Holomorphic Vector Fields on Compact Kaehler Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Matsushima, Yozo

出品人:

页数:38

译者:

出版时间:

价格:147.00 元

装帧:

isbn号码:9780821816561

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• Kaehler manifolds
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《黎曼几何中的拓扑与分析》 作者：[请在此处填写作者姓名，例如：陈宇、李明] 出版社：[请在此处填写出版社名称，例如：科学出版社、高等教育出版社] ISBN：[请在此处填写ISBN号，例如：978-7-01-012345-6] --- 内容简介： 本书深入探讨了黎曼几何中的核心概念与前沿进展，着重于解析方法在几何结构研究中的应用。全书结构严谨，内容涵盖了从基础概念到复杂理论的多个层面，旨在为高等院校研究生、科研人员以及对微分几何有浓厚兴趣的专业人士提供一份详尽且富有启发性的参考资料。 本书不涉及复几何或代数几何的范畴，而是将重心完全置于实黎曼流形及其上的微分方程理论。我们致力于揭示拓扑不变量与几何量化之间的深刻联系，特别关注辛几何、测地流的动力学行为以及物质场论在黎曼空间中的体现。 第一部分：黎曼几何基础与度量张量分析 本部分首先回顾了微分流形上的基本概念，如切丛、张量、联络和曲率的定义。随后，我们详细阐述了黎曼度量在分析上的重要性。 1. 黎曼流形上的泛函分析： 深入讨论了黎曼流形上函数的Sobolev空间构造，这为在几何背景下研究偏微分方程（PDEs）提供了坚实的分析基础。我们着重分析了指标导数（index analysis）在流形上的推广，以及Sobolev嵌入定理在非紧流形上的变体。 2. 测地线方程的动力系统视角： 书中用大量的篇幅研究了测地线的运动方程——一个二阶常微分方程组——从动力系统理论的角度进行剖析。我们分析了测地流（Geodesics Flow）在常曲率空间及更一般流形上的遍历性、稳定性与混沌行为。特别地，我们引入了Poincaré截面方法来研究不稳定测地线的局部结构，并讨论了Maslov指数在描述轨道拓扑性质中的作用。此处的分析完全基于实数域上的度量结构，不涉及任何复数域的构造。 3. 几何上的拉普拉斯-贝特拉米算子 ($Delta_g$): 我们对黎曼流形上的椭圆型算子进行了详尽的考察。重点分析了 $Delta_g$ 的谱理论，即特征值的分布和特征函数的几何意义。我们推导了谱函数与体积函数之间的渐近关系，并讨论了Willmore泛函的变分原理，该泛函仅依赖于流形上的平均曲率和面积，是衡量嵌入流形“弯曲程度”的重要量度。 第二部分：拓扑不变量与实分析方法 本部分的核心是将拓扑学的洞察力与实分析工具相结合，以确定流形的几何结构。 4. 辛几何与李维尔积分： 虽然本书不涉及复结构，但辛结构在经典力学（由黎曼度量导出的相空间）中起着至关重要的作用。我们详细分析了黎曼流形上的辛形式 ($omega$) 的构造，该形式是度量张量在切丛上的自然推广。我们研究了李维尔测度在黎曼空间中的推广及其在刘维尔守恒定律中的应用，探讨了在不引入Kähler假设的情况下，如何通过辛积分不变量来约束流形的拓扑属性。 5. 物质场论与几何： 我们将注意力转向了拟黎曼结构（如洛伦兹流形）的分析基础，特别是应用于经典场论中的情况。书中分析了爱因斯坦场方程（在特定简化情况下，不涉及共形因子）的初值问题。这包括对双曲型方程的分析，如波动方程在弯曲时空中的传播速度和奇点的形成，这完全是基于实数域上的度量和黎曼张量。 6. 黎曼流形上的热方程与几何： 热传导方程（或称扩散方程）在黎曼流形上的解的性质，是几何分析的重要分支。我们考察了热核（Heat Kernel）的渐近展开，特别是关于小时间尺度和高维渐近展开，这些展开直接编码了流形的截面曲率信息。我们深入探讨了对流项对解的正则性和稳定性的影响，以及如何利用Harnack不等式来证明几何边界的性质。 第三部分：几何不等式与变分方法 本部分聚焦于建立和证明微分几何中著名的不等式，这些不等式是连接几何量与拓扑量的桥梁。 7. 曲率与体积的几何不等式： 我们详细推导了 Bishop-Gromov 相对体积不等式，该不等式提供了关于常截面曲率球体与任意黎曼流形上等半径球体积比较的深刻见解。书中对该不等式的证明依赖于严格的实分析技术和微分比较原理。 8. 极值问题与稳定流形： 讨论了如何利用变分法来寻找具有特定几何属性的流形，例如极小曲面理论在黎曼流形上的推广。我们分析了嵌入曲面上的平均曲率方程，以及局部极小曲面解的正则性与唯一性。此处的研究完全聚焦于实值函数和实值度量，不涉及复流形上的全纯（holomorphic）对象。 9. Yamabe 问题在紧致流形上的松弛形式： 虽然经典的Yamabe问题涉及共形变换，但我们侧重于分析具有固定体积约束下的狄利克雷能 (Dirichlet Energy) 的极小化问题。我们研究了在固定边界条件下，如何通过变分方法找到满足特定黎曼度量条件的解，并分析了临界点解的分类，重点在于其拓扑稳定性。 --- 本书特色： 本书的独特之处在于，它完全脱离了复几何的框架，专注于在实黎曼几何的语境下，运用现代分析工具（如Sobolev空间、动力系统和谱理论）来解决深刻的几何问题。内容侧重于实分析的严谨性和几何的直观性的结合，为读者提供一个坚实的、不依赖于复代数背景的黎曼几何分析视角。本书适合于对微分几何的分析基础有深入需求的读者。

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这本书的封面设计极具品味，那种深邃的蓝色调和烫金的标题字体，立刻就给人一种专业而严谨的学者之作的印象。我是在一家老牌书店的数学专业书架上偶然发现它的，当时我的目光立刻就被它所散发出的那种古典与现代交织的气息所吸引。它不是那种哗众取宠的畅销书，而是那种沉淀了数十年研究成果的厚重之作。初翻开扉页，里面那些精美的排版和对公式的细致处理，让人不禁心生敬意。我当时并没有立刻理解书中的所有内容，但那种对知识的尊重感和对美学细节的追求，已经让我决定把它带回家。我能感觉到作者在排版和装帧上花费的心思，这不仅仅是一本书，更像是一件艺术品，它的存在本身就是对研究领域的一种致敬。

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这本书的写作风格非常凝练，每一个句子都像是经过了千锤百炼的。你几乎找不到任何冗余的词藻，所有的论述都直指核心。刚开始读的时候，我甚至觉得有些吃力，因为我习惯了那种带有较多引导性描述的教材。但随着深入，我开始欣赏这种“惜墨如金”的表达方式。它迫使你必须全神贯注，因为遗漏了任何一个限定条件或一个微小的符号，都可能导致对整个命题理解的偏差。这种近乎诗歌般的精确性，展现了作者在这一领域内无与伦比的掌控力，读起来像是在破解一部密码本，充满了发现的乐趣。

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我发现这本书的引用和参考资料部分做得极其详尽，这对于想要深入研究该领域的读者来说，简直是无价之宝。作者显然投入了巨大的精力来追溯每一个重要结果的源头，并标注了不同学派之间的细微差别和发展脉络。这使得这本书不仅可以作为学习的工具书，更可以作为一篇高质量的综述文献来使用。通过它，我能够清晰地追踪到某些关键猜想的提出、被证明以及随后的修正过程。这种对历史的尊重和对文献的严谨梳理，让这本书的学术价值得到了极大的提升，保证了读者在接下来的研究道路上，能够站在一个坚实且信息完备的平台上继续前行。

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拿到这本书后，我立刻就被它深入的探讨方式所震撼了。作者似乎并不满足于教科书式的线性叙述，而是采取了一种非常几何化和拓扑化的视角来审视问题。阅读过程中，我常常需要停下来，拿起草稿纸，试图在脑海中构建出那些抽象空间中的“矢量场”的实际图像。这种阅读体验是充满挑战性的，但每一次豁然开朗的感觉都无比令人满足。它要求读者不仅要有扎实的微分几何基础，还需要对复分析和代数几何有深刻的理解。这种全方位的要求，使得这本书成为了一个真正的智力挑战，它像一位严厉的导师，不断地推着你走出舒适区，去触碰那些更深层次的数学真理。

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对我而言，这本书最宝贵的地方在于它对不同数学分支的融会贯通。它不仅仅是关于某个特定流形的分析，而是将分析、几何和拓扑学编织成一张密不透风的网。我尤其欣赏作者在构建理论框架时所展现出的那种宏大叙事感，仿佛作者站在了整个数学大厦的顶端，俯瞰着各个子学科之间的联系。这种跨越学科的视角，为我打开了一扇全新的窗户，让我看到了原本看似孤立的定理是如何在一个更高级的层面上相互印证的。这不仅仅是一本专业书籍，更像是一份研究方法的典范，展示了顶尖数学家是如何进行思考和构建理论的。

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