Algebraic Surfaces (Classics in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Oscar Zariski

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1995-03

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387586588

丛书系列:

图书标签:

• Algebraic Geometry
• Algebraic Surfaces
• Mathematics
• Classics in Mathematics
• Birational Geometry
• Complex Manifolds
• Sheaf Theory
• Resolution of Singularities
• Hodge Theory
• Italian School of Algebraic Geometry

《代数几何基础：从射影空间到黎曼曲面》 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的代数几何入门基础，重点关注经典代数几何中的核心概念，并逐步过渡到现代代数几何的基石。本书不侧重于复杂的高维代数簇或更深层的范畴论方法，而是聚焦于几何直觉的培养，通过详尽的例子和清晰的代数工具阐释，帮助读者理解代数几何的“语言”。 第一部分：射影空间与基础代数 本卷首先回顾了读者应具备的代数基础，特别是环论和多项式环的知识，并以此为跳板，引出了代数几何的第一个核心舞台——射影空间 $mathbb{P}^n$。 我们从仿射空间 $mathbb{A}^n$ 开始，解释其局限性（例如，不包含“无穷远”的点），进而构造射影空间 $mathbb{P}^n$ 作为仿射空间与无穷远平面（或超平面）的并集。我们将详细讨论齐次坐标的引入、齐次多项式的定义及其与射影集（代数集）的对应关系。书中通过大量的二维和三维例子（如平面上的二次曲线），直观地展示了射影完备性的优越性。 关键内容包括： 1. 齐次多项式与射影代数集： 定义 $mathbb{P}^n$ 上的代数集，即零点集 $V(I)$，其中 $I$ 是 $mathbb{K}[x_0, dots, x_n]$ 中的齐次理想。 2. 射影空间的基本拓扑结构： 探讨 $mathbb{P}^n$ 的拓扑性质，特别是其作为流形的结构（通过开仿射图的拼接）。 3. 理想与集合的对应： 引入希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的射影版本，阐明了射影代数集与素理想之间的深刻联系。 4. 射影坐标环： 定义 $mathbb{P}^n$ 的坐标环 $S(V) = mathbb{K}[x_0, dots, x_n] / I(V)$，并深入分析其分次结构。 第二部分：代数簇与维度 在奠定了射影空间的基础后，本书转向研究更一般的对象——代数簇 (Algebraic Varieties)。我们严格定义了代数簇的概念，区分了仿射代数簇、射影代数簇和抽象代数簇。 维度是本部分的核心主题。我们通过对坐标环的深入分析来定义和理解代数簇的维度。书中详细介绍了以下维度概念的等价性： 零点维数 (Krull Dimension)： 基于环中素理想链的长度。 几何维数： 基于簇中不可约闭子集的包含链。 本书将大量篇幅用于展示维度理论在具体几何对象中的应用，例如证明光滑曲线的维度为一，而光滑曲面的维度为二。 第三部分：有理映射与奇点 代数几何的核心魅力在于研究“几何形变”和“奇异点”。本部分引入了有理映射 (Rational Maps)，作为描述代数簇之间“形变”的工具，它是超越函数和超越映射的代数模拟。 我们讨论了不可约性 (Irreducibility) 的概念，并引入了正则函数域 (Field of Rational Functions) $K(X)$，这是研究一个簇自身的几何特性的关键代数对象。 随后，我们深入分析了奇点 (Singularities)。通过局部研究代数簇在某一点的局部环，我们引入了正则局部环的概念。本书将着重于光滑性 (Smoothness) 的定义，即局部环是正则环的条件。我们将运用导数和雅可比矩阵来确定一个点是否为奇点。 经典例子包括： 1. 平面三次曲线上的节点与尖点： 详细计算了这些点的雅可比矩阵的秩，展示了它们如何违反光滑性的条件。 2. 局部化技术： 如何通过对奇点进行局部化来简化对奇点性质的分析。 第四部分：经典曲线理论的复兴 为了将抽象概念与经典几何直觉相结合，本书的最后一部分将焦点放回了经典曲线理论，特别是对复射影平面 $mathbb{CP}^2$ 上的光滑代数曲线的考察。 我们将引入贝祖定理 (Bézout's Theorem) 的基本形式，并解释其在计算相交点时的重要性，同时讨论该定理在处理奇点和无穷远点时的修正必要性。 更重要的是，我们将探讨度数 (Degree)、亏格 (Genus) 之间的关系。尽管我们没有引入复分析中的黎曼面理论，但我们会通过欧拉示性数 (Euler Characteristic) 的代数推导，建立起曲线的度数与代数亏格之间的初步联系，为读者理解更高级的代数几何（如黎曼-洛赫定理）打下坚实的代数基础。 本书特色： 强调几何直觉： 每个代数概念都配有丰富的二维和三维几何实例支撑。 循序渐进的代数工具： 从理想、坐标环到局部化、维度的构建，逻辑严密。 为进阶学习做准备： 提供了进入现代代数几何（如概形理论）所需的核心概念框架，但保持在经典代数几何的范畴内深入探讨。 本书适合于具有扎实抽象代数基础的研究生和高年级本科生，它不假设读者对微分几何或复分析有深入了解，目标是使读者能够独立理解并运用代数几何的基本语言来分析几何对象。

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这本书的份量和深度意味着它绝非可以“速读”或“浅尝辄止”的读物。它要求读者投入大量的时间进行消化和反思。我发现，在学习完一个章节后，我需要停下来，在草稿纸上亲自演算一遍关键的例子，甚至尝试重新构造某个小型证明的思路，才能真正感觉到知识点已经内化。这种“动手”的过程虽然耗费精力，但带来的那种豁然开朗的满足感是其他轻松读物无法比拟的。它更像是一位耐心的、要求严格的导师，它不会轻易给出答案，而是引导你通过自己的思考去逼近真理。因此，这本书更适合那些已经具备一定基础，并渴望在代数几何领域进行深入、系统性学习的进阶学生或研究人员，它提供的平台是扎实且广阔的。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面采用了经典的深蓝色调，配上烫金的字体，散发出一种沉稳而又不失精致的学术气息。拿在手里就能感受到纸张的厚实和质感，这对于一本需要反复翻阅和研习的数学著作来说，无疑是一个加分项。内页的排版也体现了编辑的用心，字体大小和行间距处理得恰到好处，即使是面对复杂冗长的公式和定理推导，阅读起来也不会感到吃力。我尤其欣赏它在插图和图表的处理上所下的功夫，那些用于辅助理解空间结构的图示，线条清晰，标注明确，极大地降低了抽象概念的理解门槛。可以说，光是作为书架上的一个陈设，它就已经足够吸引眼球，而一旦翻开，这种对细节的关注便会延续到内容的呈现方式上，让人对即将开始的阅读之旅充满期待。

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这本书的作者在处理复杂概念时展现出了非凡的洞察力和清晰的逻辑脉络。一开始我对深入研究这类高深的主题感到有些畏惧，但随着阅读的深入，我发现作者的叙述方式非常循序渐进，从基础的代数几何背景出发，逐步构建起复杂的曲面理论框架。他似乎有一种魔力，能将那些原本盘根错节、令人望而生畏的数学结构，拆解成一系列可以被逐步攻克的逻辑模块。尤其是在引入某些关键的拓扑或解析工具时，作者总能提供非常直观的比喻或清晰的几何图像来支撑抽象的代数描述，这对于我这种更倾向于几何直觉的读者来说，简直是福音。很多其他教材中一笔带过的地方，这里都做了详尽的铺垫和论证，让人感觉每一步的推导都是水到渠成的，而不是生硬的知识灌输。

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这本书的配套资源和修订情况是我关注的另一个重点。虽然它是一部经典的重印本，但编辑团队在保持原著精髓的同时，似乎也做了很多幕后工作来确保其在现代学术环境下的可用性。例如，部分早年印刷版中可能存在的微小笔误或排版问题，在新版本中得到了细致的校对和修正。更重要的是，它在某些章节后附带的“Further Reading”或“Historical Notes”部分，指向了最新的研究进展和相关文献，这对于想要从基础走向前沿的读者来说，提供了宝贵的导航图。这体现了一种对知识传承的尊重——既保留了经典的权威性，又不脱离时代的发展，使得它不仅是历史文献，更是一份具有生命力的学习指南。

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坦率地说，我最初翻开这本书时，抱着一种“完成任务”的心态，毕竟经典著作的阅读往往伴随着枯燥和晦涩的刻板印象。然而，这本书的语言风格却出乎意料地具有一种学术上的魅力。它既保持了高度的严谨性，对每一个定义和证明都力求无懈可击，同时又穿插着一些对历史背景和研究动机的简短侧述，这让原本冰冷的数学公式瞬间有了“人情味”和历史厚重感。例如，在讨论某个特定类型的曲面分类时，作者回顾了早期数学家为此付出的努力和争论，这种叙事手法极大地激发了我探究其深层意义的兴趣。它不再是单纯的公式堆砌，而更像是一部精彩的学术探索史诗，让人忍不住想知道“为什么”会是这样，而不是仅仅记住“是什么”。

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