Noncompact Lie Groups and Some of Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Tanner Elizabeth A. (EDT)/ Wilson, Raj (EDT)/ Tanner, Elizabeth A./ North Atlantic Treaty Organizati

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:1994-4

价格:$ 111.87

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isbn号码:9780792327875

丛书系列:

图书标签:

• Lie groups
• Noncompact Lie groups
• Representation theory
• Harmonic analysis
• Differential geometry
• Mathematical physics
• Symmetry
• Topology
• Algebra
• Functional analysis

《泛函分析基础与算子理论前沿》 第一部分：泛函分析的经典框架与基础理论 第一章 赋范线性空间与巴拿赫空间 本章旨在系统阐述赋范线性空间的结构及其关键性质。我们将从线性空间和范数的概念出发，构建赋范线性空间的基本框架。重点讨论完备性，并深入剖析巴拿赫空间的概念、构造方法及其在无穷维空间分析中的核心地位。内容涵盖开集、闭集、稠密子集等拓扑概念在赋范空间中的体现，以及线性映射的连续性、有界性与开映射定理、闭图像定理等三大基本定理的证明与应用。我们将特别关注共鸣定理（Banach-Steinhaus Theorem）在估计函数族行为中的作用，并引入商空间的概念，探讨其完备性。 第二章 线性算子与连续线性泛函 本章聚焦于线性算子的代数结构与拓扑性质。我们将详细考察从一个赋范空间到另一个赋范空间的线性映射，分析其有界性、连续性，并引入算子范数。连续线性泛函是本章的重中之重，我们将利用Hahn-Banach定理来构造和刻画这些泛函，特别是探究其在对偶空间理论中的关键作用。此外，本章还将探讨范数、拓扑和代数结构之间的相互作用，为后续的算子理论打下坚实的基础。 第三章 希尔伯特空间：内积与正交性 本章将视角转向具有内积结构的函数空间，即希尔伯特空间。我们将从内积的定义出发，建立范数与内积的联系，并讨论完备的内积空间——希尔伯特空间的构造。重点阐述正交性这一核心概念，并深入研究正交投影定理、Riesz表示定理及其在求解变分问题中的应用。傅里叶级数和傅里叶变换将在本章中以严谨的泛函分析语言进行重述，强调其在平方可积函数空间 $L^2$ 上的完备性和展开性质。 第四章 紧算子与谱理论的初步 本章引入紧算子的概念，这些算子是有限维空间中线性算子性质的有力推广。我们将讨论紧算子的性质、紧算子类在有界线性算子空间中的拓扑结构。随后，我们将首次接触谱理论的基石——算子的谱。本章将集中于有界线性算子的谱的定义、谱的性质（如谱半径公式），并初步探讨有限秩算子和紧算子的谱特性，为更复杂的谱分析做准备。 第二部分：算子理论与应用 第五章 自伴算子与谱定理 谱理论的核心内容——自伴算子（或称厄米特算子）的分析是本章的主线。我们将定义自伴算子、酉算子，并详细论证自伴算子的谱完全落实在实轴上。核心内容将是自伴算子的谱定理，包括其积分形式和算子函数演算的构建。我们将展示谱定理如何将复杂的无穷维算子分解为更易于理解的谱测度（Spectral Measure）的积分表示，并讨论其在量子力学中的物理意义。 第六章 有界算子的函数演算 本章深入研究如何将定义在实数域或复平面上的函数（如指数、三角函数、多项式）推广到有界线性算子上，即建立函数演算。我们将分别考察在紧算子、正规算子和一般有界算子上构造函数演算的方法。对于正规算子的谱积分表示，本章将提供详尽的分析，连接算子的谱拓扑性质与函数映射的性质。 第七章 无界算子与塞格特定理 将分析扩展到定义在闭子空间上的无界线性算子，这是处理微分算子和偏微分方程本征值问题的关键。本章将严谨定义稠密定义域、闭算子、闭包与闭性。重点讨论塞格特定理（Hellinger-Toeplitz Theorem）的推广形式，并引入对称算子、自伴扩展的理论，讨论如何通过自伴扩展来保证微分算子（如拉普拉斯算子）的谱性质。 第八章 测度论在泛函分析中的集成 本章回顾并深化测度论在泛函分析中的作用，特别是在构建函数空间和定义积分时的必要性。内容涵盖 $sigma$-代数、可测函数、勒贝格积分的构建，以及积分的收敛定理（单调收敛、优控收敛）。我们将重点关注$L^p$ 空间的构造，证明 $L^p$ 空间是巴拿赫空间，以及当 $p=2$ 时，它成为希尔伯特空间。本章将再次强调 Riesz-Fischer 定理的重要性。 第三部分：高级主题与应用前沿 第九章 分布与索博列夫空间 本章引入广义函数的概念，即分布（Distributions），以解决经典函数在处理奇异性或非光滑性时遇到的困难。我们将定义测试函数空间，并建立分布的范畴。基于此，本章将系统地构造索博列夫空间 ($W^{k,p}$)，这些空间是处理偏微分方程（PDEs）解的自然框架。本章将详细阐述索博列夫嵌入定理，该定理描述了从索博列夫空间到传统函数空间（如 $C^k$ 空间）的连续嵌入关系。 第十章 随机过程的泛函分析基础 本章探讨泛函分析工具在概率论和随机过程理论中的应用。我们将讨论随机变量的 $L^p$ 空间结构，以及条件期望作为一种特殊的正交投影算子。核心内容包括鞅论（Martingales）的分析基础，鞅差分序列的性质，以及如何利用谱理论来分析平稳随机过程的遍历性。本章将展示如何用算子理论的视角去理解随机系统的演化。 第十一章 算子半群理论与微分方程 本章聚焦于算子半群理论，这是处理动力系统和演化方程的强大工具。我们将定义 $C_0$ 算子半群，并详细介绍Hille-Yosida 定理，该定理将无界自伴算子的谱性质与其生成的半群的指数增长率联系起来。我们将应用半群理论求解常微分方程（ODE）和一些典型的偏微分方程（如热方程、波动方程）的初值问题，展示算子理论在描述时间演化过程中的精确性。 第十二章 弱收敛性与拓扑结构 本章回归到泛函空间的拓扑结构，重点分析弱收敛性（Weak Convergence）。我们将比较范数收敛、弱收敛和弱收敛之间的关系。讨论极化恒等式（Polarization Identity），并深入探讨 Alaoglu-Banach 定理，该定理揭示了单位闭球在弱拓扑下的紧致性，这对于构造优化问题的解至关重要。最后，本章将探讨有限维向量空间的拓扑等价性与无穷维空间的本质差异。

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**评价二：** 这本书的价值，我认为主要体现在它对应用层面的关照上，尽管书名聚焦于理论本身，但其中穿插的实例分析却让人眼前一亮。我特别关注了书中关于量子场论中对称性破缺的讨论，作者并未深入到物理学的细节，但其对李代数如何编码物理现象的介绍，提供了一个极佳的数学视角。那种从抽象的代数结构中“提炼”出物理规律的逻辑链条，被梳理得井井有条。另一个让我印象深刻的是关于非紧群的拉克斯-米尔斯积分（虽然不是核心主题，但有旁征）。这部分内容的论述风格非常务实，作者似乎总是在提醒读者，这些高深的数学工具是如何被用来处理实际计算问题的。阅读过程中，我感觉自己不是在啃一块硬骨头，而是在一位经验丰富的大师的指导下，学习如何使用一套极其强大的工具箱。对于那些希望从纯数学理论转向理论物理或几何分析的研究生来说，这本书提供的过渡视角是无价的。它成功地架起了一座连接抽象理论与具体应用的坚实桥梁。

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**评价一：** 读完这本书，我感到仿佛置身于一个宏大而精密的数学迷宫中漫步，作者用一种近乎诗意的精确性描绘了非紧李群这一广阔领域。这本书的叙事结构非常引人入胜，它并没有一开始就抛出艰深的定义，而是巧妙地通过对紧致群的对比与拓展，循序渐进地引导读者进入非紧李群的世界。特别是关于根系理论在非紧群中的应用部分，作者的处理方式极为细腻，不仅仅是公式的堆砌，更像是对几何直觉的培养。书中对离散群作用的讨论，虽然篇幅不算最大，但其深度足以让人领略到无穷维表示的独特魅力与挑战。我尤其欣赏作者在处理Schwartz空间和广义函数的章节中，那种对分析与代数之间微妙平衡的把握，使得原本抽象的概念变得可触摸、可感知。尽管某些证明的细节需要反复推敲，但这种需要投入精力的阅读过程，恰恰是沉浸在纯粹数学之美中的独特体验。整本书的排版和图示质量也令人称赞，它们极大地辅助了对复杂拓扑结构的理解。

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**评价四：** 这本书最让我称道的是其对表示论的独特处理方式。特别是关于不可约表示的分类和指标公式的推导过程，作者采取了一种非常几何化的方法，避免了过多依赖复杂的调和分析技巧，转而更多地依赖于群作用下的轨道结构。这种处理方式极大地提升了概念的直观性。例如，对亚伯根（Harish-Chandra）积分理论的介绍，虽然只是概述性质的，但其对局部紧致性假设的依赖和放宽的讨论，揭示了非紧群理论的本质难度所在。我发现，书中的例子选择非常巧妙，它们并非随手拈来的习题，而是能够精准地映射到理论核心难点上的范例。阅读时，我的笔记本上布满了对这些例子进行的计算验证，每一步的成功都带来了深刻的理解。此外，书末附带的对前沿研究方向的简短评论，虽然篇幅有限，但为读者指明了进一步探索的方向，充满了启发性，使人感觉到这本著作不仅是知识的总结，更是对未来的展望。

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**评价五：** 从排版和学术严谨性来看，这是一部可以作为参考书永久珍藏的佳作。作者的语言风格介于严谨的教科书和深入的专著之间，保持了一种令人信服的权威感。全书的论证线索清晰，很少有跳跃性的逻辑断裂，即使在处理那些依赖于复杂代数结构（如$p$-adic分析的初步概念）的部分，作者也努力保持了内部的一致性和可追溯性。我个人特别喜欢它在讨论完理论框架后，往往会给出一个关于“限制”的讨论——即在什么条件下，非紧李群的行为会退化到更熟悉的紧致或有限维情形。这种“归约”的思想是理解其复杂性的关键。总而言之，这本书成功地在深度和广度之间找到了一个微妙的平衡点，它不仅传授了知识，更重要的是，培养了读者在处理高维、无限维数学对象时应有的思维模式和批判性视角，实属不可多得的学术精品。

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**评价三：** 我必须承认，这本书的阅读体验是极富挑战性的，它绝非一本轻松的入门读物，更像是一本为具备一定代数几何背景的读者量身定制的“进阶指南”。作者对群的分解定理，特别是Cartan分解的阐述，精确得令人敬畏。我花了大量时间在理解那些关于对称空间和轨道结构的部分，那些涉及无穷小作用的微分几何语言，被组织得逻辑严密，几乎没有含糊之处。这本书的优点在于其对“为什么”的探讨，而非仅仅是“是什么”。例如，它解释了为什么在非紧情形下，某些经典结论会失效，以及如何用新的代数工具来弥补这些缺失。在讨论完构造性方法之后，作者紧接着就引入了谱理论的视角，这种在不同数学分支间快速切换的能力，展现了作者深厚的学识广度。不过，对于初学者来说，可能需要同时参考其他更基础的李群教材作为辅助，因为某些基础概念的铺垫略显简略，读者需要有较高的自我驱动力去填补这些知识空缺。

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