Discrete Mathematics for Computer Scientists and Mathematicians pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Reston Pub Co

作者:Joe L. Mott

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1986-01

价格:USD 70.30

装帧:Hardcover

isbn号码:9780835913911

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 离散数学
• 计算机科学
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• 算法分析

《离散数学：计算科学与数学的基石》 书籍概述 《离散数学：计算科学与数学的基石》是一本全面而深入的教材，旨在为计算机科学和纯数学领域的学生提供坚实的理论基础和应用工具。本书不仅仅是枯燥的定理罗列，更侧重于展示离散结构在现代计算和数学研究中的核心作用。全书内容结构紧凑，逻辑严密，旨在培养读者严谨的逻辑思维能力和解决复杂问题的分析技巧。 核心内容深度解析 第一部分：逻辑与证明的基础 本部分奠定了整个离散数学学习的基石——形式逻辑。我们从命题逻辑入手，详细阐述了连接词、真值表、永真式和矛盾式的概念。重点在于如何将自然语言中的陈述转化为精确的数学符号表示，并运用逻辑等价性进行简化和推理。 随后，深入探讨一阶谓词逻辑（First-Order Logic）。这部分内容对于理解数据库查询语言和形式化验证至关重要。我们详细介绍了量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的含义、约束域的定义，并讲解了如何构造有效的逻辑论证。 在逻辑的实践应用方面，本书花费大量篇幅讲解数学证明的艺术。我们系统地介绍了主要的证明技术： 1. 直接证明 (Direct Proof)：清晰地从已知公理和定义推导出结论。 2. 反证法 (Proof by Contradiction)：通过假设结论不成立并导出矛盾来确立原结论的真实性，这在证明素数无穷性等经典命题时尤为重要。 3. 数学归纳法 (Mathematical Induction)：这是计算机科学中证明程序正确性和算法效率分析的基石。本书不仅涵盖了基础归纳法，还深入讲解了强归纳法 (Strong Induction) 和良基性原理 (Well-Ordering Principle) 在构造性证明中的应用。 4. 构造性证明 (Constructive Proof)：展示如何直接构造出满足条件的实例。 第二部分：集合论、函数与关系 集合论是数学语言的通用词汇。本书从集合的基本操作（并、交、差、补集）开始，并引入了文氏图作为直观辅助工具。我们详细讨论了集合的基数，区分了有限集和无限集，并简要介绍了可数集和不可数集的概念（如自然数集与实数集的基数差异）。 函数作为一种特殊的、具有单射性质的关系，其重要性不言而喻。我们分类讨论了单射 (Injective)、满射 (Surjective) 和双射 (Bijective) 函数，并探讨了复合函数和反函数的性质。这为抽象代数和算法复杂度分析中的一一对应关系打下基础。 关系是描述元素间连接的核心工具。本书着重分析了具有特殊性质的关系： 等价关系 (Equivalence Relations)：定义了等价类和划分的概念，这在对对象进行分类（如整数模 $n$ 的同余类）时是不可或缺的工具。 偏序关系 (Partial Orders)：介绍了哈斯图 (Hasse Diagrams) 来可视化具有偏序结构的集合，并探讨了极大元、极小元、最大元和最小元的概念，这在调度问题和依赖性分析中非常关键。 第三部分：计数与概率 计数原理是组合数学的核心，也是分析算法性能、评估事件发生可能性的关键。本部分系统地介绍了计数的三大支柱： 1. 加法原理与乘法原理：作为最基础的计数工具，通过实例展示其应用边界。 2. 排列与组合：详细区分了有序选择（排列）和无序选择（组合），并引入了带重复的排列组合和带限制条件的组合（如鸽巢原理的直接应用）。 3. 二项式定理 (Binomial Theorem)：不仅展示了系数的计算，还利用二项式系数的恒等式进行精巧的证明。 在此基础上，我们引入了离散概率论的基础： 样本空间、事件和概率的定义。 条件概率和独立事件：重点讲解了贝叶斯定理 (Bayes' Theorem) 在逆向概率推断中的强大威力，例如在医疗诊断或垃圾邮件过滤中的应用。 随机变量：定义了离散随机变量及其概率质量函数（PMF），并计算期望值和方差。 第四部分：图论基础 图论是连接离散数学与计算机科学应用（网络、数据结构、算法）的桥梁。本部分提供了详尽的图论入门： 图的定义与基本术语：包括顶点、边、度数、邻接矩阵和邻接表。我们区分了有向图与无向图、简单图与多重图。 特殊类型的图：如完全图 ($K_n$)、二分图 ($K_{m,n}$)、正则图和完全二分图。 图的连通性：讨论了路径、回路、连通分量，并引入了欧拉路径和哈密顿路径的概念及其存在性判定定理。 图的着色：图着色问题及其色数，这是资源分配和调度问题的经典模型。我们阐述了四色定理的历史背景和意义。 树 (Trees)：作为无环连通图的特殊结构，树在数据结构（如二叉树）和网络拓扑中占据核心地位。本书详细介绍了生成树的概念，并阐述了普里姆算法 (Prim's Algorithm) 和克鲁斯卡尔算法 (Kruskal's Algorithm) 来寻找最小生成树 (MST)，强调了贪心算法的设计思想。 第五部分：代数结构与关系 本部分将抽象化程度提升到新的高度，为学习抽象代数和密码学打下基础。 代数系统：引入了群 (Groups)、半群 (Semigroups) 和独异点 (Monoids) 的定义，强调了封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。 模运算与同余：详细解释了模 $n$ 算术，这在RSA等公钥加密算法中扮演着核心角色。我们讨论了线性同余方程的解法。 布尔代数 (Boolean Algebra)：将离散结构与数字逻辑电路紧密联系起来。我们探讨了布尔函数的表示（真值表、析取范式、合取范式），并展示了如何使用卡诺图 (Karnaugh Maps) 来化简逻辑表达式，这直接关系到硬件实现的效率。 适用对象 本书适合于所有主修计算机科学、软件工程、信息技术、数学以及应用数学专业的本科生。它也为希望巩固离散数学基础的研究生提供了一个极佳的参考资源。 学习目标 完成本书的学习后，读者将能够： 1. 熟练运用形式逻辑来构建和验证数学论证。 2. 掌握集合、关系和函数等核心抽象概念，并能识别它们的代数性质。 3. 精确地使用组合方法和概率原理解决计数和不确定性问题。 4. 理解图论的基本概念，并能运用标准算法（如MST算法）解决网络和依赖性问题。 5. 理解代数结构（如群）在现代密码学和理论计算机科学中的基础地位。 本书的特点在于理论的深度和应用的广度并重，旨在将离散数学从一门独立课程，转化为驱动计算思维的强大引擎。

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这本书的叙事节奏和逻辑构建体现出一种非常成熟的学术品味。它不是简单地堆砌知识点，而是通过构建一系列相互关联的问题链来引导读者前进。我注意到，作者在引入任何一个新概念时，都会先从一个“为什么我们需要这个工具”的实际场景切入，然后再展开严谨的定义和证明。例如，在讲解关系和偏序集时，作者巧妙地引入了任务依赖关系和依赖图的概念，这使得偏序集的抽象概念立刻具象化了。这种“问题导向”的学习路径极大地提升了学习的乐趣和效率。此外，本书对证明技巧的传授也值得称赞，它不仅展示了“如何证明”，更展示了“为什么选择这种证明方法”，特别是对反证法和构造性证明的对比分析，极大地提升了我对数学推理的敏感度。总而言之，这是一本能够激发思考、培养数学直觉的优秀教材，它成功地平衡了广度和深度。

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这本书最让我感到震撼的地方，在于它对离散结构如何在算法效率分析中发挥决定性作用的阐述。我是一名系统架构师，优化程序运行时间和内存占用是我的日常工作。这本书让我理解了为什么某些数据结构（如哈希表、B树）在理论上能实现接近常数时间的操作。关于排列组合和鸽巢原理在最坏情况分析中的应用讲解得极其透彻，我甚至可以用书中的思想来快速评估一些新提出的优化方案的理论瓶颈。书中对布尔代数和逻辑电路的连接也处理得十分自然，它没有把这部分当作一个孤立的章节，而是将其融入到可满足性问题（SAT）的讨论中，这让我立刻联想到了硬件验证和形式化方法。说实话，许多教科书在处理这些应用时显得牵强附会，但这里的每一个例子都像是从实际工程问题中提炼出来的，紧密贴合了计算机科学的核心挑战。

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我必须承认，我原本对离散数学抱有一种敬而远之的态度，总觉得那是一堆晦涩难懂的符号堆砌。然而，翻开这本书后，我的看法彻底转变了。作者在叙事上的功力令人称道，他们仿佛是一位经验丰富的导师，总能在你即将迷失在复杂证明时，适时地引入一个直观的类比。特别是关于递归关系和生成函数的那几章，简直是精妙绝伦。以往我总是死记硬背递推公式的解法，但这本书通过对“计数”过程的深入剖析，让我理解了为什么这些公式会自然而然地产生。这种由内而外的理解，远比死记硬背有效得多。此外，书中对概率论在计算机科学中的应用部分，如随机算法的分析，处理得非常得当，没有陷入过度深奥的测度论细节，而是聚焦于对期望值和概率界限的实际计算和解释。这本书的排版和图示也极为考究，使得长时间阅读时眼睛不容易疲劳，也帮助我在视觉上更好地构建数学模型。

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从一个更侧重纯数学的读者的角度来看，这本书在代数结构和数论方面的深度给予了我很大的惊喜。很多面向CS读者的教材往往会简化这些部分，但我在这本书中找到了足够的严谨性来满足我的学术需求。例如，对于有限域（Galois Field）的介绍，其深度足以支撑我在学习现代编码理论时使用。作者并没有止步于介绍其基本性质，而是深入探讨了这些结构在有限域上的多项式表示，这对于理解误差修正码的工作原理至关重要。更难能可贵的是，它在引入新概念时，总会回顾并强化读者对先前知识的掌握，形成一个稳固的知识体系。我发现自己不再是孤立地学习每一个章节，而是能看到组合学如何通过代数工具得到解决，这对于培养跨学科的数学思维至关重要。对于那些希望在理论深度上有所追求的读者，这本书提供的理论框架是相当扎实的，远超一般入门读物的水平。

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这本《离散数学在计算机科学与数学中的应用》简直是为我这种既想扎实掌握理论基础，又渴望在实际编程中应用这些知识的人量身定做的教材。我尤其欣赏作者在讲解图论和组合数学时所展现出的那种严谨而不失生动的笔触。比如，在处理连通性和最短路径算法时，作者不仅仅是罗列公式和定理，而是巧妙地穿插了许多与网络拓扑设计、数据结构优化相关的实际案例。这使得原本枯燥的数学概念瞬间变得有血有肉，我能够清晰地看到这些抽象结构如何在真实世界的计算机系统中发挥作用。书中对于集合论和逻辑推理的阐述也极其到位，它为后续学习算法复杂度和形式化验证打下了坚实的基石。当我第一次接触到模运算和群论在密码学中的应用时，我深刻体会到离散数学远非仅仅是“数数和画图”，它更是一套处理信息和结构的强大思维工具。对于初学者来说，书中的清晰定义和逐步深入的例题设计，极大地降低了入门的门槛，真正做到了连接理论与实践的桥梁作用。

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