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出版者:

作者:Holm, Darryl D./ Schmah, Tanya/ Stoica, Cristina

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页数:536

译者:

出版时间:2009-10

价格:$ 67.80

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isbn号码:9780199212910

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• 数学
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• Symmetry
• Mechanics
• Geometric
• 2009
• 几何力学
• 对称性
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• 数学物理

物理学的拓扑结构：从经典场论到量子引力的统一视角 本书聚焦于物理学中深刻的结构性原理，探究对称性在描述自然规律中的核心作用，并以拓扑学的语言重构经典力学、电磁场论乃至广义相对论的基本框架。本书旨在为读者提供一个超越传统微分几何表述的、更具几何直觉的物理学视角，强调系统在变换下的不变性如何决定其动力学行为和基本常数。 --- 第一部分：基础架构——从流形到李群的几何构建 本书的第一部分奠定了深入研究的数学基础，并将其直接应用于对经典系统的重新审视。我们不满足于仅仅在欧几里得空间中讨论运动，而是将物理系统置于光滑流形之上，将系统的状态空间视为一个几何对象。 1.1 流形与纤维丛：系统的状态空间 我们从光滑流形的定义出发，详细阐述了如何将系统的配置空间（如机械臂的关节角度、连续介质的变形场）建模为流形 $M$。重点讨论了切丛 $TM$ 和余切丛 $T^M$ 的构造，它们分别对应于瞬时速度和动量。随后，我们引入纤维丛的概念，特别是主纤维丛 $P(M)$，作为描述系统内部自由度的“微观”空间，例如电磁场理论中的规范群的实例。 1.2 微分形式与外代数：描述物理量 为了避免完全依赖坐标表示，我们全面采用了微分几何的语言。本书详细介绍了微分 $k$ 形式 $omega$ 的定义、楔积（外积） $wedge$ 的性质及其与经典外代数的关系。我们证明了法拉第定律、安培定律等麦克斯韦方程组可以简洁地表示为对特定微分形式的外微分 $d$ 运算，即 $dF=0$ 和 $d(H) = J$。这种表述的优势在于其内在的协变性和与拓扑学的直接联系。 1.3 作用量原理的几何化：辛几何与李维-奇维尔动力学 经典力学的核心——哈密顿力学——被提升到辛几何的层面。我们详细阐述了辛流形 $(M, Omega)$ 的概念，其中 $Omega$ 是一个非退化的闭合二次微分形式（辛结构）。拉格朗日量被解释为定义在切丛上的一个李维-奇维尔函数 $L: TM o mathbb{R}$。通过正则变换，我们展示了如何从 $L$ 导出哈密顿函数 $H$，并利用辛流（或称哈密顿向量场） $X_H$ 来描述系统的演化：$iota_{X_H}Omega = dH$。这提供了一个比泊松括号更基础的几何描述。 --- 第二部分：对称性与规范理论的拓扑根源 本部分深入探讨了对称性的核心角色，并展示了现代规范场论如何从维护局部不变性的要求中自然涌现。 2.1 李群与李代数：连续对称性的代数结构 我们系统地回顾了李群 $G$ 的概念，及其对应的李代数 $mathfrak{g}$，后者由无穷小生成元构成。重点讨论了紧致李群（如 $SU(2), SU(3)$）在粒子物理学中的重要性。我们详细分析了伴随表示和共轭表示，这些都是理解规范场如何变换的关键工具。 2.2 规范场论：纤维丛上的联络与曲率 规范对称性被精确地表述为：物理定律在主纤维丛 $P(M)$ 上的水平提升下保持不变。我们引入了联络（Connection 1-form $mathcal{A}$），它定义了如何在纤维间进行“比较”这些局部自由度。曲率（Curvature 2-form $mathcal{F}$）则被证明是规范场（如电磁势或杨-米尔斯势）的物理实在的量度。本书强调，规范场论的本质是寻找一个与联络相关的、定义在流形上的曲率张量。我们推导出杨-米尔斯理论的作用量 $S_{YM} = int_M frac{1}{4} ext{Tr}(mathcal{F} wedge mathcal{F})$，并阐明了其拓扑意义。 2.3 贝里相位与几何规范效应 在量子力学背景下，我们探讨了贝里（Berry）相位。它揭示了当系统经历一个慢的、绝热的参数空间循环时，其波函数会积累一个纯粹的几何相位。我们证明了这种相位与参数空间上的一个联络（贝里联络）直接相关，其曲率（贝里曲率）与物理可观测量的几何性质相关联。这为量子霍尔效应等拓扑物态现象提供了深刻的几何解释。 --- 第三部分：拓扑不变量与场论的稳定性 本部分的核心在于揭示哪些物理量是“拓扑的”，即在连续形变下保持不变的，以及这些不变量如何限制了场论的可能结构。 3.1 德拉姆上同调与拓扑荷 我们引入德拉姆上同调群 $H^k(M)$ 的概念，它衡量了流形 $M$ 的“洞”的数量。我们证明了闭微分形式（$domega = 0$）与恰当形式（$omega = deta$）之间的差异，即上同调类的代表，构成了系统的拓扑不变量。特别是，对于规范场论，Chern-Simons 形式 $ ext{CS}_3 = mathcal{A} wedge dmathcal{A} + frac{2}{3}mathcal{A} wedge mathcal{A} wedge mathcal{A}$（在三维时）及其积分是规范场拓扑荷（如磁单极子的电荷）的精确量度。 3.2 庞加莱-杜霍夫定理与拓扑规范理论 本书详细探讨了庞加莱-杜霍夫（Poincaré-Duffing）定理在三维时空中的应用，该定理指出，在零能量和零动量限制下，三维时空的动力学完全由一个 Chern-Simons 作用量支配。这形成了拓扑规范理论的基础，其中时空本身没有本征的度量结构（即不存在局域的能量动量），系统的演化完全由其拓扑结构决定。我们探讨了这种理论在凝聚态物理中对分数量子霍尔效应边缘激发态的描述潜力。 3.3 经典场论的拓扑缺陷与量子化 我们分析了场论中常见的拓扑缺陷（如涡旋、畴壁或磁单极子）。这些缺陷的出现源于场的构型在空间中进行了一个“非平凡”的环路（例如，将场的空间截面从无穷远映射到无穷远时，该映射不能被连续收缩到某一点）。这些缺陷的稳定性直接源于其拓扑荷的非零性，解释了它们在相变中为何能够抵抗耗散和热涨落。 --- 第四部分：广义相对论与微分形式下的引力几何 最后一部分将几何学的工具应用于爱因斯坦的引力理论，揭示了广义相对论的几何本质。 4.1 标架丛与爱因斯坦-卡坦理论 为了统一处理时空中的挠率（Torsion）和曲率，我们不再使用度规张量 $g_{mu u}$ 作为基本变量，而是采用标架丛 $O(M)$ 上的四维标架场 $e^a$（度规的几何基础）和旋转联络 $omega^{ab}$（黎曼曲率的微分形式表述）。爱因斯坦-卡坦理论将引力视为一个规范场理论，其中引力场被视为一个作用在标架丛上的规范场。 4.2 巴特勒-卡坦（Palatini-Cartan）作用量与场方程的几何推导 我们展示了如何利用四维微分形式来重写爱因斯坦-希尔伯特作用量，即巴特勒-卡坦作用量。通过对标架场 $e^a$ 和旋转联络 $omega^{ab}$ 进行变分，我们清晰地推导出爱因斯坦场方程。这种表述的优势在于，它将物质的能量-动量张量与时空的挠率和曲率直接联系起来，从而揭示了引力与物质的内在几何耦合。 4.3 霍奇理论与引力中的拓扑性质 我们讨论了霍奇理论在解析引力中的应用，特别是如何利用霍奇分解来分析时空中的电磁场和引力场。我们阐述了拓扑引力（如在 Chern-Simons 3D 引力或 BF 理论）中的基本概念，这些理论在某些低维或特定背景下，描述的物理现象完全由时空的拓扑结构决定，为探索量子引力的非微扰路径提供了重要的几何洞察。 总结： 本书通过一系列从微分形式到纤维丛的几何构造，构建了一个统一的物理学框架。它强调了系统的对称性和拓扑不变量是物理定律的真正基础，而非仅仅是特殊情况下的近似。阅读本书将使读者能够用一种更深刻、更具几何直觉的方式理解从经典动力学到规范场论乃至广义相对论的内在联系。

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我一直对那些能够将抽象数学概念与物理世界联系起来的书籍感到着迷，而《Geometric Mechanics and Symmetry》听起来正是我一直在寻找的那种。单从书名就可以感受到它所蕴含的深度和广度，几何力学本身就涉及到了非常优雅的数学工具，比如微分几何、李群等，去描述和理解经典力学的基本原理。而“对称性”这个词，更是像一个永恒的主题，贯穿于物理学的各个领域，从粒子物理到天体物理，对称性无处不在，它不仅是理解自然规律的关键，也常常预示着新的发现。想象一下，能够用如此严谨和优美的数学框架去解析一个秋千的摆动，或者一颗行星的轨道，甚至更复杂的系统，这该是多么令人兴奋的事情。我好奇这本书是如何引入这些概念的，是会从一些基础性的几何对象开始，逐步构建起力学框架，还是会直接切入某些经典力学问题，然后展示几何和对称性是如何成为解决问题的关键？它会不会在理论推导的严谨性与物理直观性的结合上做得很好？我尤其期待它能够提供一些关于守恒律与对称性之间深刻联系的阐释，这是理论物理中一个极其美妙的发现，希望能从这本书中得到更系统、更深入的理解。

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刚看到《Geometric Mechanics and Symmetry》这个书名，我的第一反应是它大概会是一本相当“硬核”的书。几何力学听起来就不是那种可以轻松翻阅的书籍，它涉及的数学工具，比如微分几何、张量分析，对我来说都是需要一定功底才能驾驭的。而“对称性”这个概念，虽然在很多物理领域都有涉及，但要深入到几何力学的层面，恐怕会引申出很多非直观的数学结构，比如群论、纤维丛等等。我很好奇，这本书的作者是如何组织这些庞杂的内容的，它会不会循序渐进地引导读者进入这个领域，还是会假设读者已经具备了相当的数学背景？我尤其关注它在“对称性”部分的阐述，它是否会从最基本的对称性概念出发，逐步建立起更复杂的对称群结构，并将其与物理定律中的守恒量联系起来？例如，它是否会详细讲解诺特定理，以及如何利用它来发现和理解物理学中的各种守恒律？这本书如果能将严谨的数学推导与物理图像的清晰呈现相结合，那将是非常有价值的。我希望它能够帮助我理解，为何如此抽象的数学概念，却能够如此精确地描述我们宏观和微观世界的运行规律。

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这本书的名字《Geometric Mechanics and Symmetry》本身就带有一种哲学思辨的味道，让我忍不住去探究它可能涵盖的更深层次的含义。除了字面上的力学和对称性，我猜测它可能触及了物理学的基本结构和更深层的规律。几何，在物理学中不仅仅是描述空间和运动的工具，它本身就可能承载着物理定律的内在逻辑。而对称性，更是仿佛是宇宙的“语言”，很多基本粒子和相互作用都与特定的对称群紧密相关。我很好奇这本书会如何将这两种强大的概念融为一体，去解析我们所处的这个物理世界。它会不会探讨一些非欧几何在描述引力时的应用，或者利用李群来分类基本粒子的谱系？我期待它能提供一些关于“形变”和“不变性”的深刻洞察，这些概念往往是理解物理系统稳定性和演化规律的关键。同时，“力学”这个词，也让我联想到它可能不仅仅局限于牛顿力学，也许还会涉及拉格朗日力学、哈密顿力学，甚至更前沿的理论。这本书是否能够用一种简洁而深刻的方式，揭示出隐藏在纷繁复杂的物理现象背后的统一性和优雅性，这让我充满了期待。

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当我看到《Geometric Mechanics and Symmetry》这个书名时，我的脑海中立刻涌现出一些关于物理学与数学之间深刻联系的画面。几何力学，这本身就暗示着一种用几何的视角来理解力学过程的理念，它或许会带领我们超越传统的牛顿力学框架，进入一个更抽象、更优美的数学世界。而“对称性”这个词，更是物理学中一个极其核心的概念，它无处不在，从晶体的结构到宇宙的演化，都与对称性紧密相关。这本书将这两者结合，让我不禁设想它会如何探讨物理系统的内在结构和演化规律。我尤其好奇它是否会深入讲解，如何利用李群等数学工具来描述和分类物理系统中的对称性，以及这些对称性如何对应着守恒律。这本书是否会提供一种全新的视角，让我们看到，许多看似复杂的物理现象，其实都可以从几何和对称性的角度得到简洁而深刻的解释。它是否能帮助我理解，为何数学的抽象语言能够如此精确地捕捉到自然的奥秘，并且为何对称性如此普遍地存在于物理世界之中，这让我充满了探索的欲望。

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《Geometric Mechanics and Symmetry》这个书名，让我联想到了一些关于物理学根本原理的思考。几何力学，顾名思义，是用几何的语言来描述力学的本质，这本身就充满了数学的美感。我想象着，它可能不仅仅是在研究物体如何运动，而是要去探索运动本身所遵循的几何法则。而“对称性”的加入，更是让这个主题上升到了一个更高的维度。对称性是宇宙的基石之一，它深刻地影响着我们对物质、相互作用以及基本规律的理解。我好奇这本书是如何将这两种概念结合起来的，它是否会运用一些高级的数学工具，比如微分几何中的黎曼几何，来描述弯曲时空中的力学现象？或者，它会如何利用群论和代数结构来捕捉和分类物理系统中的对称性？我特别希望能在这本书中找到关于“对称性破缺”的深入探讨，因为这在解释很多物理现象，比如相变和基本粒子性质时至关重要。这本书是否能提供一种统一的视角，将看似不同的物理现象，都归结于几何结构和对称性原理的体现，这让我非常期待。

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