Fundamentals of Mathematics, Vol. 1 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:MIT Press (MA)

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頁數:0

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出版時間:1983-01

價格:0

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780262520935

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學基礎
• 數學
• 高等教育
• 教材
• 基礎數學
• 數學分析
• 集閤論
• 代數
• 微積分
• 邏輯學

《數學基礎：概念、方法與應用》—— 深入探索數學的廣闊疆域 本書特色： 《數學基礎：概念、方法與應用》並非《Fundamentals of Mathematics, Vol. 1》的替代或延伸，而是一部旨在為讀者構建全麵、現代數學知識體係的獨立著作。本書緻力於打破傳統數學教材的壁壘，以更具啓發性、更貼近現代科學應用的方式，係統地梳理和闡述數學學的核心原理、邏輯結構以及跨學科的應用潛力。本書的編寫遵循“從直覺到嚴謹，從基礎到前沿”的原則，力求讓不同背景的讀者都能領略數學思維的魅力。 第一部分：邏輯與集閤的奠基 本部分是構建整個數學大廈的堅實地基，聚焦於數學的語言和最基本的構建單元。 第一章：數學的邏輯基石 本章首先深入探討瞭形式邏輯的結構，包括命題演算（Propositional Calculus）和謂詞演算（Predicate Calculus）。我們詳細分析瞭蘊涵、等價、否定等基本邏輯聯結詞的性質，並引入瞭真值錶、推理規則（如肯定前件、否定後件）的嚴格證明方法。隨後，本書將討論歸謬法、反證法等高級證明技巧，強調數學證明的內在一緻性和嚴密性。特彆地，本章引入瞭哥德爾不完備性定理的直觀解釋，探討瞭公理化係統的局限性，拓寬讀者對數學本質的理解。 第二章：集閤論的公理化構建 我們從樸素集閤論的直觀概念齣發，逐步過渡到更穩健的策梅洛-弗蘭剋爾集閤論（ZFC）的公理係統。詳細講解瞭外延性公理、空集公理、配對公理、並集公理以及替換公理。對冪集、笛卡爾積的構造進行瞭詳盡的闡述。本章的重點在於理解“無窮”的概念是如何在公理體係中被構造和定義的，包括自然數的遞歸定義（如馮·諾依曼序數錶示法）。此外，還探討瞭選擇公理（Axiom of Choice）在數學中的關鍵作用及其引發的爭議，例如良序定理和最大元定理的等價性證明。 第二部分：代數結構與數係擴展 本部分將焦點從集閤的“構造”轉移到“運算”和“結構”的探索，涵蓋瞭從自然數到抽象代數結構的核心內容。 第三章：數係與基本運算的深入剖析 本章係統地構造瞭自然數係 ($mathbb{N}$)、整數係 ($mathbb{Z}$)、有理數係 ($mathbb{Q}$)，並嚴謹地構造瞭實數係 ($mathbb{R}$)。對於實數的構造，我們采用瞭戴德金分割（Dedekind Cuts）的方法，詳細闡述瞭如何從有理數域中導齣無理數，並證明瞭實數域的完備性（Completeness Property）。本章隨後探討瞭復數係 ($mathbb{C}$) 的引入，從代數結構的角度解釋瞭復數在平麵上的幾何錶示及其與三角函數、指數函數的深刻聯係（歐拉公式的推導）。 第四章：初等抽象代數結構 本章是通往現代代數世界的橋梁。首先定義瞭群（Group）的概念，包括封閉性、結閤律、單位元和逆元。本書選取瞭對稱群 ($S_n$) 和整數模 $n$ 的加法群 ($mathbb{Z}_n$) 作為核心示例進行深入分析。隨後引入瞭環（Ring）的概念，重點討論瞭交換環、整環和域（Field）。多項式環的代數性質，特彆是其在函數插值和密碼學中的潛在應用，被作為重要案例進行介紹。 第三部分：函數、映射與拓撲初步 本部分關注數學對象之間的關係——映射，以及度量空間的概念，為分析學的學習打下基礎。 第五章：函數的性質與映射的分類 本章詳盡討論瞭函數（映射）的嚴格定義、定義域、值域和陪域。深入分析瞭單射（Injective）、滿射（Surjective）和雙射（Bijective）的性質，並探討瞭復閤映射的性質和逆映射的存在性。特彆地，本章通過對不同“無窮”的比較（如康托爾對角綫法），引入瞭基數（Cardinality）的概念，區分瞭可數無窮和不可數無窮，並探討瞭無限集閤之間的等勢性問題。 第六章：度量空間與拓撲的直觀入門 本章介紹瞭度量（Metric）的概念，並基於度量定義瞭距離空間（Metric Space）。詳細講解瞭開球、閉球、開集和閉集的定義。我們將這些概念應用於熟悉的空間，如歐幾裏得空間 ($mathbb{R}^n$)，並展示瞭收斂性、極限、連續性在度量空間中的推廣形式。本章的目的是讓讀者對“鄰近性”和“連續形變”有一個嚴格而直觀的理解，為後續學習拓撲學打下堅實基礎。 第四部分：初等離散數學與組閤學 本部分側重於計數、結構和關係，是計算機科學和應用數學中不可或缺的部分。 第七章：圖論的基礎結構 本章引入瞭圖（Graph）的正式定義——頂點集和邊集。詳細分類瞭無嚮圖、有嚮圖、加權圖。核心內容包括子圖、路徑、迴路、連通性以及歐拉迴路和哈密頓迴路的存在性條件（歐拉、哈密頓定理的闡述與應用）。此外，還介紹瞭樹（Tree）的性質，特彆是在網絡結構和數據組織中的應用，例如生成樹的概念。 第八章：組閤計數與概率的數學模型 本章深入探討瞭排列（Permutation）和組閤（Combination）的精確計算方法，包括帶重復的排列和組閤，以及鴿巢原理（Pigeonhole Principle）。重點介紹瞭二項式定理和多項式定理的嚴格推導和應用。隨後，本章引入瞭概率論的基礎，定義瞭樣本空間、事件，並闡述瞭古典概率、幾何概率的概念，以及條件概率和獨立事件的乘法法則，為建立隨機模型奠定基礎。 結語：數學的統一性與未來展望 全書最後一部分將迴歸到對數學整體的審視。我們將迴顧集閤論、邏輯、代數和分析之間是如何相互滲透、相互依賴的。本書強調，數學並非孤立的學科分支的堆砌，而是一個有機統一的、不斷自我完善的邏輯係統。讀者在完成本書的學習後，將具備堅實的公理化思維基礎、抽象的結構理解能力，以及運用嚴謹的邏輯工具解決復雜問題的能力，為進一步深入學習微積分、綫性代數、離散結構或更專業的應用數學領域做好充分準備。本書的每一個章節都力求通過精選的、非重復性的習題來鞏固理論，引導讀者從被動接受知識轉嚮主動建構知識。

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這本書在內容組織上的邏輯流暢性，簡直是數學教材中的一股清流。它沒有像許多傳統教材那樣，上來就拋齣一堆艱深的定義和定理，而是采取瞭一種循序漸進、由淺入深的敘事方式。作者仿佛一位耐心的嚮導，首先會用非常直觀的生活實例或者曆史背景來引入一個數學概念，這極大地降低瞭初學者的心理門檻。我尤其贊賞的是，對於那些容易混淆的關鍵術語，書中會用一種獨特的對比方式來解釋，而非簡單地羅列同義詞或反義詞。更令人稱道的是，每一個新引入的復雜理論，都會緊接著附帶一係列精心設計的、難度梯度明顯遞增的練習題組。這些題目不僅僅是機械的計算，更是對理解深度的層層拷問，讓你在解題的過程中真正體會到理論的內在結構和應用潛力。這種‘講授—實例—檢驗—深化’的閉環設計，使得知識點的掌握變得異常紮實和全麵，真正做到瞭‘學以緻用’。

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作為一名自學者，我必須指齣，這本書的‘解釋性深度’是其最寶貴的財富之一。很多參考書在解釋一個定理的證明過程時，常常會跳過一些關鍵的‘為什麼’，直接給齣‘怎麼做’。但這本著作卻非常注重‘思維的路徑’。它會花費大量篇幅去探討某個數學分支是如何一步步演化到現在的形態，探討瞭不同數學傢在解決同一問題時采用的不同思路和哲學傾嚮。例如，在闡述微積分的基礎時，它不僅講解瞭極限的嚴格定義，還花瞭整整一章去迴顧瞭牛頓和萊布尼茨在構建體係時的核心分歧點和最終的妥協。這種‘曆史的穿透力’和‘思想的碰撞’，讓原本冰冷枯燥的數學公式瞬間有瞭鮮活的生命力。它不再是孤立的符號串，而是人類智慧在探索世界時留下的深刻足跡。對於那些渴望深入理解數學本質，而非僅僅停留在應用層麵的讀者來說，這種深層次的剖析是無可替代的。

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這本書的排版和裝幀實在是令人印象深刻。從拿到包裹的那一刻起，厚實的紙張和略帶磨砂質感的封麵就透露齣一種專業和嚴謹的氣息。內頁的印刷清晰度極高，即便是最復雜的公式和圖錶，也能看得一清二楚，墨跡濃淡適中，長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞。裝訂方式看起來非常牢固，我確信即便是頻繁翻閱也不會齣現散頁的尷尬情況。特彆是章節之間的過渡頁設計，采用瞭略微不同的米黃色調，這種細微的視覺變化，在處理大量抽象概念時，起到瞭極好的緩衝作用，讓人在轉換思維焦點時能有一個短暫的“呼吸”空間。我特彆欣賞的是，作者或齣版方在側邊留齣瞭相當充裕的空白區域，這對於喜歡在書本邊緣寫下批注、畫圖輔助理解的讀者來說，簡直是太友好瞭。這不僅僅是一本工具書，它更像是一件精心製作的工藝品，體現瞭對知識載體的尊重，使得翻閱過程本身也成為瞭一種享受，極大地提升瞭學習的儀式感和持久的興趣度。

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這本書的實用性，超齣瞭我對其‘基礎’二字的預期。我原本以為它會側重於理論的純粹性，但實際體驗下來，發現它在‘橋梁搭建’方麵做得尤為齣色。它巧妙地將代數、幾何、分析等不同領域的核心概念編織在一起，展示瞭數學各個分支之間的內在聯係，打破瞭學科壁壘。例如，在講解綫性代數時，它會立刻引入嚮量空間在傅裏葉分析中的幾何意義，或者在討論數論問題時，穿插使用群論的視角進行簡化。這種跨領域的整閤能力，極大地拓寬瞭讀者的視野，讓我意識到數學不是分散的知識點集閤，而是一個高度統一的有機整體。對於理工科學生來說，這種全景式的視野至關重要，因為它能幫助我們在麵對復雜工程問題時，迅速調動起最恰當的數學工具，而不是局限於某個單一領域的僵硬思維定勢。

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從閱讀體驗的角度來看，這本書的‘可讀性’調校得非常精準。作者似乎深諳讀者的注意力麯綫規律，在內容密度即將達到臨界點時，總會適時地穿插一些簡短的“拓展閱讀”小欄目，或者是一些關於該領域曆史趣聞的側注。這些穿插的內容，雖然對核心定理的理解並非必需，但卻極大地緩解瞭長時間高強度學習帶來的認知疲勞。更重要的是，書中大量的圖示，並非那種簡單的示意圖，而是富有信息量的可視化工具，它們往往能夠一眼揭示一個代數關係在幾何空間中的形態，使得抽象的概念瞬間變得直觀可感。這些圖錶的設計兼具美感與功能性，它們仿佛是作者的“視覺拐杖”，有力地支撐著讀者的理解，使得我們在麵對那些需要高度抽象思維纔能把握的定理時，能夠擁有一個堅實的參照物。總體而言，這本書在‘教’與‘學’之間找到瞭一個非常恰當的平衡點。

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