Fourier Analysis on Finite Groups and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Terras, Audrey

出品人:

页数:456

译者:

出版时间:1999-3

价格:$ 76.84

装帧:

isbn号码:9780521457187

丛书系列:

图书标签:

• Fourier Analysis
• Finite Groups
• Harmonic Analysis
• Representation Theory
• Number Theory
• Combinatorics
• Algebra
• Mathematics
• Signal Processing
• Coding Theory

《有限群上的傅里叶分析与应用》图书简介 本书旨在为研究者、研究生以及具有坚实数学基础的工程师提供一本全面而深入的教材，专门探讨有限群上的傅里叶分析理论及其在离散数学、计算机科学、信号处理等领域的广泛应用。 本书从基础的群论概念入手，逐步构建起有限群上的调和分析框架，最终展示如何利用这一强大工具解决实际问题。 第一部分：基础理论的构建 本书的第一部分着重于为后续的分析打下坚实的群论和代数基础。我们首先回顾群的定义、子群、陪集、正规子群以及商群的概念。重点内容包括Sylow 定理的详细阐述和证明，这对于理解有限群的结构至关重要。我们将探讨群作用及其轨道-稳定子定理，并引入中心化子和正规化子的概念，为研究表示论做铺垫。 随后，我们将引入群代数的概念，特别是针对有限群 $G$ 的复群代数 $mathbb{C}[G]$。本书清晰地阐述了 $mathbb{C}[G]$ 作为一个向量空间的基础，并着重分析其代数结构，特别是如何通过张量积来研究两个群的直积的代数结构。 第二部分：有限群上的表示论与特征标理论 这是本书的核心部分，构建了傅里叶分析在有限群上的数学基础——表示论。我们从群表示的基本定义出发，详细讨论了等变表示（Equivariant Representation）、酉表示（Unitary Representation）和不可约表示（Irreducible Representation）。 特征标理论是本部分的关键。本书详尽地推导了 Schur 引理及其推论，这是区分不同不可约表示的根本工具。我们随后构建了特征标表（Character Table），并深入分析了特征标的线性无关性定理（Orthogonality Relations）。这些正交关系是构造傅里叶基和进行频谱分析的基础。我们将展示如何利用特征标表来判断群的结构性质，例如可解性和单群性。 书中特别辟出一章，专门讨论诱导表示（Induced Representations）和制限表示（Restricted Representations），特别是 Frobenius 递归公式和 Reciprocity Law，这些是理解子群结构如何影响整个群表示的关键。 第三部分：有限群上的傅里叶变换 基于第二部分建立的表示论基础，第三部分正式引入了有限群上的傅里叶分析。 离散傅里叶变换的推广： 我们将经典的有限阿贝尔群（如 $mathbb{Z}_n$）上的傅里叶分析作为起点，自然地推广到一般的非阿贝尔有限群 $G$。本书的核心是定义群傅里叶变换 (Group Fourier Transform, GFT)。GFT 不是单个变换，而是针对群 $G$ 的每个不可约表示 $ ho_i$ 构造的一个变换。 本书详细阐述了 GFT 的频谱分解性质。我们证明了：函数 $f: G o mathbb{C}$ 可以唯一地分解为在所有不可约表示下的投影之和。这种分解允许我们将复杂的群上的运算（如卷积）转化为在不同表示空间上的简单矩阵乘法。 卷积的傅里叶特性： 一个关键成果是证明了群代数上的卷积运算在 GFT 域中转化为矩阵的乘积。我们推导了群卷积定理 (Group Convolution Theorem)，并展示了如何利用特征标性质来简化计算。 傅里叶分析在非阿贝尔群上的应用： 针对非阿贝尔群，傅里叶分析不再具有唯一的“频率”概念，而是转化为一系列“表示空间频率”。本书清晰地解释了如何解释和使用这些多重频率。 第四部分：应用领域与实例分析 本书的最后一部分将理论知识应用于实际领域，展示了有限群傅里叶分析的强大实用性。 组合优化与图同构： 我们探讨了如何利用群的对称性——通过其表示和特征标——来简化组合问题的计数和搜索。特别地，本书展示了如何利用 Schur/Weyl 理论来解决某些特定结构图的同构判定问题。 代数编码理论： 针对群码（Group Codes），本书展示了傅里叶分析如何用于分析码字的结构和它们的最小距离。利用傅里叶域中的对偶性，可以更有效地设计和解码具有良好纠错性能的循环码和更一般的群码。 数字信号处理与滤波器设计： 针对周期性或对称性结构的数据（例如在晶体结构或分子动力学模拟中），我们展示了如何构建群对称滤波器。这些滤波器在傅里叶域中具有对角化的特性，从而极大地提高了处理效率，并确保了滤波器设计对群变换下的数据保持不变性或特定的变换规律。 随机游走与扩散过程： 在群结构上的随机游走分析是傅里叶分析的经典应用。本书推导了随机游走概率分布在 GFT 域中的演化方程，并展示了如何利用特征标计算游走的平稳分布和收敛速度。 总结 《有限群上的傅里叶分析与应用》是连接抽象代数、表示论与应用数学的桥梁。本书的叙述风格严谨而富有洞察力，力求在保持数学严格性的同时，清晰地揭示每一步理论推导背后的直观意义和应用价值。它不仅仅是一本理论参考书，更是一份引导读者进入现代离散调和分析前沿领域的实用指南。本书适合希望深入理解对称性在代数和算法中作用的研究人员和高阶学生。

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我特别欣赏书中在理论讲解后所提供的那些“应用场景”的描述。尽管书名提示了其应用的广阔性，但实际阅读时，这些应用案例的选取和阐述的细致程度，还是远远超出了我的预期。它们并非泛泛而谈的口号式描述，而是深入到具体问题的建模和分析层面，展示了抽象数学工具是如何在现实世界中发挥强大效力的。例如，在介绍某个特定变换时，书中会紧接着分析它在信号处理或网络结构分析中的具体表现，这极大地增强了知识的可操作性和直观性。这种理论与实践的紧密结合，使得阅读过程充满了发现的乐趣，让人强烈感受到自己所学的知识并非孤芳自赏的象牙塔产物，而是富有生命力的解决问题的钥匙。

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这本书的装帧设计非常引人注目，封面的配色大胆而又不失稳重，那种深邃的蓝色与金色字体搭配起来，散发出一种古典与现代交织的学术气息。我个人非常看重书籍的物理质感，而这本书的纸张选用上乘，触感温润，内页的排版更是考究得令人赞叹。字体清晰，间距得当，即使是长时间的阅读也不会感到视觉疲劳。特别是那些复杂的数学公式，排印得一丝不苟，结构清晰，这对于需要反复对照和理解推导过程的读者来说，无疑是极大的便利。装订方面也十分扎实，即便是频繁翻阅，书脊依然保持平整，看得出出版社在制作工艺上的用心良苦。拿到这本书，就像拥有一件精美的艺术品，这无疑提升了阅读体验的整体愉悦度，让人更愿意沉浸其中，与书中的知识建立起更深层次的连接。可以说，光是把它放在书架上，就是一种视觉上的享受，体现了出版方对知识载体的尊重。

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初翻阅这本书的章节结构时，我立刻感受到作者在逻辑构建上的严密性与前瞻性。不同于一些传统教材将理论知识生硬堆砌的写法，这里的叙述脉络显得尤为流畅和自然。作者似乎非常懂得如何引导读者从基础概念平稳过渡到高阶理论，每一步的衔接都像是精心铺设的阶梯，让人感觉每跨出一步都能稳稳地站立。尤其是一些关键定理的引入，不再是突兀地抛出，而是通过富有启发性的背景介绍和逐步分解的论证过程，让读者在“为什么需要这个工具”的疑问中自然而然地接受它。这种教学法的高明之处在于，它不仅传授了知识，更培养了读者的数学直觉和分析问题的能力，使人学到的不仅仅是结论，更是思维的路径。这种对教学艺术的精湛掌握，使得原本可能晦涩难懂的抽象概念变得触手可及。

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如果非要挑剔一些地方，我想可能是对某些历史沿革的提及相对保守。虽然学术著作的首要任务是精确传达现有知识体系，但我个人一直认为，了解一个概念是如何在历史长河中逐步被发现、被完善的，对于深化理解和激发研究兴趣同样重要。书中对一些关键定理的归属和发展脉络的梳理，虽然准确，但略显“静态”，缺少了一点“动态”的历史视角来佐证某些选择的必然性。当然，这可能是我个人偏好，毕竟增加历史内容可能会显著增加篇幅，影响核心内容的聚焦。但总的来说，这本书的学术严谨性、逻辑的连贯性以及排版的美观度，使其成为了一个值得反复研读和珍藏的优秀专业参考书。

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这本书的语言风格带着一种微妙的、近乎哲学的精确性，它不追求花哨的辞藻，而是力求用最简洁、最无歧义的方式表达深刻的数学思想。阅读过程中，我时常会停下来，反复咀嚼某些措辞的妙处，那些看似简单的描述背后，往往蕴含着深厚的背景知识和严谨的逻辑推导。作者在解释核心定义时表现得尤其出色，那种不容置疑的清晰度，让我感觉自己正在直接面对数学世界最本质的结构。当然，这种风格对读者的基础知识储备也提出了不低的要求，对于初学者而言，可能需要辅以其他辅助材料来帮助消化。但对于有一定基础，渴望在某一特定领域寻求深度理解的专业人士来说，这种直接而坦诚的对话方式，无疑是最为高效和令人信服的。

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