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出版者:Addison-Wesley

作者:John B. Fraleigh

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1980

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780201030433

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• 微积分
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现代数学分析导论：从基础到应用 作者： [此处留空，以模拟真实书籍的排版习惯] 出版社： [此处留空，以模拟真实书籍的排版习惯] ISBN： [此处留空，以模拟真实书籍的排版习惯] 页数： 约850页 --- 内容概述：构建严谨的数学思维框架 本书旨在为读者，特别是理工科学生、数学专业初学者以及希望重新系统梳理现代数学基础的专业人士，提供一套全面、严谨且富有洞察力的数学分析导论。我们避开了传统微积分教科书中过于侧重计算技巧的倾向，转而将重点放在分析学背后的核心概念、逻辑结构和严格证明之上。本书的核心目标是培养读者建立现代数学的精确思维模式，理解极限、连续性、收敛性等基本概念的深刻内涵，并为进一步学习泛函分析、拓扑学乃至更高级的理论物理打下坚实的理论基础。 全书内容结构清晰，从实数系统的基础构建出发，逐步过渡到微分学和积分学的抽象化定义，并在全书后半部分深入探讨了多变量分析的几何意义和应用。 --- 第一部分：实数系统与拓扑基础（Foundations of Real Analysis） 本部分是全书的基石，旨在提供一个无懈可击的逻辑起点。我们不将实数视为已知概念，而是从皮亚诺公理（或更现代的集合论基础）出发，严格构建整个实数系统 $mathbb{R}$。 第一章：集合论与逻辑基础的回顾 本章快速回顾了集合的定义、函数、映射的性质，以及数学证明的基本技巧（如反证法、数学归纳法）。重点在于定义序关系和上确界原理（Axiom of Completeness），强调完备性是后续分析学一切论证的出发点。 第二章：序列与收敛性 深入探讨有界序列、单调序列的性质。详细介绍柯西序列（Cauchy Sequences）的概念，并证明实数集是完备的，即所有柯西序列都在 $mathbb{R}$ 内收敛。引入子序列的概念，并证明每个有界序列都包含一个收敛子序列（Bolzano-Weierstrass 定理）。 第三章：拓扑初步与连续性 在 $mathbb{R}$ 上引入开集、闭集、邻域的精确定义，构建一维欧几里得空间的拓扑结构。在此基础上，对函数概念进行严格的定义： 1. $epsilon-delta$ 语言的精炼：完全脱离“无限小”的模糊表述，使用极限的 $epsilon-delta$ 定义来精确刻画函数的极限。 2. 连续性：基于邻域和开集的定义，定义函数的连续性，并探讨连续函数在紧集上的性质（如最大值定理、介值定理的严格证明）。 3. 一致连续性：区分点态连续与一致连续性，解释为什么一致连续性在分析学中具有更强的实用价值。 --- 第二部分：微分学的严格构建（The Rigor of Differentiation） 本部分将微分的概念从几何直观提升到严格的分析框架内。 第四章：导数的定义与基本性质 严格定义导数，并探讨导数的存在性与连续性的关系（可导蕴含连续，反之不然）。详细分析导数的四则运算规则，并对微分进行线性近似的几何解释。 第五章：中值定理与导数的应用 本章的核心是证明微积分的“基石”——均值定理（Mean Value Theorems）： 1. Rolle 定理：作为基础。 2. 拉格朗日中值定理（Lagrange's MVT）：导数为零的点与函数斜率的关系。 3. 柯西中值定理（Cauchy's MVT）：为洛必达法则的严谨证明提供前提。 随后，详细讨论导数在函数单调性、凹凸性分析中的应用，并严格推导洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的适用条件和证明过程，强调其依赖于柯西中值定理。 第六章：泰勒定理与幂级数 在导数的基础上，深入探究函数的局部逼近： 1. 泰勒定理（Taylor's Theorem）：从一阶（线性近似）逐步推广到高阶，精确讨论拉格朗日余项和柯西余项的形式与性质，衡量近似的误差。 2. 幂级数（Power Series）：定义幂级数，确定其收敛半径和收敛区间。深入探讨幂级数的逐项求导和逐项积分的合法性，并分析傅里叶级数与幂级数的本质区别与联系。 --- 第三部分：积分学的理论框架（The Theory of Integration） 本部分系统地介绍黎曼积分的严格定义，并展望更广义的积分理论。 第七章：黎曼可积性 彻底抛弃面积的直觉概念，转而使用上下达布（Darboux）和（Sums）来定义黎曼可积性： 1. 上和与下和：定义上/下积分。 2. 可积性的判定条件：证明一个函数有界，且其不连续点的集合测度为零，是黎曼可积的充要条件。 3. 连续函数与单调函数的积分性质。 第八章：微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus） 本章是全书的高潮之一，从两个方面严格证明微积分基本定理： 1. 牛顿-莱布尼茨公式：证明定积分可以通过原函数计算。 2. 微积分第一基本定理：证明一个可积函数的积分上限函数是连续的，并探讨其可导性。 详细分析黎曼积分的性质，如区间可加性、积分的比较性质等。 第九章：广义积分与序列收敛性 处理积分限为无穷大或被积函数存在不连续点的情况： 1. 第一类和第二类广义积分：定义收敛和发散的判别准则（比较判别法、极限比较判别法）。 2. 积分的均匀收敛性：引入魏尔斯特拉斯 $M$ 检验法，讨论在广义积分背景下，积分号与极限号的交换顺序是否合法。 --- 第四部分：多变量分析的几何视野（Multivariable Analysis） 本部分将一元分析的成果扩展到高维空间，侧重于几何直观与向量分析的结合。 第十章： $mathbb{R}^n$ 空间与偏导数 将第一部分的概念推广到 $n$ 维欧几里得空间：定义 $mathbb{R}^n$ 上的范数、距离、开闭球的概念。 1. 偏导数与方向导数：精确定义。 2. 可微性（Differentiability）：强调可微性比偏导数的存在性要求更高，并给出可微性的充分条件。 3. 链式法则的推广：系统阐述高维链式法则，并以雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的形式总结。 第十一章：多元函数的极值与隐函数定理 应用偏导数寻找多元函数的极值点，详细分析二阶偏导数判别法（Hessian 矩阵）在局部极值判定中的作用。 深入探讨隐函数定理（Implicit Function Theorem）和反函数定理（Inverse Function Theorem）的几何意义和严格证明，这对于理解微分流形的概念至关重要。 第十二章：多重积分 定义二重积分和三重积分，从最基本的矩形区域开始，逐步扩展到一般区域上的积分。 1. Fubini 定理：阐述在什么条件下可以交换积分次序。 2. 变量代换：详细介绍使用极坐标、柱坐标和球坐标等变量代换，并通过雅可比行列式（Jacobian Determinant）来解释面积/体积元素的缩放因子，这是实际应用中最强大的工具之一。 --- 结语：超越分析的视野 本书的叙述严格遵循从具体到抽象、从直觉到严谨的路径。读者在完成本书的学习后，将不仅掌握微积分的计算工具，更重要的是，能够理解现代数学分析的内在逻辑和严密性。全书旨在为读者在未来学习傅里叶分析、复变函数论、拓扑学以及微分几何等领域时，提供一个坚实且富有洞察力的分析基础。 目标读者： 物理、工程、计算机科学、经济学专业的高年级本科生及研究生，以及对数学基础有深入探究需求的自学者。

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我花了相当长的时间来对照不同版本的微积分书籍，最终选择保留这本，主要因为它在对“应用背景”的介绍上做得非常到位。很多理论性的阐述后，作者都会紧跟着一小节关于该理论在工程、经济学或生物学中的实际应用案例。这极大地激发了我继续深入学习的动力，因为我不再只是为了应付考试而学习那些公式，而是真正明白了这些工具可以用来解决什么样的问题。比如，关于优化理论的讲解，它不仅展示了如何求极值，还结合了著名的“经济学中的成本最小化”问题。这种接地气的处理方式，让抽象的数学概念立刻获得了鲜活的生命力。它不是一本高高在上的学术著作，而是一本实实在在、愿意与读者共同成长的学习伙伴，它的内容组织方式明显是站在一个渴望知识和应用的学习者角度精心设计的。

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我对这本书在处理“严谨性”与“可理解性”之间的平衡表示由衷的敬佩。很多高等数学教材，为了追求极致的数学证明的严密性，常常会使用晦涩难懂的语言和符号系统，让非数学专业的读者望而却步。然而，这本《Calculus with Analytical Geometry》却成功地做到了在保持数学逻辑链条完整性的前提下，用相对直观的语言来解释那些深奥的极限、导数和积分的本质。它似乎在对读者说：“你不需要成为一个纯粹的数学家，但你必须理解这些工具背后的哲学意义。” 例如，在阐述黎曼和的概念时，作者花费了大量的篇幅来描绘无限小矩形累加的过程，这种视觉化的描述，比单纯的$epsilon-delta$语言更容易让人内心接受。这种对教学艺术的精妙把握，使得即便是面对高等微积分中的复杂定理，读者也能保持一种“我能跟上”的信心。

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这本书的封面设计真是让人眼前一亮，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色字体，透露出一种严谨而又充满智慧的气息。我拿到手的时候，就忍不住翻阅起来，里面的插图和图表制作得非常精良，线条清晰，标注明确，即便是对于初学者来说，也能很快抓住重点。特别是那些几何图形的展示，仿佛能让抽象的代数概念在脑海中具象化。作者在讲解微积分的基本概念时，没有急于抛出复杂的公式，而是非常耐心地从直观的例子入手，比如速率、曲线下面积这些日常生活中都能感知到的现象，这极大地降低了学习曲线的陡峭感。我特别欣赏它在引入解析几何部分时的处理方式，它并没有将代数和几何割裂开来，而是巧妙地将两者融合，展示出函数关系的内在美。阅读这本书的过程，与其说是学习一门学科，不如说是一次探索数学世界奥秘的旅程，它鼓励读者去思考“为什么”而不是仅仅停留在“是什么”。那种循序渐进的引导方式，让人感觉每解决一个难题，都能收获巨大的成就感，仿佛自己真的掌握了驾驭无限和变化的能力。

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这本书的排版和字体选择简直是为长时间阅读量身定制的，长时间盯着密集的数学符号看，眼睛也不会感到过分疲劳，这对于一个需要啃完厚厚一本微积分教材的学生来说，简直是福音。我记得我以前读过一些其他教材，内容堆砌得非常拥挤，关键的定理和推导过程往往被淹没在一大片文字中，寻找起来十分费劲。但此书的处理方式就高明得多，它善于运用留白和清晰的层次结构来组织信息。重要的定义和定理都会被突出显示，而且章节之间的过渡自然流畅，几乎感觉不到阅读的阻碍。更值得称赞的是，书后附带的大量习题，它们的难度设置非常合理，从基础的计算巩固到需要综合运用多个知识点的开放性问题都有覆盖，保证了理论学习与实践应用的有效衔接。我发现，很多题目后面都有简短的解题思路提示，这在卡壳的时候能提供及时的帮助，而不是直接给出答案，保持了思考的完整性。

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这本书的独特之处在于，它不仅仅是一本纯粹的计算手册，更像是一本数学思想的引导书。解析几何部分的引入尤为关键，它拓宽了传统微积分学习的视野。我们通常学习微积分时，会先集中火力攻克单变量函数，而这本书很早就开始展示如何用微分的概念去分析圆锥曲线的性质，或者如何通过积分来计算旋转体的体积。这种跨学科的视角，让我深刻理解到数学工具的普适性。它教会我如何将现实世界中的空间问题转化为代数方程，再利用微积分的强大能力去求解和优化。我记得其中一个关于万有引力或轨道计算的例子，用到了偏导数的概念，展示了微积分在物理学中的核心地位。这本书的价值远超教材本身，它培养的是一种将复杂问题拆解并用数学语言重构的能力。

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