Combinatorial Group Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Fine, Benjamin/ Gaglione, Anthony/ Tang, Francis C. Y. (EDT)

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页数:0

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isbn号码:9780821851166

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现代代数：环与域的结构 作者：[作者姓名，此处留空以模拟真实书籍] 出版信息：[出版社名称，此处留空] ISBN：[此处留空] --- 内容提要 本书《现代代数：环与域的结构》旨在为读者提供一个深入、严谨且富有洞察力的现代抽象代数入门，重点聚焦于环论（Ring Theory）和域论（Field Theory）的核心概念与重要结构。不同于侧重于群论（Group Theory）的经典教材，本书将代数结构的研究基础置于加法和乘法双操作的代数系统——环之上，并以此为跳板，系统性地探讨了域作为一种特殊环的深刻性质及其在数域扩张中的关键作用。 本书的编写遵循由具体到抽象、由浅入深、循序渐进的教学原则，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解体验。我们相信，通过对这些基本代数结构的透彻理解，读者将能为未来学习更高深的抽象数学（如代数几何、代数拓扑或更专业的数论）打下坚实的基础。 第一部分：环的基础与初级结构 本部分首先确立了环的公理化定义，并引入了环的初级概念，如子环、理想（Ideals）和环同态（Ring Homomorphisms）。 第一章 环的公理与基本性质 详细阐述了环的定义，包括交换环与非交换环、单位元（Unity）的存在性。重点讨论了零因子（Zero Divisors）的概念，并引入了整环（Integral Domains）的严格定义。通过大量实例，如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 和矩阵环 $M_n(F)$，展示了不同环的结构差异。 第二章 理想与商环 理想作为环中的“子群”概念在乘法下的推广，是理解环结构的钥匙。本章深入探讨了左、右、双边理想的定义与性质。随后，详细构建了商环（Quotient Rings）的构造过程，并阐述了同态定理（Isomorphism Theorems）在环论中的对应形式——第一同构定理，这是连接商环与同态像的关键桥梁。特别关注了主理想（Principal Ideals）的概念，并研究了在 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 中的重要性。 第三章 特殊类型的环 本章聚焦于具有特殊性质的环，它们在数论和代数几何中有重要的应用。 整环的深入研究： 讨论了整环的定义，并引入了域的定义，即整环中所有非零元素都存在乘法逆元。 唯一分解整环 (UFDs)： 详细定义了不可约元（Irreducible Elements）和素元（Prime Elements），并阐述了在整环中，素元蕴含不可约元，反之则不然。唯一分解的严格条件被详尽剖析，并提供了 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 是 UFD 的证明。 主理想整环 (PIDs)： 研究了 UFD 与 PID 之间的关系。本章的重点在于证明所有 PID 必然是 UFD，并探讨了 PID 的特征性质，例如所有理想都是主理想。 第二部分：域的构造与扩张理论 本部分将研究焦点转向域，这是具有除法性质的特殊环。核心任务是通过域扩张（Field Extensions）来理解域的构造原理，并最终引向伽罗瓦理论的基石。 第四章 域与有理数域 从基础域 $mathbb{Q}$（有理数域）和 $mathbb{R}$（实数域）出发，讨论了域的特征（Characteristic），即域的加法阶。区分了特征为零的域和特征为素数 $p$ 的域。对于特征为 $p$ 的域，详细研究了其素子域（Prime Subfield）——同构于有限域 $mathbb{F}_p$。 第五章 域扩张的基本概念 域扩张 $E/F$ 的概念被系统引入。核心工具是次数（Degree） $[E:F]$，它被定义为 $E$ 作为 $F$ 上的向量空间时的维度。讨论了有限扩张（Finite Extensions）和代数扩张（Algebraic Extensions）。代数性是通过考察扩张中元素的最小多项式（Minimal Polynomial）来确定的。本章展示了代数扩张的传递性。 第六章 分裂域与正规扩张 本章处理如何“找到”一个包含特定多项式所有根的最小域。 分裂域 (Splitting Fields)： 定义了多项式 $f(x) in F[x]$ 的分裂域 $K$，它是包含 $F$ 且包含 $f(x)$ 所有根的最小域。证明了分裂域的存在性和（在同构意义上的）唯一性。 正规扩张与可分扩张 (Normal and Separable Extensions)： 引入了可分性的概念，即多项式所有根都是单根。正规扩张被定义为所有不可约因子的分裂域都包含在内的扩张。这些概念是后续伽罗瓦理论的基础。 第七章 有限域的结构 有限域（Finite Fields），也称为伽罗瓦域 $mathbb{F}_q$，是抽象代数中结构最为清晰的代数对象之一。 存在性与唯一性： 证明了对于任何素数 $p$ 和正整数 $n$，存在一个阶为 $q=p^n$ 的域，并且所有阶为 $q$ 的域是相互同构的。 乘法群的结构： 证明了有限域 $mathbb{F}_q$ 的非零元素构成的乘法群 $mathbb{F}_q^$ 是循环群。这为理解有限域上的代数运算提供了强大的工具。 第三部分：超越与构造性问题 最后一部分将域扩张的理论提升到超越性问题的讨论，并探讨了多项式方程的可解性问题。 第八章 代数闭包与超越扩张 代数闭包 (Algebraic Closure)： 定义了域的代数闭包 $ar{F}$，这是一个包含 $F$ 且其中所有 $F$ 上的多项式都有根的域。证明了代数闭包的存在性与唯一性（在同构意义上）。 超越扩张 (Transcendental Extensions)： 研究了代数扩张的对立面，即超越性。如果一个元素不是任何 $F$ 上的多项式的根，则称之为超越的。引入了超越基（Transcendence Basis）的概念，这需要将域扩张视为向量空间，并使用线性代数的工具。 第九章 多项式方程的可解性 本章将代数结构的应用推向了经典问题——五次及以上代数方程的求解。虽然本书并未深入伽罗瓦理论的全部细节，但明确地将前述的域扩张理论作为基础，解释了根域（Root Fields）的概念。通过分析域扩张的次数和中间域，清晰地阐述了“为什么有些方程可以用根式求解，而有些不能”的代数根源，为读者理解不可解性问题奠定了必要的代数框架。 --- 目标读者 本书适合于数学专业本科高年级学生，或研究生一年级学生，作为“抽象代数”、“环与域”或“现代代数”课程的教材。它也适合于希望从群论转向环与域结构的代数学研究者作为参考资料。 前提知识： 读者应已熟悉群论的基本概念（群、子群、同态、商群）以及线性代数（向量空间、线性无关性、基）。 本书致力于提供一个全面、深入且富有现代视角的环与域理论的教科书。

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这本书的配图水平堪称一流，很多复杂的群作用和纤维丛结构，如果仅仅依赖文字描述，那简直是灾难。我记得在讲解群的表示理论时，书中用到了不少色彩鲜明的图示来描绘不同表示的张量积是如何相互作用的，这极大地帮助我理解了那些抽象的线性代数操作背后的几何意义。这种对视觉辅助的重视，在严肃的代数书籍中是比较少见的。更妙的是，图示并不是孤立存在的，而是紧密嵌入到文本逻辑中的，每一次图表的出现都是为了解决一个特定的理论难题，而不是为了凑数。这种精心设计的视觉引导，使得原本晦涩难懂的同态和同构之间的对应关系变得清晰可见。我希望这本书在后续的章节中，特别是涉及到非交换几何的初步概念时，也能继续保持这种高水准的插图质量，毕竟，图形往往是理解高维代数结构最直观的桥梁。

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这本书的装帧质量简直是业界良心，拿在手里沉甸甸的，纸张的质感也很好，即使用荧光笔做了很多标记，也不会有墨水洇透到下一页的担忧。我特别关注数学书籍排版的美观度，毕竟长时间盯着那些公式和符号看，一个混乱的排版会极大地损耗阅读的耐心。这本书的数学符号渲染得非常清晰锐利，行距和字间距的把握恰到乌托邦般的舒适，让人在长时间的深度阅读中也能保持一种视觉上的愉悦感。我尤其欣赏它对一些关键定理的引用方式，通常会先用非常简洁的语言概述其核心思想，紧接着就是规范的数学表述，这种“先知后术”的结构，极大地帮助了对理论背景不甚熟悉的读者快速抓住重点。在阅读代数拓扑的入门材料时，常常会遇到一些被视为“显然”的步骤，但在这本书里，即便是那些看似基础的推导，作者也给出了足够的细节支撑，保证了逻辑链条的完整性。这种对细节的尊重，体现了作者深厚的教学功力。

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坦率地说，我最初接触这个领域时，感觉就像是在攀登一座陡峭的山峰，无数的定义和定理如同嶙峋的怪石，让人无处着力。市面上很多教材都倾向于用一种非常“专业化”的语言来构建知识体系，仿佛读者已经具备了扎实的代数背景。这本书的独特之处在于，它似乎非常体谅读者的“挣扎”。它没有直接跳到太深奥的伽罗瓦理论或者模空间，而是花了大量的篇幅去构建一个坚实的“操作性”基础。比如，对于有限群的结构分析，它不是简单地罗列出Sylow定理，而是通过对一些具体的小阶群的分解和同构判断的实例，让读者亲手“触摸”到这些定理是如何发挥作用的。这种沉浸式的学习体验，远比单纯地背诵定理更有说服力。我希望作者能在接下来的章节中，继续保持这种“脚踏实地”的风格，尤其是在介绍自由群及其表示时，能够提供更多关于如何构造和简化这些复杂结构的实际算法和案例分析，这样就能更好地弥合理论与实践之间的鸿沟。

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我对比了近十年来的几本主流教材，发现这本书在教材的“可读性”和“深度”之间找到了一个非常微妙的平衡点。它没有为了追求所谓的“新颖性”而堆砌最新的研究热点，而是稳扎稳打地夯实了代数结构理论的核心内容。它的章节组织逻辑非常严密，从基础的群公理出发，逐步引入了正规子群、商群、同构定理，最后水到渠成地导向了结构定理，整个过程如同一个精心设计的迷宫，每走一步都有明确的目的地，而且出口总能清晰可见。这种行文风格，让读者在阅读时有一种被引导、被照顾的感觉，而不是被知识洪流裹挟着走。尤其值得称赞的是，作者在每章末尾设置的思考题，区分度很高，有些是基础的验证，有些则需要综合运用前几章的知识进行深入探究，这对于巩固和检验学习成果至关重要。这种结构化的设计，使得这本书不仅是一本参考书，更是一套完整的自学课程体系。

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这本书的封面设计得非常大气，那种深沉的蓝色调配上烫金的字体，散发出一种古典而又严谨的气息，让人一看就知道这绝非泛泛之作。我特地去图书馆借阅了好几本关于这个领域的经典教材，试图找到一本能将那些抽象概念清晰梳理出来的书，但很多时候都会陷入繁复的符号和复杂的证明中，读完一章，脑子却一片混沌。这本书的初版我大概翻过，印象中它在群论基础的铺陈上倒是做到了循序渐进，这一点我非常欣赏。尤其是它对对称群的探讨，从几何直观入手，慢慢过渡到代数结构，这种方式对于初学者来说无疑是一条平坦的道路。我记得它早期版本中有一章专门讲解了群作用在集合上的概念，那部分讲解得尤为细腻，通过大量的实例来展示轨道、稳定子这些核心概念是如何运作的，而不是仅仅给出定义然后堆砌定理。对于一个渴望真正“理解”而非仅仅“记住”这些知识的读者来说，这种教学方法的价值是无法估量的。希望新版本能在这个基础上，对那些容易混淆的子群和陪集之间的关系进行更深入的辨析，因为这往往是读者感到困惑的第一个关卡。

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