具体描述
In the past three or four decades, there has been increasing realization that metric foliations play a key role in understanding the structure of Riemannian manifolds, particularly those with positive or nonnegative sectional curvature. In fact, all known such spaces are constructed from only a representative handful by means of metric fibrations or deformations thereof. This text is an attempt to document some of these constructions, many of which have only appeared in journal form. The emphasis here is less on the fibration itself and more on how to use it to either construct or understand a metric with curvature of fixed sign on a given space.
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用户评价
这本书的叙事风格非常独特，它采用了一种近乎历史回溯的方式来构建关于“度量”的理论体系。从古典微分几何中对曲率的直观理解出发，逐步引入现代数学的严密框架，这种循序渐进的引导非常贴合一个学习者的认知过程。书中对 Finsler 几何和 Finsler 度量在非对称空间中的应用进行了大量的篇幅介绍，这部分内容在很多主流教材中常常被一笔带过，但在这里却得到了充分的展开和细致的分析。我特别喜欢作者在介绍复杂定理时，总能穿插一些历史背景或动机的描述，这使得冰冷的公式背后有了鲜活的“人味”。它让我意识到，这些看似抽象的工具，实际上是为了解决那些非常具体的、关于空间测量的根本性问题而诞生的。对于希望拓展知识边界，不满足于标准黎曼几何框架的读者，这本书提供了非常丰富的土壤。
评分我被这本书中对“边界”和“奇异性”处理的哲学思辨所深深吸引。作者没有回避那些在经典几何中往往被视为麻烦的局部退化区域，反而将这些奇异点视为理解整体结构的关键切入点。书中关于度量空间的极限过程和对 Gromov-Hausdorff 距离的深入探讨，展示了度量几何如何从光滑的流形概念延伸到更广阔的、允许拓扑变化的度量空间。这种广义视角的引入，极大地拓宽了我对“距离”和“形状”的理解。它促使我重新思考，在一个无限小的邻域内，我们所定义的曲率，究竟能告诉我们关于这个空间多大的信息量。对于那些对几何的“健壮性”和“稳定性”感兴趣的研究者来说，这本书无疑提供了许多深刻的思考素材。
评分这本书的排版和符号系统设计得相当考究，虽然内容本身已属高深，但清晰的符号定义和一致的行文习惯，极大地减轻了阅读的负担。在涉及到大量高阶微分形式和张量分析的部分，作者的表示法非常简洁有力，避免了冗余的下标和指标运算，使人能够更专注于背后的几何直觉。其中关于如何通过引入新的“势函数”来对原有的度量进行规范化处理的章节，简直是教科书级别的示范。这种方法论上的严谨性，不仅仅停留在理论推导上，更体现在它对潜在计算复杂性的预见与规避。总的来说，对于那些习惯于使用现代数学语言进行精确表达的读者而言，这本书的阅读体验是极其顺畅的，它用最有效率的方式传达了最复杂的信息。
评分我必须承认，这本书的阅读体验是极具挑战性的，但其回报也相应巨大。它不像许多入门读物那样，将复杂的定理和证明简化到失去其原有韵味，而是力求保持数学论证的完整性和严谨性。初读时，那些关于辛流形上的李群作用及其不变测度的讨论，让我感到有些吃力，仿佛在迷雾中摸索。然而，随着我耐下性子，反复咀嚼每一个定理的先决条件和结论，一种豁然开朗的感觉油然而生。作者在处理拓扑流形上的“光滑性”与“可积性”之间的微妙关系时，所采用的论证技巧令人拍案叫绝。特别是关于如何利用特定的度量来“驯服”那些原本病态的几何结构，书中提供的构造性证明，不仅严密，而且充满了启发性。这本书更适合作为研究生阶段的深度参考资料，而非本科生的第一本教材。
评分这本关于度量微分几何的专著简直是一场智力上的冒险。作者以一种近乎诗意的笔触，将那些抽象的、原本令人望而生畏的数学概念，层层剥开，展露出其内在的和谐与美感。我尤其欣赏他对黎曼几何中曲率张量定义的细致梳理，那种从局部坐标变换下的不变量性，逐步过渡到整体测地线行为的洞察力，实在是精妙绝伦。书中对拓扑学与微分几何交叉领域的探讨，如陈-西蒙斯理论在某些特定空间上的体现，展现了作者深厚的学术功底。它不仅仅是一本教科书，更像是一份邀请函，邀请读者深入探究流形上的度量结构如何决定其内在的几何特性。对于那些已经掌握了基础微分几何，渴望在更深层次上理解“弯曲”的本质的读者来说，这本书无疑是极具价值的指南。那种沉浸在纯粹的数学美学中的感觉，让人难以自拔。
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