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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Paul Vitanyi

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-12

价格:USD 40.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471956785

丛书系列:

图书标签:

• 组合数学
• 离散数学
• 计数原理
• 排列组合
• 图论
• 优化
• 算法
• 数学建模
• 高等数学
• Wiley系列

离散数学与优化：构建现代计算科学的基石 本书深入探讨了离散数学与优化领域的基石理论、核心方法与实际应用。在信息技术、运筹学、理论物理乃至人工智能等诸多前沿学科中，对有限、可数结构进行建模和分析的能力是解决复杂问题的关键。本书旨在为读者提供一个全面且深入的知识体系，使他们能够熟练运用这些强大的数学工具。 全书的结构设计兼顾了理论的严谨性与应用的广泛性，内容覆盖了从基础的集合论与逻辑推理，到高级的图论、组合优化与算法设计等多个关键分支。 第一部分：基础与结构——离散世界的语言 本部分奠定了理解后续所有内容的数学基础，重点在于精确地描述和分析离散对象。 第一章：逻辑、集合与证明技术 本章从数理逻辑的基本概念入手，包括命题演算与谓词演算。我们详细阐述了逻辑等价性、有效性与可满足性。随后，内容扩展到集合论，包括集合的运算、笛卡尔积以及幂集。更重要的是，本章致力于系统性地介绍各种证明方法：直接证明、反证法、数学归纳法（作为离散数学中最核心的证明工具）、构造性证明以及鸽巢原理（Pigeonhole Principle）在简单计数问题中的初次应用。理解如何构建一个严谨的数学论证，是掌握后续所有章节的先决条件。 第二章：初等组合学与计数原理 本章是本书的早期核心，聚焦于如何精确地计算特定结构的出现次数。我们系统地介绍了排列（Permutations）与组合（Combinations），区分有重复与无重复的情况。通过二项式定理（Binomial Theorem）的深入探讨，我们将组合系数与多项式展开联系起来。此外，容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）被详细剖析，展示了如何处理集合重叠导致的计数困难。生成函数（Generating Functions）作为一种强大的代数工具，被引入用于解决复杂的递归关系和计数问题，为后续的复杂序列分析打下基础。 第三章：关系与函数 本章考察了对象间的结构联系。我们首先界定了关系的基本属性（自反性、对称性、反对称性、传递性）。随后，重点分析了等价关系及其划分，以及偏序关系（Partial Orders）与哈斯图（Hasse Diagrams）的应用，这在结构分类中至关重要。关于函数的讨论则着重于单射、满射和双射的性质，以及逆函数的构造，这些概念是理解代数结构和信息编码的基础。 第二部分：图论——连接性与网络分析 图论是离散数学中最具视觉冲击力和应用价值的分支之一。本部分将图论视为一种描述网络、关系和流程的通用语言。 第四章：图的基本概念与表示 本章定义了图（Graph）的正式结构，包括有向图与无向图、完全图、二分图等基本类型。讨论了图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）和关联矩阵（Incidence Matrix）等多种表示方法，并分析了每种表示方式在算法执行效率上的优劣。关于图的度数、路径、回路以及连通性的概念被详尽阐述。 第五章：图的遍历与结构分析 本章深入探讨了图的遍历算法，如深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），及其在连通性判断、拓扑排序中的应用。欧拉路径与哈密顿回路的存在性问题被作为经典难题进行分析。此外，连通分量、割点（Articulation Points）和桥（Bridges）的概念被引入，它们对于网络鲁棒性的评估至关重要。 第六章：树与应用 树（Trees）作为无环连通图的特殊结构，在数据结构和层次化表示中占据核心地位。本章详细研究了树的性质，包括其独特的计数公式（Cayley's Formula）。随后，我们转向应用：最小生成树（Minimum Spanning Trees, MST）的构造算法，特别是普里姆（Prim's）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal's）算法的原理与复杂度分析，这是网络设计和成本优化的关键。 第七章：图的着色与平面图 图着色问题，尤其是四色定理的背景，被用于模型化资源分配和冲突避免。本章定义了色数（Chromatic Number）的概念，并探讨了如何计算简单图的色数。平面图（Planar Graphs）的性质，如欧拉公式（Euler's Formula $v - e + f = 2$），被用于判断图是否可以无交叉地绘制在平面上。 第三部分：代数结构与算法分析 本部分将离散数学与计算机科学的算法分析紧密结合，探究系统性结构和效率评估。 第八章：代数结构基础 本章概述了代数结构，包括群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）的基本公理和性质。虽然这些内容可能更偏向抽象代数，但它们为理解编码理论、密码学和代数编码（如有限域上的运算）提供了必要的背景知识。我们关注于有限群的性质，如子群和陪集。 第九章：递归关系与求解 递归关系是描述序列和算法复杂度的核心工具。本章从一阶线性齐次递归关系开始，逐步过渡到更高阶和非齐次关系。我们重点展示了如何利用特征方程法和生成函数法系统地求解这些关系式，从而精确预测算法在规模增大时的性能表现。 第十章：算法复杂度与渐近分析 本章是连接理论与实践的桥梁。我们引入了描述函数增长率的数学工具：大O表示法 ($O$)、大Omega表示法 ($Omega$) 和大Theta表示法 ($Theta$)。通过这些工具，读者学会如何严谨地分析和比较不同算法（如排序算法、图搜索算法）在最坏、最好和平均情况下的时间复杂度和空间复杂度。本章强调了为什么在处理大规模问题时，渐近分析的意义远超具体的机器时间。 第四部分：优化导论——从离散到连续的桥梁 本部分开始引入优化理论的离散分支，为读者进入更专业的运筹学领域做好准备。 第十一章：图论中的最短路径与网络流 本章聚焦于网络中的“效率”问题。最短路径算法，包括解决非负权图的迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和处理负权边的贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法，被详尽讲解。随后，我们转向网络流问题。最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）是本章的核心，它揭示了网络容量的极限与瓶颈之间的深刻对偶关系。福特-富尔克森（Ford-Fulkerson）方法及其更高效的实现如 Edmonds-Karp 算法被用于解决实际的分配和流量调度问题。 第十二章：线性规划基础与整数规划 本章为优化理论打下基础。我们定义了线性规划（Linear Programming, LP）问题，即在凸多面体上寻找最优目标函数值。重点讲解了单纯形法（Simplex Method）的基本思想和迭代过程，这是求解大规模线性优化问题的经典方法。最后，引入了整数规划（Integer Programming, IP）的概念，认识到在许多实际场景中，变量必须取整数值所带来的挑战，并探讨了割平面法（Cutting Plane）和分支定界法（Branch and Bound）的初步思路。 全书通过大量的例题、细致的证明和对实际问题的建模案例，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“如何做”，从而为未来在理论研究或工程实践中处理复杂的离散结构和优化任务做好充分准备。

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我不得不承认，这本书在某些非常前沿和晦涩的计数领域，确实提供了其他主流教材无法企及的深度。我记得在研究随机图模型中某个特定子图的期望数量时，偶然翻到了书中关于“标记/未标记对象计数”的一个小节，那里的论述方式提供了一个全新的视角，让我茅塞顿开，解决了困扰我许久的一个技术难题。这种“宝藏”式的知识点往往隐藏在厚厚的理论推导之间，需要读者具备极大的耐心和筛选能力才能发掘出来。这本书不是一本可以轻松阅读的书，它要求读者带着问题去“啃”，去挑战作者设置的理论高墙。它更像是一部工具书或“武功秘籍”，适合那些已经熟练掌握基础招式，希望探究更高深内功心法的进阶武者。对于我个人而言，虽然过程艰辛，但偶尔闪现的真知灼见，确实证明了这本书作为一本深度参考资料的价值所在。

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我花了一周时间，试图在算法设计课的作业中应用这本书中的某个章节提到的排列组合模型，结果发现这个过程异常痛苦。这本书的叙述方式极其精炼，每一个句子似乎都浓缩了十个数学概念。举个例子，在讲解莫特金数（Motzkin numbers）和卡特兰数（Catalan numbers）的关系时，作者直接抛出了一个极其复杂的递推关系和母函数表达式，中间的推导过程几乎完全省略了，假设读者已经能自行补全中间大量的代数操作和组合论证。这对于我这种习惯了逐步分解、详细解释的读者来说，简直是一种折磨。我不得不频繁地在其他网站上查找更基础的讲解，然后反过来印证这本书中的结论是否正确。虽然这本书的结论本身无可挑剔，精确到了每一个细节，但它更像是一个“答案手册”，而不是一本“教学指南”。如果你只是想知道某个计数问题的正确公式，翻到对应章节或许能找到，但如果你想知道这个公式是如何得来的，这本书会让你感到极度的不满足和挫败感。

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这本书的封面设计得相当朴素，可以说是典型的学术著作风格，没有任何花哨的装饰，纯粹的文字和标题信息占据了主体。拿到手里，分量感十足，纸张的质量也透着一股“耐用”的味道，适合经常翻阅和做笔记的读者。我本来是想找一本能系统梳理离散数学基础知识的入门教材，但翻开目录后，立刻意识到这本书的定位可能比我想象的要深入得多。它并没有从最基础的集合论或者逻辑符号讲起，而是直接切入了计数原理的复杂分支。对于一个初学者来说，前几章的抽象程度会让人望而却步，需要花费大量时间去消化那些高度形式化的定义和定理。我个人花了整整一个下午，才勉强理解了第一章中关于生成函数的某种高级应用。这本书的优点在于其内容的严谨性和覆盖面的广度，但缺点也很明显：对于非数学专业，或者只是想快速了解计数学在算法设计中应用的读者，这本书的学习曲线过于陡峭，几乎没有“喘息”的机会。感觉作者写这本书的目的，更像是为已经具备一定数学背景的研究生或博士生准备的参考手册，而不是给本科生上的第一堂课。

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这本书的内容组织结构体现了一种非常纯粹的数学家思维，即从最核心的理论出发，然后向外辐射所有可能的分支和推广。它不太关心“实际应用”或“直观理解”，而是致力于构建一个逻辑自洽的、无懈可击的理论体系。例如，在处理容斥原理的推广形式时，作者几乎是直接跳到了代数结构上的证明，而不是通过更具象的集合交并问题来引导读者。这使得这本书在理论深度上无与伦比，但对于希望将计数知识应用到实际的概率建模、数据结构优化或者信息论中的读者来说，这本书的“应用导向”章节显得极其稀疏和简略。它更像是一份关于“如何数数”的终极理论百科全书，而不是一本指导你“用计数解决问题”的工具书。这种取向决定了它不太适合被当作主流的计算机科学或应用数学课程的教材。

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从排版和印刷质量来看，这本书确实体现了Wiley一贯的学术水准，字体清晰，公式对齐精准，这在处理复杂的数学符号时至关重要。然而，我必须指出，书中示例和习题的难度梯度设置得非常不平衡。前几个章节的基础练习题，勉强还能让人感受到一丝亲切，但一旦进入到涉及Polya计数定理或更高级的图论计数问题时，习题的复杂度瞬间飙升到了竞赛级别，甚至超越了我上过的“组合数学专题讨论班”的难度。我尝试做了几道章节末尾的难题，发现很多题目需要结合好几个不同章节的知识点进行融合创新才能解决，这对于知识点尚未完全融会贯通的学习者来说，简直是“劝退”级别。这本书更像是为那些已经能够自如运用各种计数工具，并希望挑战极限的“硬核”玩家准备的。对于需要通过大量练习来巩固概念的普通学习者，这本书提供的支持严重不足。

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