Basic Probability Theory (Dover Books on Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Robert B. Ash

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2008-06-26

价格:USD 19.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486466286

丛书系列:Dover Books on Mathematics

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数学的基石：概率论入门 概率论，作为现代科学和工程学中不可或缺的数学工具，其重要性不言而喻。它提供了一套严谨的框架，用于理解和量化不确定性，从日常生活的随机事件到复杂的科学模型，都离不开概率论的指引。本书将带领读者踏上一次严谨而深刻的概率论探索之旅，为理解更高级的数学概念和应用打下坚实的基础。 本书旨在为对数学有一定基础，但对概率论尚不熟悉的读者提供一个全面而清晰的入门。我们将从最基本的概念讲起，逐步深入到概率论的核心理论。内容涵盖： 第一部分：概率的基本概念与公理化 随机事件与样本空间： 我们将首先定义何谓随机事件，以及构成所有可能结果的集合——样本空间。通过对这些基本元素的理解，读者将能够清晰地描述和分析各种随机现象。我们会探讨确定性事件、随机事件以及不可能事件的区别，并通过大量的例子来说明如何构建和理解样本空间。 概率的定义与性质： 接着，我们将介绍概率的几种经典定义：古典概率、统计概率和公理化概率。重点将放在公理化概率，即科尔莫哥洛夫公理体系，这是现代概率论的基石。我们将详细阐述概率的三个基本公理，并由此推导出概率的各种重要性质，如非负性、可加性、互斥事件概率相加等。这些性质构成了我们进行概率计算的基础。 条件概率与独立性： 在许多实际问题中，我们关心的是在某个事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率，这就是条件概率。我们将深入探讨条件概率的计算方法，并介绍贝叶斯定理，这一强大的工具在统计推断和机器学习领域有着广泛的应用。同时，我们也将区分条件概率与事件的独立性，理解独立性对于简化概率计算的重要性。 第二部分：随机变量及其分布 随机变量的定义与分类： 随机变量是将随机试验的结果映射到数值的函数。我们将区分离散型随机变量和连续型随机变量，并分别介绍它们的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。 常见的离散分布： 本部分将详细介绍几种重要的离散概率分布，包括： 伯努利分布 (Bernoulli Distribution): 描述单次独立试验，只有两种可能结果（成功或失败）的情况。 二项分布 (Binomial Distribution): 描述在n次独立的伯努利试验中，成功的次数。 泊松分布 (Poisson Distribution): 描述在固定区间内（时间或空间）发生某个事件的次数，常用于描述稀有事件的发生频率。 几何分布 (Geometric Distribution): 描述首次成功所需的试验次数。 负二项分布 (Negative Binomial Distribution): 描述达到r次成功所需的试验次数。 超几何分布 (Hypergeometric Distribution): 描述在不放回抽样中，从有限总体中抽取样本时，某个特定类型的样本数量。 常见的连续分布： 紧接着，我们将深入探讨几种重要的连续概率分布： 均匀分布 (Uniform Distribution): 描述在给定区间内，所有可能结果等概率出现的分布。 指数分布 (Exponential Distribution): 描述事件发生之间的时间间隔，与泊松过程密切相关。 正态分布 (Normal Distribution) / 高斯分布 (Gaussian Distribution): 被誉为“概率论的皇冠”，在自然科学和社会科学中无处不在，具有对称的钟形曲线。我们将详细介绍其概率密度函数、期望、方差以及重要的正态性（或称高斯性）性质。 卡方分布 (Chi-Squared Distribution): 在统计推断，特别是假设检验中扮演着关键角色。 t分布 (Student's t-distribution): 在样本量较小的情况下，用于估计总体均值的置信区间和进行假设检验。 F分布 (F-distribution): 常用于方差分析（ANOVA）和比较两个总体的方差。 第三部分：期望、方差与矩 期望 (Expectation/Expected Value): 期望值是随机变量取值的加权平均，代表了随机变量的“平均”值。我们将介绍如何计算离散型和连续型随机变量的期望，并探讨期望的线性性质，这是分析复杂随机过程的重要工具。 方差 (Variance) 与标准差 (Standard Deviation): 方差衡量了随机变量的离散程度，即其取值围绕期望值的散布情况。我们将介绍方差的计算公式，以及标准差作为方差的平方根，在解释数据离散性时更为直观。 矩 (Moments): 矩是描述概率分布形状的重要统计量，包括原点矩（期望是其一阶原点矩）和中心矩（方差是其二阶中心矩）。我们将介绍高阶矩如何提供关于分布偏度和峰度的信息。 第四部分：多维随机变量与联合分布 联合概率分布： 许多实际问题涉及多个随机变量同时取值的情况。我们将引入联合概率质量函数和联合概率密度函数，以及边缘概率分布，用于描述单个随机变量的分布。 协方差 (Covariance) 与相关系数 (Correlation Coefficient): 协方差衡量了两个随机变量之间线性关系的强度和方向。相关系数将其标准化，使其取值范围在-1到1之间，便于比较不同变量对的线性关系。 条件期望： 在已知一个随机变量取值的情况下，另一个随机变量的期望。 第五部分：极限定理 大数定律 (Law of Large Numbers): 这一重要定理表明，随着试验次数的增加，样本均值会趋近于真实期望值。我们将区分弱大数定律和强大数定律。 中心极限定理 (Central Limit Theorem): 这是概率论中最具影响力的定理之一。它指出，无论原始分布如何，大量独立同分布的随机变量之和（或均值）的分布近似于正态分布。我们将探讨其理论意义和在统计推断中的巨大价值。 本书的编写风格旨在清晰、严谨且易于理解。我们将在各个章节中穿插大量的例题，帮助读者巩固所学概念，并展示概率论在各个领域的应用潜力，例如在统计学、金融学、物理学、计算机科学以及工程学等。通过学习本书，读者将能够： 精确地描述和分析随机现象。 熟练运用概率的公理化框架进行推导和计算。 理解并应用各种重要的概率分布。 掌握期望、方差等核心统计量在理解随机变量性质中的作用。 领略大数定律和中心极限定理的强大力量。 本书是深入探索概率论世界的绝佳起点。无论您是希望为未来的统计学、数据科学或任何量化领域打下坚实基础的学生，还是对理解不确定性背后的数学原理感兴趣的研究者，本书都将是您宝贵的资源。让我们一起开启这段激动人心的概率之旅！

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坦率地说，如果你期望在这本书中找到关于大数定律或中心极限定理的现代测度论证明，你可能会感到失望。作者采用的是更早期的、基于依概率收敛和平方可积性的证明路线，这在严谨性上自然不如后来的版本。然而，这种“不那么严谨”恰恰是它的一大优势——它使得这些核心定理的物理意义和直观含义被最大化地凸显了出来。书中对中心极限定理的阐述，大量依赖于对特征函数的几何解释，而不是繁琐的代数操作。这使得读者能够更早地体会到，为什么高斯分布在自然界中如此普遍，以及它在信息论和误差分析中的核心地位。我个人最欣赏的一点是，作者在介绍收敛概念时，非常注重区分不同的收敛类型（依概率、依分布、几乎必然），并用具体的例子展示了它们之间的微妙差别。这种对细节的关注，确保了读者在面对后续更复杂的随机分析时，不会混淆这些至关重要的基础概念。这本书的价值，在于它提供了一个坚实、直观且富有历史深度的概率论起点，一个让你真正爱上这门学科的引路人。

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翻开这本书的扉页，我立刻感受到了一种不同于当下流行的、那种冷峻的、高度形式化的数学论证风格。作者似乎更像一位睿智的导师，而非冷冰冰的公式集合的编纂者。书中对于条件概率和贝叶斯定理的阐述，简直可以用“教科书式的美妙”来形容。作者没有将贝叶斯公式当作一个生硬的结论抛出，而是通过一系列复杂的、但又环环相扣的决策场景，逐步展示了信息更新在概率框架下的自然演化过程。尤其是在处理那些涉及先验知识和观测数据相互作用的问题时，那种逻辑推演的流畅性令人叹服。我记得有一章专门讨论了如何从有限样本中推断无限总体，虽然没有涉及太多的极限理论，但那种对“不确定性管理”的哲学思考却贯穿始终。这种强调思维逻辑而非纯粹计算技巧的写作风格，使得这本书不仅仅是一本工具书，更像是一次思维方式的训练。对于那些希望真正理解概率如何作用于现实世界的决策制定者而言，这本书提供的框架远比那些只关注如何快速计算期望值的现代教材要深刻得多。读完相关章节后，我感觉自己对日常生活中遇到的许多“黑天鹅”事件的理解，都多了一层理性的滤镜。

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这本书的排版和图示风格，带着一种浓厚的上世纪中叶的学术气息，这反而成了一种独特的魅力。字体和行间距的设计，使得长时间阅读时，眼睛的疲劳感远低于那些塞满了公式和符号的现代教科书。更重要的是，书中在每一节末尾设置的那些挑战性的思考题，其目的似乎并非仅仅是为了测试知识点的掌握，更多的是引导读者去探索理论的边界和局限性。我记得有一组关于极值理论的习题，它们不要求计算复杂的积分，而是要求读者用文字描述在何种情况下，样本最大值的分布会呈现出特定的渐进行为——这是一种对数学直觉的深度挖掘。这种“少即是多”的教学哲学，体现在作者对复杂理论的克制使用上。他巧妙地避开了许多在当时尚未完全成熟的理论工具，而是聚焦于最核心、最稳定、最能体现概率论本质的那些概念。因此，这本书更像是一部关于“概率思维方式”的哲学著作，而不是一本纯粹的计算手册，对于希望提升理论洞察力的读者来说，它提供了宝贵的滋养。

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这本《概率论基础》的初版，虽然在当今的数学体系中可能显得有些年代感，但它依然闪耀着经典教材的光芒。我尤其欣赏作者在引入随机变量概念时的那种循序渐进的引导方式，它不像一些现代教材那样急于展示复杂的工具箱，而是将基础的概念扎实地铺陈开来。阅读体验中，最让我感到惊喜的是那些精心挑选的例子，它们大多来源于物理学和早期的统计实践，那种朴素的直观性对于初学者建立对概率世界的初步认知至关重要。比如说，关于伯努利试验的讨论，作者没有直接堆砌二项分布的公式，而是通过掷硬币的物理模型，一步步推导出极限情况下的规律。这种“从具体到抽象”的教学路径，极大地降低了理解难度。当然，对于习惯了现代测度论背景的读者来说，书中对“可测集”和“$sigma$-代数”的处理会显得略微宽松，但这恰恰是它作为一本“基础”读物价值所在——它避免了早期学习者被高深的泛函分析概念所困扰，让他们能够专注于概率思维本身。整体而言，它为读者打下了一个极其坚固的、侧重于直觉理解的概率基石，是数学系学生入门的绝佳选择，尽管可能需要配合其他资料来弥补现代测度论的严格性。

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对于一个在研究生阶段才接触概率论的理工科背景人士来说，这本书的阅读体验简直像是一次回归本源的朝圣之旅。它最引人注目的地方，在于它对“随机过程”早期思想的铺垫，尽管它没有深入到现代随机过程的全部复杂性。作者在介绍马尔可夫链时所采用的图解和状态转移的直观描述，远比我之前读过的任何一本教材都要清晰。他们似乎非常注重让读者“看到”随机性在时间维度上的流动。我特别喜欢书中对游走问题的处理，那些经典的边界条件和吸收态的分析，在作者的笔下展现出一种近乎艺术的美感，让人不禁联想到物理学中的扩散现象。然而，这也恰恰暴露了其时代局限性：在处理连续时间过程和更精细的鞅论基础时，显得力不从心。但即便如此，这本书为我们理解现代随机过程的“离散骨架”提供了不可替代的视角。它强迫读者慢下来，去感受每一个时间步之间的依赖关系，而不是直接跳到伊藤积分的复杂性中去。对于想打牢随机过程基础的读者，这本书的早期章节是极好的精神按摩。

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