Introduction to the Theory of Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Harold N. Shapiro

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:2008-8-8

价格:USD 24.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486466699

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 理论数论
• 数学
• 高等数学
• 入门
• 教材
• 经典
• 数学分析
• 整数
• 密码学

奇妙数字世界的探索之旅 这是一本带领您踏入数论宏伟殿堂的入门指南，它将唤醒您对数字之间深邃联系的好奇心，并为您揭示隐藏在简单算术运算背后的数学之美。本书的目标并非 exhaustive 地罗列所有数论分支的定理和证明，而是旨在为您构建一个坚实的理解基础，让您能够独立地探索这个迷人的数学领域。 我们将从最基本也最令人着迷的整除性概念出发。您将深入理解素数的神奇特性——它们是构建所有正整数的基石，并且它们的存在方式是如此的独特和难以预测。我们将探讨算术基本定理，它如同数学的“元素周期表”，揭示了每个整数都可以被唯一地分解成素数的乘积。在此基础上，我们将学习各种整除性判别法，掌握判断一个数能否被另一个数整除的技巧，以及最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的概念，并学习欧几里得算法等高效计算方法。 随着我们对整除性的理解不断加深，我们将进入同余理论的领域。同余关系，用 $a equiv b pmod{m}$ 来表示，将整除性从两个数之间的关系扩展到模 $m$ 意义下的等价关系。您将学习同余的基本性质，理解模运算的规则，并解决一系列由同余方程组成的线性同余方程组。中国剩余定理将是这一部分的重头戏，它为我们提供了一种解决多个模数下线性同余方程组的方法，其应用范围广泛，从古代的计数问题到现代的密码学都有涉猎。 接下来，我们将探索数论函数。这些函数将整数作为输入，输出也是整数，但它们能够捕捉到数字的某些深刻属性。我们将认识欧拉 $phi$ 函数，它统计了小于等于给定正整数且与该数互质的正整数的个数，并揭示了它与欧拉定理之间的紧密联系。我们还将介绍莫比乌斯函数，它在容斥原理和素数定理的证明中扮演着关键角色。您将学习如何计算这些函数的取值，并理解它们之间的关系。 本书还将引导您领略平方剩余的奇妙世界。当一个整数 $a$ 存在一个整数 $x$ 使得 $x^2 equiv a pmod{p}$ （其中 $p$ 是素数）时，我们就说 $a$ 是模 $p$ 的平方剩余。我们将学习勒让德符号和雅可比符号来表示和计算平方剩余，并深入探讨二次互反律，这是数论中最美丽、最深刻的定理之一，它揭示了不同素数模数下平方剩余性质之间的对称性。 此外，我们还会涉及一些其他重要的数论主题，例如： 数论中的方程：我们将探讨一些著名的丢番图方程，即系数和变量都为整数的方程，并学习寻找其整数解的方法。毕达哥拉斯方程 $x^2 + y^2 = z^2$ 将是其中一个有趣的例子。 一些特殊类型的数：我们将介绍完全数、亏数、丰数、梅森素数、费马素数等具有特殊性质的数字，并探讨它们的一些已知特性和尚未解决的猜想。 素数分布的初步探讨：虽然不深入研究，但我们会初步接触素数定理的概念，了解素数的分布规律并非完全随机，而是存在某种统计上的规律性。 本书的语言力求清晰易懂，避免使用过于专业的术语，同时辅以大量的例子和练习题，帮助您巩固所学知识。我们相信，通过阅读本书，您不仅能掌握数论的基本工具和思想，更能培养严谨的数学思维，激发您对数学探索的持久热情。无论您是数学专业的学生，还是对数字世界充满好奇的爱好者，这本书都将是您开启数论之旅的理想起点。准备好迎接一场关于数字的思维盛宴吧！

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这本书的习题设计简直是一场智力的“马拉松”，绝非那种应试教育中为了凑数而设置的机械计算题。这里的每一道练习题，都像是对前文所学知识的一次深度挖掘和灵活应用，很多题目本身就蕴含着尚未在正文中明确阐述的拓展性思想。它们往往要求读者将多个看似不相关的定理进行巧妙的组合与转化，从而导出一个全新的结论。解决这些问题需要极大的耐心和对细节的敏感度，很多时候，一个错误的符号或一个忽略的特殊情况，就会导致整个证明链条的崩塌。我发现，很多时候，费尽心力解开一道难题后，那种豁然开朗的成就感，远超单纯听课或阅读文本带来的满足。这才是真正的“做数学”，而不是“学数学”。对于希望将理论转化为实践、磨砺自身分析能力的读者而言，这些习题集的价值几乎是等同于正文的，它们是检验和深化理解的终极试炼场。它们沉默地站在那里，挑战着每一个声称理解了前面内容的读者。

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这本书的写作风格极其古典和严谨，它不像某些现代教材那样，喜欢用大量的比喻和生活中的例子来“稀释”抽象的概念，而是直接、有力地切入核心。作者似乎坚信，真正的数学之美就蕴含在那冰冷、精确的逻辑链条之中，任何不必要的润饰都是对真理的削弱。初读时，那种扑面而来的学术气息可能会让人感到一丝压力，特别是对于那些初次接触数论领域的读者来说，那些密集的定义和不加解释的跳跃性推理，确实需要读者具备一定的数理基础和极强的逻辑跟随能力。但一旦你适应了这种“冷峻”的叙事节奏，你会发现它的逻辑结构是如此的密不透风、环环相扣。作者几乎是将证明过程当作一首需要精确吟诵的诗歌来对待，每一个步骤都不可或缺，每一个前提都必须被明确指出。这种毫不妥协的严密性，迫使读者必须全神贯注，不能有一丝一毫的走神。对于那些渴望深入理解数学底层架构、不满足于“知道怎么算”而追求“为什么是这样”的求知者来说，这种直击本质的叙述方式，无疑是最珍贵、最令人信服的。

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这本书在数学符号的使用上，保持了一种近乎苛刻的专业标准，这种专业性对于希望未来在纯数学领域深耕的读者来说，是极其宝贵的训练。作者几乎从不使用任何可能引起歧义的简写或非标准记号，每一个希腊字母、每一个上标和下标，都有其明确且固定的数学含义，并且在首次出现时都得到了清晰的定义。这确保了读者在阅读复杂推导时，可以将全部精力集中在逻辑推理本身，而不是在猜测作者符号含义上浪费脑力。更令人赞赏的是，书中对一些历史上有过争议或不同流派采用不同记法的概念，都给出了明确的注释或采取了主流的、最无歧义的表达方式。这种对精确性的执着，使得这本书成为了一份可靠的、可以作为参考标准的资料。它培养的不仅仅是计算能力，更是一种对符号语言的敬畏之心和对清晰表达的极致追求，这对于任何严肃的学术工作者来说，都是一种无形的财富。

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这本书的封面设计简直是教科书中的一股清流，那种沉稳的墨绿色搭配上烫金的字体，透露出一种历经岁月沉淀的学识感，而不是那种浮夸的、试图用花哨设计来吸引眼球的当代设计风格。我拿到手的时候，光是摩挲那略带纹理的封面纸张，就已经觉得心情平静了下来，仿佛预示着接下来要阅读的知识是如此的坚实可靠。装帧质量也毋庸置疑，线装的工艺让它即便在长时间的翻阅和标注后，书页依然能平整地摊开，这对于需要对照查阅公式和定理的读者来说，简直是福音。内页的纸张选择了偏暖的米黄色，最大限度地减少了长时间阅读带来的视觉疲劳，这无疑是出版商在用户体验上花了心思的体现。至于排版，那真是无可挑剔，数学符号的间距、公式的缩进，都遵循着最严格的印刷标准，每一个小小的细节都体现了对数学美学的尊重。翻开扉页，那清晰而典雅的衬线字体，如同老派学者的手稿，让人立刻进入了一种专注、严谨的阅读心境。我甚至能闻到新书特有的那种油墨与纸张混合的独特气味，这种气味本身就带着一种知识即将被吸收的仪式感。这种对物理形态的极致追求，使得每一次拿起它都像是在进行一次严肃的学术交流，而不是简单地翻阅一本工具书。

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在内容组织上，这本书的脉络安排显示出作者对学科历史和逻辑发展有着深刻的洞察力。它不是简单地罗列定理和公式，而是将理论的构建过程设计成一条清晰的时间轴。你会清晰地看到某个概念是如何从一个朴素的猜想到被逐步完善、最终纳入严密的数学体系的。书中对数论中一些经典问题的引入，比如素数分布的探索，不是以教科书式的平铺直叙开始，而是常常以一个引人入胜的历史背景或是一个看似简单的悖论作为起点，瞬间抓住了读者的好奇心。这种叙事手法极大地增强了学习的连贯性和趣味性，让读者在学习的过程中，不仅获得了知识，更像是参与了一场跨越时空的数学思想的对话。每一个章节的过渡都显得自然而然，仿佛是自然界中水流汇集成江河的过程，毫无滞涩之感。即便是那些看似偏僻或深奥的子领域，作者也能将其巧妙地嵌入整体框架中，展现出数论这一学科的宏大与统一性。这种精心的编排，体现了作者极高的教学智慧，确保读者在攀登知识高峰时，每一步都踩在坚实的基石上。

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