Exponential Diophantine Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Shorey, T. N./ Tijdeman, R.

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 66.67

装帧:

isbn号码:9780521091701

丛书系列:

图书标签:

• 丢番图方程
• Diophantine equations
• Exponential equations
• Number theory
• Algebraic number theory
• Transcendental number theory
• Integer solutions
• Polynomial equations
• Mathematical analysis
• Arithmetic geometry
• Computational number theory

探寻整数的奥秘：整除性、同余与数论的迷人世界 本书将带领读者踏上一段令人着迷的探索之旅，深入理解数论的核心概念——整数方程的解法。我们不会局限于某个特定的方程类型，而是将目光投向更广阔的数学天地，揭示那些看似简单却蕴含着深邃智慧的整除性、同余以及由此衍生出的各类方程。 第一部分：整除性的基石 在数学的宏伟殿堂中，整数是最古老、最基础的构件之一。而“整除性”，即一个整数能否被另一个非零整数整除而无余数，则是理解整数性质的起点。本部分将从最基本的定义出发，系统地梳理整除性的概念。我们将学习到： 整除的定义与性质： 深入理解 $a|b$ (a整除b) 的含义，以及由此产生的传递性、加法与乘法性质等。例如，如果 $a|b$ 且 $b|c$，那么 $a|c$；若 $a|b$ 且 $a|c$，那么 $a|(bx+cy)$ 对任意整数 $x, y$ 都成立。这些基础性质将是我们解决后续问题的有力武器。 最大公约数 (GCD) 与最小公倍数 (LCM)： GCD 和 LCM 是两个整数之间关系的重要度量。我们将探讨欧几里得算法，一种高效计算 GCD 的方法，并利用 GCD 的性质推导出 LCM 的计算公式。GCD 的存在性、唯一性以及它在分解整数中的作用将得到充分阐述。 素数与算术基本定理： 素数，即大于1且只能被1和自身整除的自然数，是构成所有整数的基本“积木”。我们将学习素数的定义、性质，并重点介绍算术基本定理：任何大于1的整数都可以唯一地分解成素数的乘积（不计因子的顺序）。这将帮助我们理解整数的内在结构，并为分析方程的解提供基础。 整除性在方程中的应用： 在许多整数方程中，整除性的判断是求解的关键。例如，若方程 $ax = b$ 有整数解，则 $a$ 必须整除 $b$。我们将通过具体的例子，展示如何利用整除性来排除无解的情况，或者缩小解的范围。 第二部分：同余的魅力 当我们将整数的范围从“是否整除”扩展到“余数相同”，便进入了同余的世界。同余关系，记作 $a equiv b pmod{m}$，意为 $a$ 与 $b$ 除以 $m$ 时的余数相同，或者说 $m|(a-b)$。同余不仅为我们提供了一种看待整数的新视角，更在代数结构中扮演着核心角色。本部分将深入探讨： 同余的定义与基本性质： 我们将详细阐述同余的定义，以及它所具备的传递性、自反性、对称性，以及在加法、减法和乘法下的运算性质。例如，若 $a equiv b pmod{m}$ 且 $c equiv d pmod{m}$，则 $a+c equiv b+d pmod{m}$，$ac equiv bd pmod{m}$。这些性质使得我们能够对同余式进行各种形式的变形。 模运算与剩余类： 模 $m$ 运算将整数集划分成 $m$ 个互不相交的集合，即剩余类。我们将分析这些剩余类的结构，并理解模运算在计算机科学、密码学等领域的广泛应用。 线性同余方程： 形如 $ax equiv b pmod{m}$ 的方程是同余方程中最基础的一类。我们将研究其解的存在条件（即 $gcd(a, m)$ 是否整除 $b$），以及如何利用扩展欧几里得算法求解。一个线性同余方程可能有一个解、多个解，也可能无解。 中国剩余定理 (CRT)： 当我们面临一组模数互素的线性同余方程时，中国剩余定理将展现其强大的威力。它保证了这组方程存在唯一解，并提供了求解的方法。我们将通过历史故事和具体例子，理解 CRT 的深刻内涵及其在解决复杂问题中的应用。 高次同余： 除了线性同余，我们还将初步涉猎高次同余方程。例如，平方剩余的判断（即方程 $x^2 equiv a pmod{p}$ 是否有解）及其相关的理论，例如勒让德符号和雅可比符号，将为我们打开更广阔的数学视野。 第三部分：方程的漫游 在掌握了整除性和同余的基础知识后，我们将把目光转向各类整数方程。这些方程的形式各异，有些看起来非常朴素，但其背后却隐藏着深刻的数论难题，甚至是一些尚未完全解决的猜想。本部分将重点探讨： 线性丢番图方程： 形如 $ax + by = c$ 的方程，当要求 $x$ 和 $y$ 为整数解时，即为线性丢番图方程。我们将利用扩展欧几里得算法，找到其通解的表达式，并分析其解的性质。 二次丢番图方程： 形如 $x^2 + y^2 = z^2$（勾股数）或 $ax^2 + bxy + cy^2 = n$ 等的方程属于二次丢番图方程。我们将通过分析其结构，利用参数化方法或代数技巧来寻找其整数解。勾股数组的生成公式将作为典型案例进行详细讲解。 费马方程的遗产： 费马大定理（$x^n + y^n = z^n$ 当 $n>2$ 时无正整数解）是数论史上最著名的猜想之一。虽然我们不会深入探讨其极其复杂的证明，但将回顾其历史，理解这一猜想对数论发展产生的巨大推动作用，并探讨一些相关的弱化形式或变体。 不定方程的求解策略： 许多整数方程没有固定的形式，它们被称为不定方程。我们将学习一些通用的求解策略，例如： 降次法： 通过观察方程的结构，尝试将高次方程转化为低次方程。 参数化法： 当找到方程的某个特定解后，利用该解和方程的结构，构造出所有可能的整数解的参数化表达式。 模运算方法： 利用同余性质来分析方程的解是否存在，或者限制解的范围。 分解法： 利用因式分解，将方程转化为一系列更简单的方程。 特殊性质分析： 针对特定类型的方程，利用其独特的数论性质来寻找解。 超越与展望 本书的最终目标，并非仅仅是教会读者解决具体的方程，而是要培养读者对整数世界的好奇心和探索精神。通过学习本书，读者将能够： 建立扎实的数论基础： 深刻理解整除性、同余等核心概念，并能熟练运用相关的定理和工具。 掌握分析整数方程的方法： 能够识别不同类型的整数方程，并选择合适的策略来寻找其整数解。 培养严谨的数学思维： 学习如何进行逻辑推理，如何证明数学命题，以及如何欣赏数学的美。 激发进一步探索的兴趣： 了解数论领域中一些未解决的难题和前沿研究方向，为读者未来的学习和研究奠定基础。 无论您是初次接触数论的爱好者，还是希望加深理解的数学学生，本书都将为您打开一扇通往整数奥秘的大门。让我们一起沉浸在这充满智慧与挑战的数学世界中，发现整数的无穷魅力。

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