Complex Analysis pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Busam, Rolf

出品人:

頁數:532

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價格:$ 79.04

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isbn號碼:9783540939825

叢書系列:

圖書標籤:

• 復分析
• 數學分析
• 高等數學
• 數學
• 解析函數
• 留數定理
• 共形映射
• 復變函數
• 數學教材
• 理工科

好的，這是一份關於一本名為《代數拓撲基礎》的圖書的詳細簡介，該書內容涵蓋瞭代數拓撲學的核心概念和重要理論，旨在為讀者提供堅實的數學基礎。 --- 代數拓撲基礎 (Foundations of Algebraic Topology) 第一部分：拓撲學基礎與基本概念 第一章：集閤論與點集拓撲迴顧 本章首先迴顧瞭讀者在實分析或基礎拓撲學中可能接觸到的必要數學背景。內容涵蓋集閤論的基本術語，如集閤的並、交、補集、笛卡爾積。隨後，重點深入探討瞭拓撲空間的概念，這是代數拓撲的基石。 1.1 拓撲空間定義與實例： 詳細闡述瞭開集、閉集、拓撲的公理化定義。通過具體的例子，如歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 上的標準拓撲、子空間拓撲、商拓撲以及乘積拓撲，幫助讀者建立直觀認識。 1.2 連續性與同胚： 深入分析函數在拓撲空間間的連續性定義，並引入同胚（Homeomorphism）的概念，它是代數拓撲中“形狀等價”的拓撲學意義。 1.3 連通性與緊緻性： 這兩個是區分拓撲空間性質的關鍵性質。連通性的討論從路徑連通性入手，逐步推廣到一般連通性。緊緻性則側重於定義、基本性質（如緊緻子集在 $mathbb{R}^n$ 中的性質）以及它們的在連續映射下的保持性。 1.4 度量空間與完備性（選講）： 簡要迴顧度量空間的定義，並引入完備性（Completeness）的概念，作為處理收斂性問題的工具。 第二章：同倫理論的初步探討 本章開始引入將拓撲問題轉化為代數問題的核心思想——同倫（Homotopy）。 2.1 映射的同倫： 嚴格定義瞭路徑以及路徑的同倫，特彆是端點固定的同倫（路跡同倫）。通過實例展示如何判斷兩個路徑是否同倫。 2.2 基礎群（Fundamental Group）： 這是代數拓撲中第一個重要的代數不變量。詳細介紹瞭基礎群 $pi_1(X, x_0)$ 的構造過程，包括群運算（路徑的乘法），並證明瞭它是一個群。重點討論瞭基礎群對拓撲性質的敏感性，例如它如何區分圓周 $S^1$ 和一個點 $P$。 2.3 覆蓋空間與基礎群的計算： 引入覆蓋空間的概念，並利用覆蓋空間理論計算基礎群，特彆是圓周 $S^1$ 的基礎群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的經典證明。 2.4 扇形空間與拉伸（Retractions and Deformation Retracts）： 探討瞭形變收縮和扇形的概念，這些工具對於簡化復雜空間的拓撲結構至關重要。 --- 第二部分：同調理論的構建 同調理論是代數拓撲中分析空間“洞”的更強大的工具，它利用鏈復形將拓撲問題轉化為綫性代數問題。 第三章：單純復形與鏈復形 3.1 單純形（Simplices）： 定義 $k$ 維單純形（點、綫段、三角形、四麵體及其高維推廣）及其集閤。 3.2 鏈群（Chain Groups）： 構造 $k$ 維鏈群 $C_k(X)$，即 $k$ 維單純形的自由阿貝爾群，並引入邊界算子 $partial_k: C_k o C_{k-1}$。詳細討論邊界算子的關鍵性質：$partial_{k-1} circ partial_k = 0$。 3.3 鏈復形（Chain Complexes）： 正式定義鏈復形 $(C_, partial_)$，並利用邊界算子定義循環群 $Z_k = ker(partial_k)$ 和邊界群 $B_k = ext{Im}(partial_{k+1})$。 3.4 鏈同調群（Chain Homology Groups）： 定義 $k$ 維奇異同調群 $H_k(X) = Z_k / B_k$。通過具體例子，如 $n$ 維單球 $D^n$ 和 $n$ 維球麵 $S^n$，計算它們的同調群，展示零維、一維和二維同調群的物理意義。 第四章：奇異同調理論 本章將同調理論推廣到更一般的拓撲空間，引入奇異同調的概念。 4.1 奇異單體與奇異鏈： 定義奇異 $k$ 單體 $s: Delta^k o X$ 及其鏈群 $C_k(X)$。 4.2 奇異同調的構造： 沿著單純同調的結構，定義奇異鏈復形、奇異循環和奇異邊界，最終定義奇異同調群 $H_k(X)$。 4.3 同倫不變性： 證明奇異同調是一個同倫不變量。如果兩個空間是同倫等價的，它們的同調群是同構的。這是同調理論的強大之處。 4.4 構造性映射與梅耶-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）： 介紹如何利用分解空間的技巧來計算復雜的同調群。梅耶-維托裏斯序列作為一種強大的計算工具，展示瞭如何通過兩個開子集的同調群來推導整個空間的同調群。 4.5 হ্রাস (Reduced) 同調群： 定義 $ ilde{H}_k(X)$，特彆是對於點空間，$ ilde{H}_k( ext{Point}) = 0$ 對於所有 $k ge 0$。 --- 第三部分：同調的應用與更高級主題 第五章：拓撲的應用與經典結果 5.1 布勞威爾不動點定理（Brouwer Fixed Point Theorem）： 利用零維和一維同調群，給齣該定理的一個清晰證明，說明為什麼圓盤 $D^n$ 上的連續映射必須有一個不動點。 5.2 歐拉示性數（Euler Characteristic）： 對於有限復形的討論，定義並計算歐拉示性數 $chi(X)$。展示 $chi(X)$ 是一個拓撲不變量，並將其與鏈復形中的循環和邊界聯係起來。 5.3 球麵的同調群： 詳細計算並展示 $n$ 維球麵 $S^n$ 的同調群，這是區分不同維度球麵空間的關鍵。 第六章：萬有係數定理與張量積（選讀） 6.1 張量積與映射的誘導： 介紹綫性代數中張量積在鏈復形上的推廣，以及連續映射 $f: X o Y$ 如何誘導齣同調群之間的同態 $f_: H_k(X) o H_k(Y)$。 6.2 萬有係數定理（Universal Coefficient Theorem）： 探討同調群與係數域（特彆是 $mathbb{Z}_2$ 或 $mathbb{Q}$）之間的關係，揭示瞭如何通過更簡單的係數域來理解整數係數同調群的結構。 --- 附錄 附錄部分收錄瞭代數結構（如阿貝爾群、自由群）的必要背景知識，以及詳細的計算技巧和拓撲空間分類的初步討論，作為對正文的補充和深化。 總結： 《代數拓撲基礎》旨在為讀者提供一個嚴謹而係統的視角，理解如何利用代數結構（群、鏈復形）來量化和區分復雜的幾何對象。本書側重於同倫理論的直覺建立和同調理論的紮實計算能力，是數學、物理及相關工程領域深入學習拓撲學不可或缺的入門教材。

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這本書給我的整體感覺是“純粹的數學之美”。它極少被世俗的應用或計算技巧所乾擾，專注於復變函數理論的內在邏輯和結構。我反復研讀瞭關於閉路積分和留數定理的部分，作者對於“奇點”這一概念的界定和處理，體現瞭一種近乎哲學的精確性。這種對數學結構的深度挖掘，使得即便是最復雜的積分計算，也能被歸約到對少數幾個極點性質的分析上，這本身就是一種震撼。書中的證明往往是優雅且無可辯駁的，但這種優雅也意味著它要求讀者擁有極強的抽象思維能力和對細節的專注度。對於那些僅僅滿足於計算積分或者想快速掌握“公式”的讀者來說，這本書可能會顯得過於“哲學化”和“緩慢”。它不是一本能讓你在短時間內快速齣成果的工具書，而是一本需要你沉下心來，與數學大師對話的經典文本。它教會我的不隻是計算方法，更是一種看待數學問題，特彆是分析問題的全新視角。

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坦白說，我購入這本《復分析》是帶著朝聖的心態，期待它能揭示齣數學深處的秘密。這本書在講解周期函數和橢圓函數時達到瞭一個令人屏息的高度。作者對傅裏葉級數與復分析的聯係處理得非常精妙，展現瞭不同數學分支之間是如何無縫連接的。特彆是對$zeta$函數零點分布的討論，雖然隻是蜻蜓點水，但足以讓人感受到數論與復分析交織齣的宏偉圖景。這本書的排版設計簡潔高效，公式推導流暢，很少有需要讀者自己腦補跳躍步驟的情況，這對於需要反復研讀的讀者來說至關重要。然而，我必須指齣，書中對於共形映射的實際應用案例介紹得相對較少。雖然理論推導無懈可擊，但對於那些希望將復分析應用於流體力學或電磁場等工程領域的讀者來說，可能需要額外的資源來將這些抽象的數學工具“落地”。總的來說，它是一部內功深厚的專業著作，更像是一份嚴謹的學術報告集，而非普及讀物。

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讀完這本《復分析》，我最大的感受是，它徹底顛覆瞭我對“函數”這個概念的傳統認知。在此之前，函數就是$y=f(x)$，是綫性的、平滑的、可導的。但這本書中，全純函數的性質簡直是魔術般的存在——隻要在一個點可導，那麼在整個定義域內就是光滑可微的，這種“一步登天”的特性令人驚嘆。我尤其欣賞作者在處理柯西積分公式時所展現齣的清晰度。他沒有直接拋齣公式，而是先鋪墊瞭沿閉閤路徑積分的性質，然後通過巧妙的構造，將一個局部的信息（被積函數在積分路徑內部的性質）傳遞到瞭路徑上的任何一點。這感覺就像是拿到瞭一個無限信息的遙控器。不過，書中在拓撲基礎的引入上略顯倉促，對於那些沒有紮實點集拓撲背景的讀者來說，可能會在理解開集、緊集這些概念時感到吃力。我個人認為，如果能增加一個專門的附錄來鞏固這些基礎，對於提升整體閱讀體驗會大有裨益。這本書的行文風格偏嚮於古典數學的嚴謹，少瞭一些現代教科書的親切感，但其內涵的價值是無可替代的。

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這本《復分析》簡直是數學學習者的一劑強心針，但同時也是一把雙刃劍。我花瞭整整一個學期的時間纔算勉強跟上它的節奏，尤其是在黎曼麯麵和調和函數的章節，感覺大腦的某些迴路被硬生生地重塑瞭。作者在介紹留數定理時，那種層層遞進的邏輯推導，讓我第一次真正理解瞭為什麼微積分的某些問題可以通過“繞圈子”來解決。書中的習題設計得極其巧妙，有些看似簡單的積分問題，如果不運用書中學到的高級技巧，簡直無從下手。我記得有一次，為瞭解決課後一道關於共形映射的題目，我查閱瞭三本不同的參考書纔豁然開朗。這本書的優點在於其嚴謹性和深度，它不滿足於錶麵的計算，而是深挖其背後的幾何直覺。然而，對於初次接觸復變函數的新手來說，初期的門檻可能會顯得有些高聳，大量的符號操作和抽象概念很容易讓人望而卻步。如果能配上更多直觀的圖形化解釋，特彆是在莫比烏斯變換的部分，也許能讓更多人領略到復分析那份獨有的優雅。總而言之，這是一本適閤已經有一定分析基礎，並渴望挑戰思維極限的讀者的必備參考書。

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對於希望深入理解共形映射和莫比烏斯變換的讀者，這本書無疑是上乘之作。我最喜歡的部分是其對黎曼球麵概念的闡述。作者非常清晰地解釋瞭如何通過引入無窮遠點，將整個復平麵“捲麯”成一個球麵，從而消除瞭許多在平麵上處理不便的邊界問題。這種幾何視角的轉變，讓原本復雜的映射關係變得直觀可感。書中對於解析延拓的討論也極為細緻，逐步引導讀者理解為什麼一個在小圓盤上定義的解析函數，可以沿著特定的路徑“行走”到更廣闊的區域。我發現，這本書的難度麯綫設計得有些陡峭，前三章相對友好，但一旦進入到調和函數和橢圓積分的章節，難度便呈指數級上升。如果作者能在每個章節末尾加入一些“曆史趣聞”或者“現代應用小貼士”，或許能緩解讀者在攻剋難題時的枯燥感。它確實是教材中的精品，但需要讀者投入大量時間進行消化和咀嚼。

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