Shape-preserving Approximation by Real and Complex Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gal, Sorin G.

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2008-6

价格:$ 123.17

装帧:

isbn号码:9780817647025

丛书系列:

图书标签:

• Approximation theory
• Polynomial approximation
• Shape-preserving approximation
• Real polynomials
• Complex polynomials
• Numerical analysis
• Mathematical analysis
• Constructive approximation
• Chebyshev systems
• Orthogonal polynomials

这是一本深入探讨数学领域中逼近理论的专著，聚焦于如何在逼近过程中保持函数的几何特性。本书将实数域和复数域中的多项式作为主要的逼近工具，系统性地梳理了这些工具在各种函数逼近问题中的应用，尤其强调了“形状保持”这一关键概念。 在实数域部分，本书首先回顾了经典的多项式逼近理论，如Stone-Weierstrass定理及其推广，为后续的深入探讨奠定基础。随后，它将重点转移到那些能够在逼近过程中保留函数单调性、凸性、不变符号等几何特征的多项式逼近方法。例如，书中会详细介绍诸如Bernstein多项式及其变种在逼近单调函数和凸函数方面的优越性，以及它们如何在曲线和曲面设计中发挥作用。此外，本书还会探讨特定类型的多项式，如样条函数，它们如何通过控制节点和控制点来精确地控制逼近函数的形状，并详细阐述了它们在计算机图形学、数据插值和曲线拟合等领域的广泛应用。对于具有特定几何性质的函数，本书将深入分析如何构造能够精确模仿这些性质的多项式逼近，例如，逼近周期函数时，讨论傅里叶级数与多项式逼近的联系，以及如何通过特定的多项式系列逼近具有尖点或拐点的函数。 进入复数域的逼近，本书将视野扩展到更广阔的复平面。它详细介绍了在复数域中逼近解析函数和亚谐函数（subharmonic functions）的理论。本书会深入剖析诸如Chebyshev逼近、Jackson逼近等在复域中的发展，以及它们如何应用于逼近具有特定解析性质的函数，例如，逼近具有奇点（如极点或分支点）的函数，分析多项式逼近在这些奇点附近的表现。书中将重点阐述如何在复平面上构造多项式逼近，使其能够保留函数的解析性、单值性等关键特征。特别是，对于在单位圆盘或更一般的区域内的函数逼近，本书将详细介绍诸如Szegö曲线、Bergman核等工具的运用，以及它们如何帮助我们理解和控制逼近函数在区域内的行为。本书还会探讨在逼近过程中保持函数的调和性（harmonicity）和亚调和性（subharmonicity）等几何特性，这些概念在复分析和微分几何中有重要应用。例如，书中可能会讨论如何用多项式逼近区域内的调和函数，并分析这些逼近的收敛性和形状保持性质。 贯穿全书的一个重要主题是“形状保持”的度量和分析。本书将介绍各种量化逼近误差的范数，如Lp范数、Chebyshev范数等，并深入研究这些范数如何与函数的几何特性相关联。对于形状保持的量化，书中可能会讨论一些衡量逼近函数与原函数之间“几何相似度”的指标，例如，分析逼近函数与其切线、曲率等几何量的相似程度。本书还将探讨在不同约束条件下，如何最优地选择多项式逼近，以最大化形状保持的效果。 本书的另一重要贡献在于它将理论分析与实际应用紧密结合。除了理论的严谨性，书中还穿梭于各种应用场景，展示了多项式逼近在形状保持方面的强大能力。这些应用可能包括但不限于： 计算机图形学与几何建模： 如何利用形状保持的多项式逼近来绘制平滑、自然的曲线和曲面，例如，在CAD/CAM系统中设计复杂的工程部件，确保其光滑性和预期的形状。 信号处理与数据分析： 在对含噪声的信号或数据进行建模和分析时，如何使用能够保留信号关键特征（如峰值、谷值）的多项式逼近，以实现更准确的数据插值、平滑和去噪。 数值分析与科学计算： 在求解微分方程、积分方程等数学问题时，如何选择合适的形状保持多项式基函数，以获得数值解的稳定性和可靠性，并确保数值解在物理意义上保持原问题的几何特性。 机器学习与模式识别： 在构建分类器或回归模型时，如何利用具有形状保持特性的多项式，来学习和表示数据的内在几何结构，从而提高模型的泛化能力和解释性。 几何处理与可视化： 在对三维模型进行简化、变形或渲染时，如何运用形状保持的多项式方法，以避免几何失真，确保可视化结果的准确性。 本书的目标读者是数学、计算机科学、工程学等领域的学生、研究人员和专业人士。无论您是对逼近理论的最新进展感兴趣，还是希望将多项式逼近技术应用于实际问题，本书都将为您提供宝贵的研究工具和深刻的见解。它不仅是理解逼近理论的入门读物，更是深入探索形状保持分析前沿的权威参考。

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翻开这本书，首先扑面而来的是一种古典的、近乎有些清冷的学术气息。它不像近些年来流行的科普读物那样试图用生动的例子来“软化”复杂的数学概念，而是直截了当地将读者置于问题的核心。我尤其欣赏它在处理理论证明时所展现出的那种“不动声色”的力量。作者似乎并不急于展示多么惊人的新发现，而是耐心地、一步一步地夯实基础，确保读者能够完全掌握逼近理论中那些微妙的、容易被忽略的边界条件和收敛性细节。这种细致入微的打磨，使得全书的论证过程显得无比可靠和坚固。阅读过程中，我深切体会到作者对数学美学的追求，那种形式上的优雅与内在逻辑的严密性达到了完美的统一。虽然某些章节的密度极高，需要反复研读才能真正消化，但正是这种挑战性，才凸显了它作为一本严肃参考书的地位。它更像是一部工具书的深化版本，而非入门指南，其深度足以让那些有一定基础的研究者受益匪浅。

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这本书的语言风格可以说是极度凝练和高效的，没有一句废话，每一个数学符号、每一个定义、每一个定理的陈述都经过了深思熟虑的斟酌。它给我的感觉是，作者已经将所有可能出现的歧义和模糊性都提前剔除干净了。这对于需要精确引用和严格证明的学术研究工作者来说，是莫大的福音。我可以想象，在某个需要快速查阅或验证某个特定逼近性质的时刻，翻开这本书的某个特定章节，能迅速定位到所需的精确表述，而无需在冗长的背景介绍中耗费时间。这种高效性是建立在极其扎实的数学功底之上的，它要求读者必须具备相应的预备知识，否则在阅读的初期阶段可能就会感到吃力。但一旦跨过这道门槛，作者构建的那个多项式逼近的精巧世界便会向你徐徐展开，其内在的和谐与秩序感令人赞叹。

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这本关于“Shape-preserving Approximation by Real and Complex Polynomials”的著作，从其标题就能看出，它瞄准的是一个既传统又极具挑战性的数学领域——多项式逼近。然而，我必须坦白，我的阅读体验更多地集中在它所展现出的那种严谨的学术结构和深度上，而非具体某个定理的推导过程。这本书的结构组织得如同精密的钟表机械，逻辑链条环环相扣，每一个章节的过渡都显得那么自然而然，仿佛作者早已预见到了读者在理解上可能出现的每一个认知盲点。它没有采用那种口语化或故事性的叙事手法，而是坚守着纯粹数学论著的范式，用精确的符号和无可辩驳的论证来构建其理论大厦。对于渴望深入理解逼近论核心思想，尤其是那些对复分析和实分析的交汇点抱有浓厚兴趣的专业人士来说，这本书无疑提供了一个极为扎实的平台。它的价值在于其体系的完备性，而非仅仅罗列某几个孤立的成果。那种步步为营、层层递进的写作风格，要求读者必须全神贯注，任何一丝走神都可能导致后续内容的理解出现断裂。这种对知识纯度的坚持，是它最显著的特征之一。

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这本书给我的印象是，它是一部为专业人士精心打造的、具有持久价值的学术典籍。它的价值不在于提供最新的、爆炸性的研究前沿，而在于它对经典理论进行了深度的、结构性的梳理和提炼。阅读它，更像是一次与数学先贤们在思想层面上的对话，充满了对基础和严谨性的尊重。它不会用花哨的图表来分散注意力，所有的力量都汇聚在了文字和符号本身所蕴含的数学真理之上。对于那些习惯于在纯粹的符号世界中遨游，并从中寻求秩序与美的学者来说，这本书提供了一种久违的、令人安心的阅读体验——在这里，一切都必须被逻辑所支撑，一切都必须是可验证的。它所倡导的这种对精度和形式完美的追求，是其最深刻的价值体现。

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从整体布局来看，该书的章节划分体现了一种清晰的层次感，它似乎是围绕着几个核心的、相互关联的“基石”问题来组织内容的。我注意到，作者在不同部分之间建立了一种隐秘的联系网络，使得全书并非是松散的知识点的堆砌，而是一个有机的整体。每一次从一个技术细节的讨论过渡到更宏观的理论视角时，都会有一种豁然开朗的感觉。这与其说是关于“实”与“复”多项式的简单并列，不如说是对它们在逼近特性上的深刻对比和融合的探讨。这种对比的艺术，体现在对不同距离空间下收敛速率的精妙分析之中。它迫使读者不仅要理解“如何做”，更要思考“为什么是这样”，是对理论背后驱动力的深层探究。对于希望构建自己研究框架的后来者而言，这种结构上的示范价值是不可估量的。

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