Dimension and Recurrence in Hyperbolic Dynamics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Barreira, Luis

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2008-8

价格:$ 111.87

装帧:

isbn号码:9783764388812

丛书系列:Progress in Mathematics

图书标签:

• 动力系统
• 超双曲动力学
• 维度理论
• 重现定理
• 遍历理论
• 李普希茨连续性
• 拓扑动力学
• 测度论
• 几何动力学
• 熵理论

《维度与周期性：非线性动力学中的深刻洞察》 在这本厚重的著作中，我们将深入探索非线性动力学世界的迷人奥秘，特别是维度和周期性这两个核心概念在其中扮演的至关重要的角色。本书并非对某一特定领域进行狭隘的聚焦，而是致力于构建一个宏观的视角，展现维度和周期性如何渗透到各种动力学系统之中，并为我们理解这些系统的行为模式提供深刻的洞察。我们将沿着一条引人入胜的学术之旅，穿越数学、物理学、生物学乃至更广阔的科学领域，揭示这些看似抽象的概念如何在现实世界中显现其强大的解释力。 第一部分：维度的多重面貌——从几何到信息 我们将从“维度”这一概念的根本意义出发，逐步拓展其内涵。在基础数学层面，我们将回顾经典的欧几里得几何中的维度定义，理解点、线、面、体的基本属性。随后，我们将迈入更抽象的空间，探索拓扑学中不变量的概念，以及分形几何为我们揭示的非整数维度——“分形维度”。这里，我们将深入探讨如何量化一个不规则集合的复杂性，以及这种非整数维度如何在自然界中普遍存在，例如海岸线的蜿蜒曲折、雪花的精巧结构，甚至云朵的飘渺形态。 本书将特别强调“吸引子”在动力学系统中的维度意义。我们将分析吸引子是如何将系统的长期行为“收敛”到某一特定区域的，并探讨不同类型的吸引子所蕴含的维度信息。例如，点吸引子代表系统趋于稳定，其维度为零；周期轨道代表系统在有限的几个状态之间循环，其维度为一；而奇怪吸引子，作为混沌动力学系统的标志，则常常展现出非整数的分形维度，这正是系统表现出不可预测性但又具备某种内在结构的证据。我们将通过具体的数学模型和数值模拟，直观地展现这些不同维度的吸引子如何塑造系统的演化轨迹。 更进一步，我们将探讨维度在信息论和复杂性科学中的应用。一个系统的维度越高，通常意味着其状态空间越大，信息含量越高，其行为也越难以预测。我们将讨论如何利用维度来度量一个系统的复杂度，以及如何理解信息如何在不同维度的系统中传播和演化。例如，在信息网络中，节点的连接方式构成了系统的“结构维度”，这直接影响着信息传递的效率和鲁棒性。在认知科学中，我们的大脑被认为是高度复杂的系统，其“认知维度”可能与神经元网络的连接模式及其激活的动态模式相关。 第二部分：周期性的韵律——从规律到不可预测 periodicity，即周期性，是自然界中最普遍也最令人着迷的现象之一。我们将从最基础的周期性概念入手，回顾傅里叶分析如何将复杂的周期性信号分解为简单的正弦波叠加，从而揭示其内在的频率成分。我们将分析振荡器模型，如阻尼振子和驱动振子，理解为什么这些系统会表现出周期性的行为，以及外部驱动和阻尼力如何影响其周期和幅度。 本书将深入探讨“极限环”的概念，这是周期性在连续时间动力学系统中的一种重要表现形式。我们将研究极限环的稳定性，理解为什么系统一旦进入极限环，就会在其上稳定地循环往复。我们将分析各种产生极限环的机制，例如自激振荡，它在电子学、生物节律（如心跳和呼吸）以及生态系统中都扮演着关键角色。 然而，周期性并非总是完美的规律。我们将揭示“类周期性”和“准周期性”现象，即系统在长周期内呈现出近似的规律性，但并非严格地重复。这种现象在许多复杂的自然系统中普遍存在，例如行星的轨道运动，或者某些生物的生长节律。我们将探讨这些类周期性行为的产生机制，以及它们与完全周期性行为之间的细微差别。 最令人兴奋的是，我们将进入“混沌”的领域，并探讨周期性如何在混沌系统中以一种截然不同的方式出现。在混沌系统中，虽然长期行为不可预测，但短期内仍然可能存在局部的周期性结构。我们将深入研究“周期窗口”和“周期倍增”现象，理解混沌系统是如何从简单的周期性行为演化而来，以及在特定的参数范围内，如何重新涌现出有序的周期性。我们将通过著名的逻辑斯蒂映射等离散动力学模型，直观地展示这些从有序到混沌，再到部分有序的奇妙转变。 第三部分：维度与周期性的交织——混沌动力学的核心 本部分将是本书的重点，我们将深入探讨维度和周期性如何在混沌动力学系统中相互交织，形成其独特而迷人的特性。我们将详细阐述“奇怪吸引子”，理解为什么它们拥有非整数的分形维度，以及这种维度如何反映了系统状态空间的无限复杂性和局部结构的自相似性。我们将分析著名的洛伦兹吸引子和 Rössler 吸引子，深入理解它们的几何形状和动力学演化过程，以及它们所展现出的维度特征。 我们将重点研究“李雅普诺夫指数”，这是一种量化系统对初始条件敏感性的关键指标。李雅普诺夫指数的符号和大小直接关联着系统的混沌程度和维度。正的李雅普诺夫指数意味着微小的扰动会在指数级增长，从而导致系统的不可预测性，而这通常与高维度的吸引子紧密相关。我们将学习如何计算李雅普诺夫指数，并理解它在区分周期性、准周期性和混沌行为中的核心作用。 本书还将深入探讨“相空间重构”这一重要技术。当我们只能观测到动力学系统的一个或几个变量时，如何利用延迟嵌入等方法，在相空间中重构出系统的真实吸引子，并从而估计其维度和揭示其周期性特征？我们将详细介绍这些技术，并展示它们在分析真实世界数据中的强大应用，例如在天气预报、金融市场分析和生理信号处理等领域。 此外，我们将探讨维度和周期性在“稳定性理论”中的应用。我们将学习如何分析一个动力学系统在不同参数下的稳定性，以及吸引子的维度和吸引子上的周期性行为如何影响系统的长期稳定性。我们将研究“分岔”现象，即当参数发生微小变化时，系统的吸引子结构发生突变，可能从一个稳定吸引子分岔出多个吸引子，或者从周期性行为分岔出混沌行为。 第四部分：跨领域的影响——维度与周期性的普适性 在本书的最后部分，我们将跳出纯粹的数学和物理学范畴，展示维度和周期性在各个科学分支中的广泛应用和深刻启示。 在生物学中，我们将探讨细胞振荡、基因调控网络的周期性，以及神经网络的动态模式。我们将分析生物节律的维度特征，以及某些疾病是否与神经动力学系统的维度异常有关。例如，癫痫发作是否与神经网络状态空间中吸引子维度的变化有关？ 在生态学中，我们将考察种群数量的周期性波动，例如捕食者与猎物的周期性循环，以及这些周期性行为的稳定性。我们将探讨生态系统的复杂性如何通过其吸引子维度来衡量，以及环境变化如何影响生态系统的周期性和吸引子结构。 在经济学和金融学中，我们将分析股票市场的价格波动，研究是否存在周期性规律，以及混沌理论和维度分析如何帮助我们理解市场的非线性行为。我们将探讨金融危机是否与金融系统的吸引子维度发生急剧变化有关。 在工程学中，我们将看到周期性振动在机械设计中的重要性，以及如何通过控制系统的维度来避免共振和提高系统的鲁棒性。我们将讨论在控制理论中，如何利用吸引子维度来设计更有效的控制器，以应对复杂和非线性的系统。 总而言之，《维度与周期性：非线性动力学中的深刻洞察》将带领读者进行一次深刻的学术探索，从最基础的概念出发，逐步深入到混沌动力学的核心，并最终展示维度和周期性这两个基本概念在理解和解释复杂世界中的普适性和强大力量。本书将为那些对非线性动力学、复杂性科学以及科学研究的跨学科方法感兴趣的读者提供宝贵的知识财富。

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