Orthogonality and Spacetime Geometry (Universitext) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Robert Goldblatt

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:1987-11

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387965192

丛书系列:universitext

图书标签:

• 数学
• 几何学
• 正交性
• 时空
• 广义相对论
• 拓扑学
• 流形
• 微分几何
• 物理学
• Universitext

空间与时间几何中的正交性：一本探索数学与物理交汇的深度论著 本书旨在为读者提供一个关于正交性概念在现代物理学——特别是狭义相对论和广义相对论——中如何扮演核心角色的深入、细致的考察。我们聚焦于如何通过严格的数学工具，尤其是微分几何和线性代数，来理解时空结构的基本属性。 第一部分：基础概念的回顾与重构 本书的开篇，我们将从对线性代数中“正交性”这一经典概念的复习开始，但立即将其提升到更高的抽象层面。我们讨论内积空间、希尔伯特空间，并阐明这些抽象工具如何成为构建物理理论的坚实基础。 随后，我们将目光投向欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）的几何学。这里，我们详细阐述了基矢的选择、坐标变换（如旋转）对内积和向量分量的影响。理解在欧几里得框架下，什么是“不变量”至关重要，这为后续引入时空的非欧几里得特性做了铺垫。我们深入探讨了正交基的重要性，以及它们在投影、分解和最小二乘近似中的应用。 第二部分：从欧几里得到闵可夫斯基：时空正交性的诞生 本书的核心转折点在于从三维空间过渡到四维时空。我们引入狭义相对论的背景，重点分析洛伦兹变换（Lorentz transformations）。不同于欧几里得空间中的纯粹旋转，洛伦兹变换混合了空间和平移，这一点深刻地改变了我们对“正交”的理解。 我们详细构建了闵可夫斯基度规张量（Minkowski metric tensor），$eta_{mu u} = ext{diag}(1, -1, -1, -1)$（或 $(-1, 1, 1, 1)$，取决于惯例选择，本书将保持一致性）。这个张量定义了时空中的“间隔”（spacetime interval），并决定了四矢（four-vectors）之间的“内积”。 在闵可夫斯基空间中，“正交性”不再仅仅意味着角度为 $90^{circ}$。我们区分了三种重要的正交关系： 1. 空间正交性： 两个纯空间分量四矢在三维子空间中的正交。 2. 时间正交性： 一个时间类四矢与一个空间类四矢的正交（其内积为零）。这在物理上对应于瞬时观测。 3. 类光性（Null Orthogonality）： 两个类光矢（光锥上的向量）之间的特定关系。 我们通过分析洛伦兹变换如何保持这些间隔和正交性不变，揭示了狭义相对论的内在结构和不变原理。本书特别关注如何选择一组正交的“正交系”（timelike, spacelike, null vectors）来简化对任意四矢的分析，这类似于在欧几里得空间中选择笛卡尔坐标系。 第三部分：广义相对论中的黎曼几何与弯曲时空 随着对广义相对论的引入，正交性的概念被提升到了流形（manifold）的层次。度规不再是一个固定的常数张量，而是依赖于时空点的度规张量 $g_{mu u}(x)$。 我们从黎曼几何的基本概念出发，讨论了切空间（tangent space）的概念。在广义相对论中，每个时空点都拥有一个局部的切空间，在这个切空间内，我们可以局部地应用闵可夫斯基几何的工具。正交性，在黎曼几何中，是通过局部的度规张量来定义的。 本书细致地探讨了协变导数（covariant derivative）和黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）。我们论证了曲率的本质，即无法在流形上找到一组“处处正交”的坐标系，这与欧几里得空间形成了根本性的对比。 正交性与测地线： 我们分析了测地线（geodesics）——物体在弯曲时空中自由落体所遵循的路径。测地线的概念与正交性密切相关，例如，在特定的坐标系（如正交坐标系）下，测地线的运动方程可以被简化。 正交性与物理场： 我们还探讨了正交性在描述物理场中的应用。例如，电磁场张量 $F_{mu u}$ 的某些性质，例如其在特定变换下的不变性，可以通过其与时空度规正交性的关系来理解。 第四部分：正交性在现代理论中的延伸 本书最后一部分超越了经典场论，展望了正交性在更前沿物理学中的作用： 1. 规范理论中的正交性： 讨论在规范不变性要求下，场论的拉格朗日量如何构造，以及在向量空间中，这些场分量之间如何通过内积（有时是算符的内积）来保证物理的完备性。 2. 量子场论的启发： 简要提及正交性在量子力学中对态矢的重要性（例如，本征态的完备性）。 3. 更高维度的推测： 讨论在弦理论或卡鲁扎-克莱因理论等高维背景下，额外的空间维度如何通过引入新的正交自由度来描述。 通过严谨的数学推导和对物理意义的深入阐释，本书旨在使读者掌握“正交性”这一看似基础的概念，如何在描述我们宇宙的复杂几何结构中发挥不可替代的关键作用。本书适合高年级本科生、研究生以及从事理论物理和数学物理研究的专业人士。阅读本书需要扎实的微积分和线性代数基础，以及对经典力学和狭义相对论的初步了解。

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这本“Universitext”系列的书籍，通常意味着它可能不仅仅是介绍已有的理论，还可能涉及一些现代研究的前沿课题，或者至少是对经典理论进行更深层次的几何化重构。例如，它或许会探讨如何使用规范场理论的语言来重新审视引力，将时空几何视为一个（非阿贝尔）规范场，这种现代化的视角对于拓宽读者的视野极其重要。在“正交性”的语境下，这可能涉及到对穿向量（tetrads或vielbeins）的深入讨论，因为穿向量在连接局部洛伦兹框架与整体坐标系之间起着关键作用，它们本质上就是每一点上时空正交基的代表。理解了穿向量，才能真正掌握如何将量子场论与弯曲时空进行耦合。此外，一个好的几何物理教材还应该触及奇点的处理，例如黑洞视界附近的几何特性，以及如何利用正交坐标系来描述这些奇异区域的渐近行为。这本书的深度应该足够让研究生进行深入研究，而不仅仅是本科生的入门参考。

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我一直认为，学习时空几何最困难的部分在于建立对“弯曲”的直观感受，而正交性的概念恰恰是帮助我们“测量”这种弯曲的根本。这本书若能成功地将纯粹的代数工具转化为物理洞察力，那它将是无价之宝。我希望作者能够清晰地解释为什么在广义相对论中，我们不能像狭义相对论那样简单地找到一个全局的、固定的正交基，而是必须依赖于可移动的穿向量场来定义局部“直”的方向。这种局部性和整体性的对比是几何描述的核心。此外，一个常常被忽略但极其重要的方面是坐标无关性的体现——即物理定律如何在任何坐标系下保持不变。这本书必然会通过正交性（即张量性质）的严格定义来阐释这一点，证明物理本质独立于我们选择的描述工具。如果它能以一种严谨而又富有启发性的方式构建起这个数学-物理的桥梁，那么它无疑是一部杰出的参考书。

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从一个有着长期学习物理经验的读者的角度来看，我对这类教材的行文风格非常挑剔。我希望它能做到逻辑的连贯性，避免那种为了介绍一个新概念而突然跳跃到不相关领域的叙述方式。理想情况下，对“正交性”的讨论应该贯穿始终，作为理解度规张量性质的基础工具。比如，在介绍闵可夫斯基空间时，对四个正交基底的选择如何定义时间间隔和空间距离；在引入更复杂的弯曲流形时，如何定义切空间上的局部正交系（即局部惯性系）以及它们如何通过洛伦兹变换联系起来。如果这本书能够巧妙地将这些纯代数的正交性概念与物理上的因果结构（光锥）紧密结合，那么它就成功了一半。如果叙述过于依赖于过于抽象的拓扑学语言而缺乏直观的几何图像支撑，那么对于许多物理背景的读者来说，这本书的吸收难度会指数级上升。我期待看到清晰的图示和大量的例子来辅助理解那些高维的张量运算。

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当我考虑一本涉及“时空几何”的专业著作时，我立刻会联想到爱因斯坦场方程背后的深刻数学结构。这本书想必不会满足于仅仅介绍闵可夫斯基平直时空，而是会聚焦于如何处理更普遍的、由物质能量决定的弯曲时空。因此，对曲率张量的引入和讨论必然是核心内容之一。读者期望看到如何从黎曼曲率张量中提取出里奇曲率和标量曲率，以及这些几何量如何直接对应于物理上的引力场。我猜想，作者可能花费了大量精力去阐释“测地线偏离方程”的物理意义，因为它是描述两个相邻粒子在引力场中如何相互作用的关键。此外，在“正交性”的框架下，如何理解洛伦兹群在弯曲时空中的局部作用，以及如何进行坐标变换而不破坏物理定律的本质，这些技术细节也必然是书中不可或缺的组成部分。一本优秀的教材应当在每章的末尾提供足够挑战性的习题，迫使读者动手去操作这些高维张量运算，真正内化这些几何直觉。

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这本关于正交性和时空几何的书籍，虽然我没有亲自阅读过，但从其标题和所属的“Universitext”系列来看，我能推断出它必然是一部内容扎实、面向高等教育读者的教材或专著。这类书籍通常会深入探讨数学物理中的核心概念，尤其是那些在广义相对论和微分几何中占据基石地位的理论。一本好的教材应该能够清晰地梳理出“正交性”这一看似抽象的数学工具如何具体地应用于描述时空结构，比如如何通过度规张量来定义测地线、如何构建洛伦兹坐标系，以及在弯曲时空中处理向量和张量的协变性问题。我预感这本书会花费大量篇幅来解释微分形式、联络的概念，以及黎曼几何的基础知识，这些都是理解时空几何不可或缺的工具。对于想要从基础微积分和线性代数跨越到高等几何物理的读者来说，这种深度和广度是至关重要的，它不是一本浅尝辄止的科普读物，而是要求读者具备一定的数学素养和严谨的逻辑思维能力去啃读那些复杂的证明和推导。这本书的价值可能就在于它能提供一个从纯数学的视角去理解物理现实的坚实桥梁。

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