Henstock Integration, Lanzhou Lectures O pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Lee, P. Y.

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:

价格:$ 77.97

装帧:

isbn号码:9789971508913

丛书系列:

图书标签:

• Henstock Integration
• Integral Calculus
• Measure Theory
• Functional Analysis
• Real Analysis
• Lanzhou Lectures
• Mathematics
• Advanced Mathematics
• Mathematical Analysis
• Non-standard Analysis

数学分析的深度探索：现代微积分的基石与前沿 图书名称：经典数学分析导论：从黎曼到勒贝格的结构性演进 内容简介： 本书旨在为读者提供一套严谨、深入且富有洞察力的现代数学分析基础知识体系。我们不满足于停留在表面公式的堆砌，而是致力于揭示支撑微积分这门学科的底层逻辑、结构美感以及其在现代数学中的核心地位。全书内容经过精心组织和编排，力求实现从直观概念到严格证明的平稳过渡，并为后续深入研究泛函分析、测度论和微分几何打下坚实的基础。 第一部分：基础与极限的严谨构建（The Rigorous Foundation） 本部分着重于对微积分中“极限”概念进行绝对的、拓扑化的重新审视。我们从实数系统的完备性（Completeness of $mathbb{R}$）出发，详细阐述了依此构建起来的序列极限、函数极限的 $epsilon-delta$ 语言的精髓。 实数系统的公理化基础： 深入探讨了为什么需要完备性，构造了有理数到实数的拓扑扩展，并展示了诸如上确界原理（Supremum Principle）在证明中的关键作用。 序列与级数收敛性： 区分了经典的柯西收敛准则与更具普适性的紧凑性概念（Compactness）。对正项级数、交错级数以及任意级数的收敛判别法进行了全面的、带有历史背景的介绍。特别强调了柯西收敛准则在构造完备度量空间中的作用。 连续性与一致连续性： 详细讨论了函数在开集和闭集上的连续性定义，并区分了点态连续性与一致连续性的本质区别。利用紧致性定理（如Bolzano-Weierstrass定理）来证明连续函数在紧集上的重要性质，如有界性和最大值最小值定理。 第二部分：微分的几何意义与变差分析（Differentiation: Geometry and Variation） 本部分将微分的概念从简单的斜率扩展到更广阔的、涉及函数性质变化的空间中。 导数的单变量与多变量推广： 严格定义了导数的存在性，并系统地考察了可微性与连续性的关系。随后，我们将视角拓展至多元函数，深入探讨了偏导数、梯度（Gradient）、方向导数（Directional Derivative）以及全微分（Total Differential）的几何意义。 隐函数定理与反函数定理的证明： 这是一个重点难点章节。我们不仅陈述了这些定理，更重要的是，我们将利用不动点定理（如Banach不动点定理）来构建其证明框架。这使得读者能深刻理解这些定理背后的分析工具，而非仅仅记忆结论。 极值问题与最优性条件： 基于二阶导数（Hessian矩阵）来判别临界点的性质，并讨论了条件极值问题（Lagrange乘数法）的原理，着重于将其理解为在约束曲面上求解梯度的正交条件。 第三部分：积分理论的深化：从黎曼到测度的过渡（The Evolution of Integration） 本部分是本书分析深度的集中体现，它清晰地勾勒出传统积分理论的局限性以及现代测度论积分的优越性。 黎曼积分的结构与缺陷： 详细分析了黎曼积分的定义、达布上积与下积的关系，并证明了连续函数、单调函数的可积性。重点讨论了黎曼积分在处理不连续点集（如狄利克雷函数）时的无力性，并引出对“更好”积分概念的迫切需求。 有界变差函数与绝对连续性： 在进入测度论之前，我们引入了有界变差（Bounded Variation）的概念，作为连接微分和积分的桥梁。讨论了函数微分的绝对连续性及其与导数的关系。 测度论基础（Measure Theory Preliminaries）： 本节为理解勒贝格积分做准备。我们从集合的“可测性”入手，构建了 $sigma$-代数、外测度（Outer Measure）以及最基本的勒贝格测度（Lebesgue Measure）的定义。强调测度的可加性、可加性以及其在描述集合“大小”上的优越性。 第四部分：勒贝格积分的威力与收敛性理论（Lebesgue Integration and Convergence Theorems） 本部分是全书的分析高潮，展示了勒贝格积分如何解决黎曼积分的诸多难题，并为函数空间分析奠定了分析基础。 简单函数与勒贝格积分的构造： 逐步推广积分定义，从指示函数到简单函数，最终定义出非负可测函数的勒贝格积分。随后，利用该积分的单调性与可加性，定义一般可测函数的积分。 核心收敛定理的深入剖析： 本书将详尽阐述和证明勒贝格积分理论的三大支柱： 1. 单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）： 揭示了积分与极限顺序交换的条件。 2. 法图勒引理（Fatou's Lemma）： 作为一个重要的中间工具，揭示了不等式 $int liminf f le liminf int f$ 的精确界限。 3. 占有收敛定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）： 这是应用最广泛的定理，我们通过构造合适的控制函数，展现其在交换极限与积分顺序时的强大威力。 $L^p$ 空间简介： 简要介绍积分函数空间 $L^p$ 的范数定义，并提及闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）在保证这些空间成为完备赋范向量空间（即巴拿赫空间）中的基础性作用。 本书特色： 本书的编写风格注重逻辑的内在一致性与严谨性，同时穿插了对历史背景和现代应用方向的简要讨论，以增强读者的学习兴趣和理论的宏观视野。每一章节后附有大量不同难度层次的习题，旨在巩固概念，并引导读者进行初步的证明构造练习。本书适合数学、物理、工程及经济学等领域中，需要建立扎实分析基础的高年级本科生和研究生使用。

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