Zermelo's axiom of choice pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Gregory H. Moore

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1982

价格:USD 75.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387906706

丛书系列:

图书标签:

• 集合论
• 选择公理
• 数学基础
• Zermelo
• 公理化集合论
• 数学哲学
• 逻辑学
• 集合论公理
• 选择公理的历史
• 数学分析

《集合论的基石：策梅洛选择公理的深远影响》 本书并非关于策梅洛选择公理（Zermelo's Axiom of Choice，简称 ZFC 中的“AC”）本身的详细论述，而是聚焦于在排除或不直接探讨该公理的背景下，经典集合论与数学基础如何构建、演变以及面临的挑战。 本书的叙事逻辑旨在深入探讨一个核心问题：在不依赖策梅洛选择公理（AC）的框架内，数学家能够构建起何种程度的、具有实用价值的数学结构？ 我们将回溯至集合论的早期发展，审视那些在没有AC的约束下依然稳固的理论支柱，并详尽分析在特定领域（如分析学、拓扑学和抽象代数）中，没有选择公理所带来的具体限制与由此催生的替代性构建方法。 第一部分：集合论的非选择基石 本部分致力于梳理和确立一套纯粹基于策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）的理论基础。我们首先会回顾集合论的公理化尝试，从朴素集合论的直觉出发，逐步引入并阐述ZF公理系统的必要性与完备性，重点强调这些公理（如外延性、空集、配对、并集、幂集、替换、分离、无穷和正则性公理）如何在不涉及无限集的“同时选择”这一概念的前提下，保障了基础数学对象的存在性。 我们将详细讨论如何在ZF体系内进行集合的构造和运算。例如，自然数的构建（基于冯·诺伊曼序数定义），有限集的运算，以及如何利用ZF公理来定义和证明诸如有限并、有限交等基本操作的性质。对于良序定理的讨论，本书采取不予采纳或不予证明的态度，而是探索在没有良序这一强大工具时，如何处理序关系和良基关系。 一个关键的章节将专门探讨有限集合的范畴。在ZF下，有限性是一个内在结构属性，而非依赖于与自然数集的双射。我们将详细阐述如何利用ZF公理来证明集合的有限性，并在此基础上发展有限代数，例如在有限域上的线性代数基础，以及在不依赖AC的条件下如何定义和操作多项式环和有限群的结构。 第二部分：分析学的“无选择”景观 策梅洛选择公理在实数分析中扮演了至关重要的角色，尤其是在构造“反直觉”的集合时。本书的第二部分将聚焦于在不使用AC的情况下，实数分析的构建和主要定理的证明。 我们首先重新审视实数的定义。在ZF中，实数集 $mathbb{R}$ 通常被定义为有理数集的某个构造（如戴德金截或柯西序列等价类）。本书将证明，即使没有AC，实数集的完备性（即任何有上界的有界实数集都有上确界）依然可以通过“分离”和“替换”公理以及对有理数的良序结构进行严格推导。 这里的关键在于，上确界的“存在性”并不依赖于同时选择无限多个元素，而是依赖于实数集内部的有序结构。 随后，我们将深入探讨连续性、可微性与积分。在不使用AC的情况下，勒贝格测度理论的构建将受到严重限制。因此，本书将重点回归黎曼积分理论。我们将详细论证，黎曼积分的定义、上下和的极限过程，以及连续函数的可积性，完全可以在ZF框架内得到坚实的支撑。我们不会讨论不可测集或不可测函数的构造。 关于拓扑学的讨论将集中在紧致性和连通性。Tychonoff 定理（即有限个紧致空间的乘积是紧致的）依赖于AC，因此本书将彻底绕开此定理，转而研究在有限拓扑空间中的紧致性性质。对于无限维向量空间，我们必须放弃选择基这一强有力的工具，转而侧重于有限生成子空间和有限秩的概念，以避免引入需要AC的定理（如存在性极值定理的某些表述）。 第三部分：代数结构的非选择性探索 抽象代数是另一个AC影响深远的领域。本书旨在展示，在不依赖AC的情况下，代数结构依然可以被细致地研究，尽管其完备性可能不如在ZFC下那样全面。 我们将从群论开始。在ZF下，群的定义（封闭性、结合律、单位元、逆元）是完全成立的。本书将详细探讨有限群的结构，包括拉格朗日定理（群中任意子群的阶整除群的阶），该定理的证明完全不需要选择公理，因为它仅依赖于群的陪集结构。我们将研究有限生成群，并展示如何构造自由群（基于词的约简过程，这不需要AC）。 然而，在无限群的理论中，挑战将显现。例如，哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）在泛函分析中是关键，它依赖于AC。本书将避免涉及此定理，转而关注向量空间的基础。虽然无限维向量空间的存在性（即存在基）需要AC，但我们可以专注于有限维向量空间的结构，这些结构是完全可构造的。 在环论和域论方面，我们将重点研究多项式环的构造、唯一分解域（UFD）的性质，以及域的扩张。虽然代数闭域的存在性通常需要依赖选择公理来构造根域，但我们可以集中于那些可以通过明确构造（如通过多项式分解）得到的环结构。 结语：ZF的强大与边界 本书的最终目的是提供一个详尽的地图，标示出在严格排除策梅洛选择公理的限制下，纯粹基于ZF公理的数学体系的广阔疆域。我们展示了基础算术、有限代数、黎曼分析的稳固基础，以及这些领域在没有AC介入时所展现出的内在逻辑一致性。 通过这种限制性的视角，我们得以更深刻地理解：哪些数学真理是内在于集合论基本公理的，而哪些则是对“无限同时选择”能力的外部依赖。 本书为那些寻求最保守、最基础数学视角的读者提供了一份详尽的指南，展示了没有选择公理的数学宇宙是如何依然能够运转和发展的。

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总体而言，这本书成功地超越了教科书的范畴，它更像是一部深入剖析现代数学基石的“思想史诗”。我特别欣赏作者在全书结尾处所采取的收束方式——他将注意力从纯粹的逻辑形式转移到了数学哲学的前沿问题上。最后的几章探讨了在非经典逻辑框架下（比如直觉主义或构造主义数学中）如何重新审视选择公理的地位，这为那些习惯了经典二值逻辑的读者提供了极大的思维冲击。作者并没有给出最终答案，而是以开放式的提问结束了全书的讨论，促使读者继续思考：我们所使用的数学体系，其“自然性”究竟是源于宇宙的结构，还是仅仅源于人类思维的便利性？这种对读者智力上的挑战和邀请，使得这本书的价值经久不衰，它不仅仅是关于一个公理的记录，更是对数学本质的一次深刻叩问。

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我对这本书在跨学科影响方面的探讨给予高度评价。许多关于选择公理的著作往往将焦点局限在集合论的内部矛盾上，但《Zermelo's axiom of choice》的视野显然更为开阔。作者用相当大的篇幅来讨论选择公理在测度论和泛函分析中的“必要之恶”地位。特别是书中关于巴拿赫-塔斯基悖论（Banach-Tarski paradox）的论述，简直是精彩绝伦。作者没有简单地将其视为一个反直觉的“怪胎”，而是深入分析了该悖论如何暴露了我们对“可测集”这一概念的直觉性依赖。书中对比了那些试图在不依赖AC的框架内重构分析学的努力，如使用可数选择公理（Countable Axiom of Choice）的局限性，以及如何在保持数学实用性的同时，试图规避其最激进的后果。这种批判性的反思，使得全书不再是公理的简单罗列，而是一场关于数学实在观的深刻辩论，让人读后久久不能平静，开始重新审视我们习以为常的数学工具箱。

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这本书的行文风格，相较于我读过的许多现代数学专著，显得尤为别致，它带有一种近乎文学散文的节奏感。阅读过程中，我时常感到自己不是在“学习”一个公理，而是在跟随一位经验丰富的向导，穿越数学大厦的幽深走廊。作者在阐述选择公理的等价命题时，采取了一种螺旋上升的结构，先从最直观的良序定理入手，然后逐步引申到更抽象的超限归纳法和Tychonoff定理的论证路径。值得称道的是，他对于每一个等价命题的推导过程都进行了详尽的“心理侧写”，仿佛在向读者展示数学家在证明过程中所经历的顿悟与迷茫。例如，在介绍如何用Zorn's Lemma来构造某些无限并集的性质时，书中并没有直接给出结论，而是通过一个精心设计的“障碍”场景，引导读者去体会为何必须引入一个“选择函数”的概念才能跨越那道逻辑鸿沟。这种教学方法极大地降低了理解难度，使得复杂的拓扑学和泛函分析中的应用场景也变得触手可及，而不是高悬于理论之巅的空中楼阁。

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这本《Zermelo's axiom of choice》的装帧设计着实引人注目，封面采用了深沉的墨绿色调，搭配烫金的字体，散发出一种古典而又严谨的气息，仿佛直接将人带回了二十世纪初数学思想的黄金时代。我原本以为内容会是晦涩难懂的纯粹公理系统阐述，但翻开扉页后，发现作者在引言部分就展现了极高的写作功力，他没有直接陷入技术细节，而是巧妙地将选择公理的历史背景——从集合论的早期困境到策梅洛提出的那一刻所引发的巨大争议——描绘得如同史诗般宏大。特别是关于策梅洛如何试图用一种“直觉的必然性”来对抗当时数学界对这种“非构造性”断言的抵触，那段叙述真是酣畅淋漓。作者引用了当时费解的哲学讨论，将数学的抽象概念与更深层次的实在论和直觉主义的冲突并置，使得即便是对公理系统不甚熟悉的读者，也能感受到这场思想博弈的紧张感。整本书的排版也十分考究，页边距宽裕，使得阅读体验非常舒适，让人愿意沉浸其中，细细品味每一个论证的推敲与锤炼。这本书的价值，首先就体现在它对历史语境的精妙还原上。

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这本书的学术严谨性毋庸置疑，但其语言的张力与精确性也令人赞叹。作者在处理数学符号和自然语言之间的转换时，表现出了非凡的驾驭能力。比如，在某些证明的过渡段落，作者会突然切换到一种近乎辩证法的论述方式，用清晰而富有力量的句子来总结一个复杂步骤的逻辑意义。例如，当讨论到良序定理在超限归纳法中的作用时，文字中流露出的那种对“完备性”的追求，几乎可以让人感受到策梅洛本人的那种近乎宗教般的虔诚。此外，书中附带的注释系统也做得极为出色，许多关键术语的定义被放置在页脚，这些注释不仅解释了术语，还常常穿插着对相关数学史料的引用，比如关于哈斯朵夫（Hausdorff）和策梅洛早期通信的片段，这些细节极大地丰富了文本的层次感，使得每一次的翻阅都能带来新的发现。

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