Study And Master Mathematical Literacy Grade 12 Learner's Book pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Jakins, Noleen/ Yeo, Deirdre

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:170.00 元

装帧:

isbn号码:9780521695091

丛书系列:

图书标签:

• Mathematical Literacy
• Grade 12
• Learner's Book
• Study And Master
• South Africa
• Education
• Mathematics
• Textbook
• School
• Learning
• CAPS

深入探究：高等数学的精妙与应用 《微积分的几何基础与分析前沿》 本书简介： 本书旨在为有志于深入理解高等数学，特别是微积分理论及其在现代科学、工程、经济学等领域应用的读者提供一份详尽、严谨且富于启发性的指南。我们跳脱出传统教材中仅注重计算技巧的窠臼，将重点放在微积分背后深刻的几何直观、严密的逻辑结构以及其作为分析学基石的核心地位。全书内容涵盖了极限的严格定义、连续性的拓扑内涵、导数的物理意义、积分的累积效应，并进一步延伸至多变量微积分、级数展开、微分方程的定性分析等前沿课题。 第一部分：极限、连续性与收敛性——分析的基石 本部分着力于构建扎实的分析基础。我们从集合论的初步概念入手，详细阐述了 $epsilon-delta$ 语言的严谨性，确保读者能真正把握极限的精确内涵。 （约 250 字） 极限的严格定义与拓扑视角： 讨论极限点的概念，引入邻域、开集与闭集的基础知识，揭示极限在拓扑空间中的普适性。 函数的连续性与一致连续性： 区分点态连续与一致连续性，通过反例阐明后者在保证函数性质一致性上的重要性，特别是对构造积分和求解微分方程的意义。 序列与级数的收敛判别法： 深入探讨柯西收敛准则，全面剖析比值判别法、根值判别法，并着重讲解阿贝尔试验和狄利克雷判别法，用于处理交错级数和条件收敛问题。 第二部分：导数——瞬时变化率的几何表达 导数不仅仅是求斜率的工具，更是描述瞬时变化率、曲线切线与速率变化的本质。本部分强调从几何和物理角度理解导数运算的意义。 （约 300 字） 导数的定义、微分与线性近似： 阐述微分 $dy$ 与 $Delta y$ 的区别，理解导数如何提供最佳线性近似，这是数值方法的基础。 高阶导数与曲率分析： 探讨二阶导数在确定函数凹凸性、拐点以及曲率半径中的关键作用。曲率的计算不仅是几何问题，更是优化和结构稳定性的数学表达。 微分中值定理的深刻洞察： 详细论证罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的几何意义。重点分析它们如何为我们构建积分理论和证明不等式提供理论支撑。 泰勒级数与函数逼近： 深入研究泰勒公式的余项形式（拉格朗日余项与柯西余项），理解如何利用有限项的泰勒多项式来精确逼近复杂函数，这是信号处理和近似计算的核心方法。 第三部分：积分学——累积、面积与功的计算 本部分将积分从简单的面积计算提升到更抽象的“累积量”的概念，涵盖定积分和不定积分的理论联系与实际应用。 （约 350 字） 黎曼积分的构造与可积性： 严格构建黎曼和，讨论上和、下和，并明确哪些函数（如狄利克雷函数）不具备黎曼可积性。引入上积分和下积分的概念，为勒贝格积分做铺垫。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的证明与意义： 详细拆解基本定理的两大命题，阐明定积分与不定积分之间的对偶关系，这是连接微分与积分的桥梁。 广义积分： 探讨无穷区间积分和无界函数积分的收敛条件。通过引入比较判别法和极限比较判别法，系统性地处理收敛与发散的临界情况。 积分的应用拓展： 不仅限于计算面积和体积，还深入到物理学中的质心、转动惯量、功的计算，以及在概率论中计算期望值和分布函数的应用。 第四部分：多变量微积分与场论基础 将单变量分析扩展到高维空间，处理偏导数、多重积分和向量场的分析，这是理解物理世界复杂性的关键步骤。 （约 350 字） 偏导数与方向导数： 区分全微分与偏微分，引入方向导数来描述函数在任意方向上的变化率。理解梯度向量作为函数增长最快方向的几何意义。 隐函数与反函数定理： 深入探讨在多变量情况下，如何确定一个方程组所定义的曲线或曲面是否能够局部地表示为某变量的函数，这在约束优化问题中至关重要。 多重积分的计算技巧： 详细讲解直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的积分转换，特别是雅可比行列式在面积/体积元素变换中的作用。 线积分与面积分（格林、斯托克斯、高斯定理的几何语境）： 介绍保守场、通量、环流的概念，系统阐述三大基本定理，揭示积分在不同维度空间中的内在联系，为电磁学和流体力学奠定数学基础。 第五部分：微分方程与级数解法 本部分关注描述动态系统的数学语言——微分方程，并利用级数方法求解解析解。 （约 250 字） 一阶与高阶常微分方程的求解策略： 系统回顾变量分离法、积分因子法、常数变易法等经典方法，并着重分析线性齐次与非齐次方程的通解结构。 级数解法： 针对不能用初等函数表示解的微分方程（如贝塞尔方程、勒让德方程），详细介绍幂级数法和弗罗贝尼乌斯（Frobenius）方法，计算级数系数，并讨论级数的收敛半径。 稳定性分析的初步： 初步引入相平面分析的概念，利用相图来定性地分析自治微分方程的平衡点类型（结点、鞍点、中心点等），无需求解精确解析解即可把握系统的长期行为。 结论： 本书结构严谨，逻辑清晰，旨在培养读者对数学推理的敏感性，并能熟练运用微积分工具解决跨学科的复杂问题。通过对基本概念的深刻剖析和对高级理论的系统介绍，读者将能够从容应对后续的实分析、复变函数及更深入的数学物理研究。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆