Conformal Geometry of Surfaces in S4 and Quaternions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Ferus, D.

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页数:97

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价格:$ 56.44

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isbn号码:9783540430087

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图书标签:

• Conformal Geometry
• Surface Geometry
• S4
• Quaternions
• Differential Geometry
• Riemannian Geometry
• Geometric Analysis
• Topology
• Mathematics
• Pure Mathematics

几何、拓扑与分析的交汇：球面上的微分几何研究 本书深入探讨了微分几何在三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 中嵌入的曲面，以及更一般地，嵌入到更高维空间中的几何结构。我们聚焦于那些可以通过局部坐标系描述的，具有光滑结构的二维流形，并借助黎曼几何的工具，分析其内在和外在的几何性质。 第一部分：曲面的基础理论与局部分析 本部分构建了研究曲面的数学框架。我们将从经典的微分几何概念出发，建立起曲面理论的基石。 1. 欧几里得空间中的嵌入曲面 曲面 $Sigma$ 是 $mathbb{R}^3$ 中的一个二维浸入或嵌入。我们首先定义了浸入、浸没以及嵌入之间的区别，并探讨了曲面的正则性。关键工具是第一基本形式 $I$，它定义了曲面上切向量空间的内积结构，从而赋予了曲面一个黎曼度量。 我们详细分析了第二基本形式 $II$，它衡量了曲面偏离其切平面的程度，从而引入了曲面的曲率概念。通过计算主曲率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$，我们推导出了高斯曲率 $K = kappa_1 kappa_2$ 和平均曲率 $H = (kappa_1 + kappa_2)/2$。 高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）是本部分的核心成果之一。它证明了高斯曲率 $K$ 是一个内在量，仅依赖于第一基本形式，与曲面在周围空间中的具体嵌入方式无关。这标志着内在几何与外在几何的分离，为曲面研究奠定了深刻的几何洞察。 我们进一步探讨了法曲率和法截面，分析了主方向和主曲率的分布，并研究了脐点（umbilics）——那些所有方向上的法曲率都相等的高斯曲率极值点。 2. 测地线与测地方程 基于第一基本形式定义的黎曼度量，我们引入了测地线的概念，它们是曲面上“最直”的曲线，是广义直线。我们推导了测地线的微分方程，即测地方程，通过计算克里斯托费尔符号（Christoffel symbols）来描述测地线的局部行为。 我们分析了测地线的存在性与唯一性，并探讨了测地线在特定曲面上（如球面、圆柱面）的性质。特别是，我们考察了测地线在黎曼流形上的完备性，并讨论了测地线流在动力系统中的应用。 3. 曲面的结构方程 为了将第一基本形式和第二基本形式联系起来，我们引入了第二类克里斯托费尔符号，并导出了Codazzi-Mainardi方程和Gauss方程。这些方程构成了关于曲面嵌入的微分约束条件，它们是证明“如果两个曲面具有相同的度量和相同的曲率形式，则它们之间存在一个刚性等距映射”的关键。 我们还讨论了等温参数化（Conformal Parameterization）的重要性，即如何选择坐标系使得第一基本形式仅包含一个共形因子，这对于后续的共形几何分析至关重要。 第二部分：曲面的全局拓扑与稳定性 本部分将目光从局部性质扩展到曲面的全局拓扑结构，并引入了更高级的分析工具。 1. 欧拉示性数与高斯-邦内定理 我们将曲面的局部几何信息（高斯曲率）与曲面的全局拓扑不变量（欧拉示性数 $chi(Sigma)$）联系起来，这是微分几何中最著名的成果之一：高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）。 对于一个紧致、无边界的曲面 $Sigma$，该定理陈述为： $$int_{Sigma} K , dA = 2pi chi(Sigma)$$ 我们详细证明了这个定理，并展示了它在分类曲面时的强大威力。例如，它可以立即确定只有嵌入在 $mathbb{R}^3$ 中的球面具有常正高斯曲率。我们还讨论了定理在带边界曲面上的推广形式。 2. 极小曲面理论 极小曲面是平均曲率 $H=0$ 的曲面，是变分法中的自然对象，它们代表了曲面面积的局部极小值。我们从 Plateau 问题出发，阐述了极小曲面的变分原理，并推导了其欧拉-拉格朗日方程。 我们分析了Soap Film（肥皂膜）的物理模型，并研究了经典的极小曲面，如悬链曲面（Catenoid）、螺旋面（Helicoid）和施瓦茨晶面（Schwarz P, D, Gyroid）。我们还探讨了Willmore 泛函 $W(Sigma) = int_{Sigma} H^2 , dA$，研究曲面能量的极小化问题，这与生物膜和物理系统的稳定性密切相关。 3. 嵌入与浸入的稳定性 本部分深入研究了曲面在 $mathbb{R}^3$ 中的嵌入性质。我们考察了Jordan-Brouwer 分割定理在曲面上的应用，并讨论了曲面的法曲率向量场的性质。 我们引入了Weingarten 映射，它是曲面局部几何信息（第一和第二基本形式）之间的线性算子。Weingarten 映射的特征值是主曲率，其行列式给出了高斯曲率，迹给出了平均曲率。我们分析了在哪些情况下，曲面的几何结构是局部刚性的（即不能进行无穷小形变而不改变其内在度量）。 第三部分：共形几何与黎曼曲面的联系 本部分将焦点从 $mathbb{R}^3$ 转移到更抽象的黎曼曲面理论，特别是侧重于共形结构的保留。 1. 共形变换与共形映射 共形映射是保持角度的映射。在二维黎曼流形上，共形结构由第一基本形式的 $lambda(x) I$ 所定义。我们研究了共形等价性：两个曲面在何种条件下可以通过一个共形映射相互关联。 我们利用复分析的工具，研究了在 $mathbb{R}^2$（或 $mathbb{S}^2$）上共形映射的性质。Beltrami 方程是描述共形映射的核心工具，它将共形映射的寻找转化为求解一个偏微分方程。 2. 黎曼曲面与狄利克雷问题 曲面上的共形结构可以直接定义一个黎曼曲面。我们探讨了黎曼曲面的分类，特别是通过引入模空间（Moduli Space）来对具有固定拓扑结构但不同共形结构的曲面进行参数化。 我们分析了在共形类别中保持不变的几何量，例如通过拉普拉斯-贝尔特拉米算子 ($Delta_g$) 定义的谱性质。我们展示了最大主曲率和最小主曲率的分布与曲面上的特定势函数的解之间的关系。 3. 椭圆型方程与几何解 在共形几何中，许多几何问题可以转化为求解椭圆型偏微分方程。我们研究了曲面上泊松方程 $Delta_g u = f$ 的解的存在性、唯一性和正则性。 例如，在共形共轭坐标系中，平均曲率 $H$ 满足一个非线性椭圆型方程。通过分析这些方程的解，我们可以精确地构造出具有特定几何特性的曲面。我们还简要介绍了Ricci 曲率和高维流形上的共形变换，为读者理解更高维空间中的共形结构提供了桥梁。 全书以严谨的数学分析和丰富的几何直觉为支撑，为读者提供了一个理解曲面几何、拓扑性质及其在共形框架下行为的综合性论述。

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我最近在寻找关于四维空间中曲面的拓扑性质和黎曼几何的深入探讨，而这本书的书名立刻抓住了我的注意力。它暗示了对那些嵌入在更高维空间（如 $S^4$）中的奇异几何对象的探索，这正是当前微分几何领域一个非常前沿且极具挑战性的方向。我特别期待看到作者如何处理那些复杂的共形变换，以及它们在特定流形上的作用。如果书中能详细阐述如何利用代数工具，特别是四元数（Quaternions）的结构来简化或阐明这些几何问题，那对我来说将是极大的帮助。我希望它能提供一些原创性的视角，而不是简单地重复已有的教材内容，能够引导我进入更深层次的研究。

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这本书的定价虽然不菲，但考虑到其主题的专业性和可能包含的前沿研究成果，我认为它在专业图书馆和研究机构中是不可或缺的参考资料。我推测，这本书的参考文献列表一定非常详尽且具有权威性，能够指引读者深入查阅更多经典和最新的论文。对于正在准备博士论文或从事相关领域研究的学者来说，这本书很可能成为他们工具箱里最锋利的工具之一。它的价值不在于阅读一遍，而在于可以作为一本可以长期查阅、不断回顾的参考手册。我期待它能提供一些计算上的技巧或数值模拟的方法，以便将理论成果应用于实际问题中去验证和发展。

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这本书的目录结构似乎非常严谨，层次分明。从我对它初步的扫描来看，它似乎遵循了一种由浅入深、逐步构建理论框架的逻辑。我注意到其中有专门的章节讨论了与霍奇理论（Hodge Theory）相关的概念，这表明作者并没有停留在纯粹的微分几何层面，而是试图将分析和代数拓扑的工具融合进来，以期达到更全面的理解。这种跨学科的整合往往是突破性研究的标志。如果能提供清晰的定理证明和大量的实例说明，那么即便是初学者也能循序渐进地掌握这些高深莫测的理论。我更看重的是，作者是否能将抽象的概念具象化，让读者能“看到”这些四维空间中的曲面是如何弯曲和相互作用的。

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这本书的封面设计和排版实在让人眼前一亮。那种深邃的蓝色调，配上简洁有力的几何图形，立刻给人一种既专业又神秘的感觉。我猜想，作者一定对美学有着极高的造诣，这不仅仅是一本枯燥的学术著作，更像是一件精心打磨的艺术品。内页的纸张触感也很棒，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到疲劳。装帧质量看起来非常扎实，即使经常翻阅，也不用担心书本会轻易散架。装订处的细节处理得非常到位，每一页的裁切都精准无误，体现了出版方对细节的极致追求。整体来说，光是拿起这本书的那一刻，就让人感受到了它的分量和价值。希望内容也能像外表一样，带给人惊喜和震撼。

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阅读这本书的体验，我期望它能像一位经验丰富的向导，带领我在复杂的数学迷宫中穿行。我希望作者的语言风格是清晰、精确且富有洞察力的。数学著作最怕的就是晦涩难懂，即便理论本身很深奥，表达方式也应该力求简洁有力。如果书中能穿插一些历史背景的介绍，说明某些关键概念是如何被发现和发展的，那就更好了。这不仅能增加阅读的趣味性，也能帮助读者理解这些数学工具诞生的必然性。一本好的教科书或专著，应当是能够激发读者好奇心，促使他们主动去探索其背后的物理或几何意义的。

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