性和直观性，而不是那些浮夸的包装。这种务实的风格，很能打动我这种追求效率的学习者。翻开扉页，印刷质量看起来不错，纸张的触感也比较舒适，长时间阅读应该不会太累。当然，最终的价值还是取决于内在的质量，但一个良好的第一印象无疑是成功的开始。希望接下来的学习体验能和这封面一样令人满意，带来扎实的知识积累和应对考试的信心。

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从一个过来人的角度看，学习附加数学，最怕的就是遇到那种内容陈旧、跟不上考试改革步伐的资料。我这次选择这本，很大程度上是基于它比较新的出版信息，希望能确保内容覆盖到最新的考纲要求和命题趋势。虽然我还没开始做题，但我对它在“高阶思维训练”方面的潜力抱有极大的兴趣。比如，它是否会引入一些跨章节的复杂问题，迫使学习者整合不同知识点？它对于那些容易混淆的定义和公式，是否有特别的区分和总结？如果它能像一个经验丰富的教练那样，预判到我们在学习过程中最可能在哪里犯错，并提前给出“避坑指南”，那么这本书的价值将是无可估量的。我对它在提升我的数学直觉和应试能力方面的表现，充满了好奇与期待。

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说实话，我购买这类专业书籍时，最担心的一点就是“理论与实战脱节”。很多教材在讲解完基本原理后，给出的练习题要么过于简单，缺乏挑战性，要么就是难度突然飙升，让人摸不着头脑，中间缺乏一个平滑的过渡区域。我希望这本导览与练习能够提供一个精心设计的梯度练习体系。例如，从基础概念巩固，到中等难度的应用题，再到模拟真实考试压力的综合难题，每一步都有明确的对应指导。如果它能提供足够多的往年试题分析和常考点归纳，那就更完美了。目前我只是粗略浏览了前几章的示例，那种布局的紧凑感和内容的密度让我感到振奋，它似乎没有浪费任何一个页边空间，每一行文字似乎都在为我的学习服务。

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我是一个对学习资源要求比较苛刻的人，尤其是在涉及到像附加数学这样需要精细打磨的科目时。我注意到市面上很多同类书籍的“解析”部分往往敷衍了事，只是简单地写上几个步骤，关键的逻辑跳跃让人费解。我最看重的是它的解释深度——它是否能用不同的角度去阐释同一个定理？它是否能清晰地解释“为什么”要用这种方法，而不是“如何”用这种方法？如果这本书的答案和解析部分能够做到详尽、清晰、且充满启发性，那么它在众多学习材料中就能脱颖而出。光看排版，我能感受到一种严肃的学术气息，这让我对它的内容质量抱有高度期待，希望它能真正帮助我建立起坚实的数学思维框架，而不是仅仅应付考试。

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我是在一个朋友的强烈推荐下购入的，他声称这是他高中时期最依赖的辅导书之一。尽管我还没来得及深入研究它在微积分或三角函数部分的处理手法，但光是从目录结构来看，就能感受到编者对课程体系的深刻理解。它似乎将那些抽象的数学概念，用一种非常系统化、层层递进的方式组织起来，而不是简单地堆砌公式和例题。我特别留意了关于“问题解决策略”的章节介绍，如果能提供不同类型的解题思路和陷阱提醒，那将是极大的加分项。现在市面上很多教材往往只给出标准答案，而缺乏对思维过程的剖析，如果这本书能在这方面有所突破，那它就不仅仅是一本练习册，更像是一位耐心的私人导师。我期待它能帮我理清那些困扰已久的逻辑断点。

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