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出版者:Dover Publications

作者:Georgi E. Shilov

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:1996-1-18

价格:USD 17.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486689234

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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《现代数学基础：线性空间、算子与测度》 本书旨在为读者构建一套扎实的现代数学分析体系，重点关注线性空间、线性算子及其在测度理论和概率论中的深刻应用。我们从构成现代数学骨架的线性代数概念出发，逐步引入函数空间的抽象框架。通过对向量空间、赋范空间、巴拿赫空间以及希尔伯特空间的深入探讨，读者将领略到无限维线性代数的丰富内涵及其与有限维情形的异同。 在理解了线性空间的基本结构之后，我们将重点转向在线性空间中运动的“对象”——线性算子。本书将详尽阐述有界线性算子、紧算子以及自伴算子等重要算子的性质，并通过其谱理论揭示其内在结构。我们将详细推导和证明这些算子的核心定理，例如谱定理，并探讨其在求解微分方程、积分方程以及量子力学等领域的应用。 随后，本书将引入测度论的基石——勒贝格测度与勒贝格积分。我们将从经典的黎曼积分的局限性出发，详细构建勒贝格测度的构造过程，包括外测度、可测集以及测度的性质。在此基础上，我们将定义勒贝格积分，并深入研究其与黎曼积分的关系、积分的收敛定理（如单调收敛定理、控制收敛定理）等关键概念。这些理论为更广泛和更强大的积分工具奠定了基础，对于概率论、统计学以及许多应用数学领域至关重要。 本书的特色在于，我们将抽象的理论概念与具体的应用实例紧密结合。读者将有机会通过解决一系列精心设计的习题，来巩固所学知识，并初步体验到这些抽象工具在实际问题中的威力。我们力求以清晰的逻辑、严谨的证明和直观的解释，引导读者一步步深入理解现代数学分析的精髓。 本书内容涵盖： 第一部分：线性空间基础 向量空间与线性子空间： 定义向量空间的公理，线性组合、线性无关、基与维数，子空间的性质。 赋范向量空间： 范数的定义与性质，度量空间的概念，序列与收敛，柯西序列与完备性。 巴拿赫空间： 完备赋范向量空间的定义与重要性，常见巴拿赫空间的例子（如 $L^p$ 空间）。 希尔伯特空间： 内积空间的定义，正交性，正交基，施密特正交化过程，常见希尔伯特空间的例子（如 $l^2$ 空间）。 第二部分：线性算子与算子代数 线性算子： 线性算子的定义与性质，核与像，算子的矩阵表示。 有界线性算子： 有界线性算子的定义，算子范数，有界线性算子空间。 连续线性算子与开映射定理、有界逆定理： 证明线性算子的连续性与有界性的等价性，介绍开映射定理和有界逆定理及其应用。 紧算子： 紧算子的定义与性质，紧算子与有限维子空间的关系，弗雷德霍姆理论的初步介绍。 自伴算子（埃尔米特算子）： 自伴算子的定义，自伴算子的谱性质，实数谱，谱定理在希尔伯特空间中的应用。 算子方程与谱理论应用： 通过谱理论分析线性方程解的存在性与唯一性，介绍微分算子和积分算子的谱。 第三部分：测度与积分 测度空间： 集合代数与 $sigma$-代数，测度的定义与基本性质，外测度与Carathéodory扩张定理。 勒贝格测度： $mathbb{R}^n$ 上的勒贝格测度构造，可测集，Borel集，测度的不变量性。 勒贝格可测函数： 可测函数的定义，简单函数，可测函数的运算性质。 勒贝格积分： 勒贝格积分的定义，与黎曼积分的关系，积分的性质。 积分的收敛定理： 单调收敛定理，Fatou引理，控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem），及其在数学分析和概率论中的应用。 $L^p$ 空间： $L^p$ 空间的定义，完备性，Holder不等式与Minkowski不等式，$L^p$ 空间作为巴拿赫空间。 本书适合读者： 本书适合具有扎实微积分基础，并对数学分析有浓厚兴趣的本科高年级学生、研究生以及从事相关研究的科研人员。对于希望深入理解现代数学工具，为进一步学习泛函分析、偏微分方程、概率论、调和分析以及数学物理等领域打下坚实基础的读者来说，本书将是不可或缺的参考。 通过本书的学习，读者将能够： 熟练掌握函数空间的理论，理解无限维线性代数的精妙之处。 深入理解线性算子的谱理论，并能将其应用于解决实际问题。 掌握勒贝格测度和勒贝格积分的理论体系，为更高级的分析打下基础。 培养严谨的数学思维和分析能力，为未来的学术研究做好准备。

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《泛函分析基础》这本书，我刚入手时，确实被它的严谨和深度震撼到了。书的开篇并没有急于展示那些花哨的定理，而是花了大量篇幅来打磨泛函分析的基石——拓扑线性空间和赋范线性空间。作者的叙述方式极其细致，对于初学者来说，这既是优点也是挑战。他没有跳过任何中间步骤，你会感觉每一步推导都像是在雕琢一块璞玉，非常扎实。尤其是关于Hahn-Banach定理的讨论，书中给出了好几个不同的证明角度，每一个角度都像是打开了一扇新的窗户，让我对线性泛函的“扩张”有了更深刻的理解。我记得我在学习Baire范畴定理那一部分时，花了整整一个下午才把那些关于完备性的概念彻底理顺。这本书的习题设计也非常巧妙，它们不是那种简单的计算题，而是能真正检验你是否掌握了核心思想的“陷阱题”。比如说，有些习题会引导你思考在特定范数下，连续线性泛函的性质会发生怎样的微妙变化。读完这部分，你会有一种感觉，你不再只是记忆定理的符号，而是真正开始用泛函分析的思维在看问题了。对于那些打算深入研究偏微分方程或者量子力学理论的读者，这本书无疑是一个不可或缺的预备课程，它教你如何在一个抽象的无穷维空间里“行走”，并且不迷失方向。

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这本书的侧重点明显偏向于理论分析和算子理论的深度挖掘，对于应用层面的讨论则非常克制。它更像是为理论数学家准备的一份精美的蓝图，而不是为工程师或物理学家准备的工具箱。例如，在处理傅里叶分析与泛函分析的交汇点时，作者选择了最纯粹的数学表达方式，将Plancherel定理和Parseval恒等式放在一个非常严格的框架内进行论证。这种做法的好处是确保了理论的纯洁性，但缺点是对于那些想快速看到应用效果的读者来说，可能会感到意犹未尽。我尝试用书中的工具去推导广义函数的一些基本性质，发现虽然基础具备了，但需要自己去搭建很多桥梁。总而言之，这是一本需要静下心来，反复研读的经典之作。它不会轻易地给出答案，但它会教会你如何去提出正确的问题，并用最有力的方法去解决它们。它的价值在于构建了一个牢不可破的数学思维框架。

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这本书的语言风格，用一个词来形容，就是“古典的精确”。它不像某些现代教材那样追求短小精悍和快速的引入主题，而是更倾向于一种欧式数学的严谨和详尽。我特别欣赏作者在处理连续算子和紧算子时的那种层层递进的逻辑构建。当他介绍到谱理论的时候，我感觉自己仿佛置身于一个巨大的抽象迷宫中，但作者总能及时地提供一把清晰的线索。谱定理的证明部分，是全书的亮点之一，它将代数结构和拓扑结构完美地融合在了一起。作者对算子范数的定义和估计非常到位，尤其是在处理自伴随算子时的那些不等式，处理得干净利落，没有一丝拖泥带水。我记得我当时尝试着自己推导一下从Hilbert空间到其对偶空间的映射，书中的例子和注释帮助我避免了几个常见的概念混淆。这本书的排版也很有特色，虽然略显拥挤，但当你习惯了这种紧凑的布局后，你会发现它其实非常高效，能够将大量的数学信息压缩在有限的篇幅内。对于那些对数学美感有较高要求的读者，这本书的内在逻辑美感是值得细细品味的。

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坦率地说，这本书的难度曲线有点陡峭，它更适合作为第二本或者第三本泛函分析教材来使用。如果直接拿它作为入门，很多读者可能会被开篇的抽象定义劝退。我个人的体会是，第一次通读时，很多定义和定理只是“眼熟”，真正理解是在合上书本，试图自己用这些工具去解决一些具体问题时才实现的。作者在讲解测度论和勒贝格积分在泛函分析中的应用时，处理得非常巧妙，他没有把重点放在测度论本身的细节上，而是聚焦于如何利用这些工具来构造函数空间，并建立它们之间的完备性联系。这一点，与一些侧重于概率论或实分析的教材有明显区别。这本书对Sobolev空间的引入相对保守，但一旦引入，就给出了非常清晰的嵌入定理的框架。我尤其喜欢作者在章节末尾设置的“历史注记”部分，虽然内容不多，但它能帮你理解某个定理诞生的背景和意义，这比单纯的公式推导要有趣得多，也更能激发深入研究的兴趣。

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从教学法的角度来看，这本书的结构设计非常合理，它遵循了从具体到抽象、从有限维到无穷维的经典路径。作者在过渡到Banach空间和Hilbert空间时，会不断地回顾有限维欧几里得空间中的类似概念，这极大地降低了理解的难度。例如，在讨论线性泛函的有界性时，书中会对比有限维空间中所有线性泛函都是连续的这一事实，然后自然地引出无穷维空间中的挑战。我发现作者在阐述一致有界性原理时，所使用的语言非常精准，没有丝毫歧义。我曾经对照过其他几本教材的同一个定理，发现这本书的表述最能体现其深刻的内涵。不过，需要指出的是，这本书的例子相对较少，很多时候需要读者自己去想象和构建具体的函数空间例子，比如$L^p$空间和连续函数空间$C[a,b]$，这对于习惯于大量具体案例的读者来说，可能需要多花一些时间进行自我填充和练习。

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