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出版者:

作者:Enochs, Edgar E./ Oyonarte, Luis

出品人:

页数:113

译者:

出版时间:

价格:85

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isbn号码:9781590334515

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• 代数拓扑
• 同调代数
• 覆盖理论
• 包络理论
• Cotorsion理论
• 范畴论
• 数学
• 抽象代数
• 代数几何
• 函子论

探索代数拓扑与高阶范畴的深度交织 一部关于现代拓扑学与同调代数前沿概念的权威著作 本书旨在为代数拓扑学、范畴论以及更广泛的代数几何领域的研究者和高级学生提供一个全面而深刻的视角，专注于高阶同调理论、稳定范畴以及导出范畴的精细结构。它避开了对基础概念的冗长回顾，而是直接深入到那些定义了当代数学研究方向的核心工具和复杂结构之中。 本书的核心目标是系统地构建并分析导出范畴（Derived Categories）的完备理论框架，特别是如何利用这些范畴来研究非交换几何中的奇异性与局部化问题。我们将从平坦对象（Flat Objects）和内射对象（Injective Objects）在导出范畴中的角色开始，强调它们如何通过投影分解（Projective Resolutions）与内射分解（Injective Resolutions）来统一处理局部化。 第一部分：导出范畴的建立与几何化 本书的第一部分致力于严谨地建立导出范畴 $D(mathcal{A})$ 的构造，其中 $mathcal{A}$ 是一个阿贝尔范畴。我们不将重点放在传统的三角范畴定义上，而是直接探讨局部化函子（Localization Functors）——特别是与米田构造（Verdier Localization）相关的那些——如何在准同构（Quasi-isomorphisms）的意义下产生导出范畴。 第1章：三角结构的内在逻辑 本章详述了三角范畴（Triangulated Categories）的公理化结构，并着重于移位子（Shift Operator） $Sigma$ 和正合序列（Distinguished Triples）在建立同调理论中的关键作用。我们详细分析了正合子（Distinguished Triples）的等价刻画，并引入了流量链复形（Flowing Chain Complexes）的概念，用以在更一般的框架下理解三角结构。 第2章：米田局部化与导出范畴的完备性 这是构建导出范畴的技术核心。我们深入探讨了米田结构集 $mathcal{W}$ 的性质，该集合由所有拟同构（Quasi-isomorphisms）组成。重点分析了米田局部化过程的唯一定理（Uniqueness Theorem），并展示了如何利用相合函子（Adjoint Functors）来控制导出范畴的构造。本章还引入了导出函子（Derived Functors） $mathbb{R}F$ 和 $mathbb{L}G$ 的存在性证明，这些证明依赖于在阿贝尔范畴中选取足够多的内射或投影对象。 第3章：局部化与重构：Grothendieck拓扑学的视角 我们将导出范畴的构造置于更广阔的Grothendieck拓扑（Grothendieck Topologies）背景下。本章探讨了导出范畴上的局部化理论，特别关注局部化子范畴（Localizing Subcategories）和相干态射（Coherent Morphisms）的概念。通过类比于层论中的截面，我们引入了导出截面函子（Derived Section Functors），并讨论了如何通过这些函子从导出范畴中“恢复”原始阿贝尔范畴的结构信息。 第二部分：导出范畴上的代数结构 第二部分将焦点从范畴本身的构造转移到如何在导出范畴内操作和定义代数结构，这直接导向导出代数（Derived Algebra）和导出几何（Derived Geometry）的现代方法。 第4章：导出张量积与导出Hom 标准的张量积 $otimes$ 和 $mathrm{Hom}$ 函子在导出范畴中不再是精确的。本章详细分析了它们的导出版本：导出张量积 $overset{mathbb{L}}{otimes}$ 和 导出 $mathrm{Hom}$ 函子 $mathbb{R}mathrm{Hom}$。我们严格证明了 $mathbb{R}mathrm{Hom}(A, B)$ 是一个在导出范畴内定义的对象，并展示了其与链复形的 $mathrm{Hom}$ 之间的关系。关键内容包括全交换性（Full Homotopy Equivalence）的讨论，以及在特定情况下（如有限生成投射模块的范畴上）导出张量积的结合性。 第5章：导出范畴上的代数对象：导出环与导出模 本章将代数结构提升到导出范畴的层面。我们定义了导出环（Derived Rings）的概念，它们是具有特定乘法结构的导出对象。一个导出环 $R$ 的导出模被定义为在导出范畴中与 $R$-模复形相关的对象。本书特别关注导出平坦性（Derived Flatness）的判据，并将其与传统的平坦模分解联系起来。我们引入了导出雅可比矩阵（Derived Jacobian Matrices）的概念，以研究奇异点在导出几何中的表现。 第6章：导出范畴与稳定范畴的联系 本书探讨了导出范畴与稳定范畴（Stable Categories）之间的深刻关系，尤其是在有限生成投射模块的范畴上。我们利用自反性（Self-Duality）的概念来探讨导出范畴的对称性，并引入了完全局部化（Complete Localization）的概念，这在研究非交换克鲁尔维度（Noncommutative Krull Dimension）时至关重要。内容涵盖了导出范畴上的纤维积（Fiber Products in Derived Categories）构造，以及它们如何对应于环构造中的粘合（Gluing）操作。 第三部分：拓扑、几何与导出德拉姆上同调 最后一部分将导出范畴的代数工具应用于拓扑空间和微分几何的背景中，重点是导出德拉姆上同调（Derived de Rham Cohomology）的现代框架。 第7章：微分链复形与导出德拉姆上同调 我们从光滑流形 $M$ 上的微分链复形 $Omega^{ullet}(M)$ 开始，并将其视为一个对象在相应的阿贝尔范畴 $mathrm{Ch}(mathrm{Mod}(mathbb{R}))$ 中。核心在于证明导出范畴 $D(mathrm{Coh}(M))$ 的导出张量积与导出德拉姆复形的构造之间的自然同构。这要求我们对张量积的导出进行精细的分析，确保在适当的假设下（例如对光滑复空间），导出德拉姆上同调与经典的复形上同调（通过Hodge分解）相匹配。 第8章：导出范畴上的层论：Sheafification与导出截面 本章回归到导出层论（Derived Sheaf Theory）。我们定义了导出层（Derived Sheaves）的概念，并研究了导出范畴上的导出截面函子 $Gamma_D$ 的性质。关键在于理解导出正合性（Derived Exactness）如何影响全局截面。我们使用导出张量函子 $mathbb{L}_{mathcal{O}_X}$ 来研究导出范畴上的导出相干层（Derived Coherent Sheaves），特别是它们在导出奇点（Derived Singularities）处的行为。 第9章：与三角表示论的交汇 在结论部分，我们将导出范畴的结构与三角表示论（Triangulated Representation Theory）的最新进展联系起来。我们探讨了Tilting理论在导出范畴上的推广，特别是导出Tilting集的概念。本书最后以对衍生模范畴（Derived Module Categories）的分析结束，展示了如何利用导出范畴的结构来分类具有特定同调性质的代数对象。 本书的论述风格严谨、深入，侧重于概念的内在联系和技术细节的完备性，是理解现代代数几何和拓扑学中不可或缺的参考资料。它假设读者对范畴论、阿贝尔范畴和基础的同调代数已有扎实的掌握。

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这本书的排版和细节处理简直是教科书级别的典范！我很少看到一本如此注重阅读体验的专业书籍。字体选择、公式的对齐、图表的清晰度，每一个小细节都透露出编辑和作者对读者的尊重。更不用说那些随处可见的“小贴士”和“深度挖掘”部分，它们就像是经验丰富的前辈在你旁边低声耳语，为你指明那些容易踩的“坑”和更值得深入研究的支线。这些补充信息虽然不是主线内容，但对于构建全面的知识体系至关重要。它极大地降低了自学中的挫败感，让学习过程变得更加顺畅和愉快。我真心推荐给所有正在努力自学高等代数或相关领域的同学，这本书的实用性和可读性是顶尖水准。

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我的天哪，这本书简直就是一本思维的健身房！我已经很久没有遇到过需要我如此专注和投入的学术著作了。它的论证过程严密得令人发指，每一步逻辑推导都像是精心打磨的艺术品，容不得一丝一毫的松懈。我特别喜欢作者在处理那些复杂定理时的那种“剥洋葱”式的拆解方法，他们总能找到最简洁、最优雅的方式来揭示核心思想。虽然阅读过程颇具挑战性，甚至有好几次我不得不停下来，回去查阅前几章的定义，但那种最终豁然开朗的感觉，是任何简单的阅读体验都无法比拟的。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维训练，它教会我如何更清晰、更有条理地去构建复杂的数学论证。如果你想真正掌握一门学科的精髓，而不是仅仅停留在表面，那么这本书会是你的绝佳伙伴。

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这本书的深度和广度令人印象深刻，它成功地在“严谨性”与“可理解性”之间找到了一个近乎完美的平衡点。很多数学著作要么为了严谨而牺牲了清晰度，要么为了通俗而变得不够精确。但这本书却是个例外。它在引入新概念时，总是先给出直观的动机和例子，让读者先建立起感性认识，然后再逐步推导出形式化的定义和定理。这种教学法非常符合人类的学习规律。我特别欣赏作者在证明过程中对“为什么”的强调，而不是仅仅罗列“如何做”。理解了背后的原因和动机，才能真正掌握知识的精髓。这是一本可以放在案头，时常翻阅，每次都会有新感悟的“常青树”式的经典之作。

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坦白说，我最初对这本书的期待值并不高，市面上同类题材的书籍往往内容陈旧，缺乏新意。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它展现出一种惊人的前瞻性和广博的视野。作者似乎对数学界的最新动态了如指掌，并将那些前沿的研究思想巧妙地融入到基础概念的阐述之中，使得整本书读起来充满了活力和现代感。它更像是一份高质量的综述报告，将经典理论与现代发展无缝衔接。对于我这种已经有一定基础，但渴望了解领域最新进展的研究人员来说，这本书的价值无可估量。它不仅提供了扎实的理论基础，更重要的是，它点燃了我的研究灵感，让我对未来的探索方向有了更清晰的把握。

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这本书绝对是一次令人耳目一新的阅读体验！我本来以为这会是一本枯燥的纯理论书籍，但事实远比我想象的要精彩。作者的叙述方式非常引人入胜，仿佛在讲述一个宏大的数学故事。他们没有仅仅停留在抽象的概念层面，而是巧妙地穿插了大量的历史背景和直观的类比，让那些原本高深莫测的代数结构变得触手可及。尤其欣赏他们如何构建起不同数学分支之间的桥梁，让人不禁感叹数学的统一之美。读完之后，我感觉自己对整个领域的认知框架都被重塑了，不再是零散的知识点堆砌，而是一个有机连接的整体。对于那些渴望深入理解现代代数拓扑基础的读者来说，这本书绝对是不可多得的宝典。它迫使你跳出固有的思维定势，去思考更深层次的结构性问题。

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