Handbook of Multivalued Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Hu, Shouchuan/ Papageorgiou, Nikolaos Socrates

出品人:

页数:948

译者:

出版时间:2000-1

价格:$ 518.67

装帧:

isbn号码:9780792361640

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 多值分析
• 优化
• 凸分析
• 非光滑分析
• 集合值函数
• 变分不等式
• 控制理论
• 拓扑学
• 泛函分析
• 数学规划

《拓扑学中的连续性与极限：从基础到前沿》 导言 本书旨在为读者提供一个全面而深入的拓扑学基础，重点关注分析学中至关重要的概念——连续性、收敛性与极限。拓扑学作为现代数学的基石之一，为理解函数行为、空间结构以及分析过程的严谨性奠定了理论框架。本书的编写侧重于概念的清晰阐述、严谨的证明过程，以及丰富的应用实例，力求使读者在掌握抽象概念的同时，也能领略其在实际数学分支中的强大威力。 第一部分：拓扑空间的基础 第一章：度量空间回顾与引入 本章首先简要回顾了传统实分析中度量空间的概念，包括距离的性质、开球与闭球的定义。在此基础上，我们引入了拓扑空间的更一般化结构。我们将定义“开集族”作为拓扑学的基本元素，并阐述开集族必须满足的两个关键公理：全集和空集是开集，以及任意多个开集的并集仍是开集，有限个开集的交集仍是开集。我们将探讨不同开集族如何定义出不同的拓扑结构。 第二章：拓扑空间的基本概念 本章深入探讨拓扑空间中的核心术语。我们将定义邻域的概念，并展示邻域与开集之间的内在联系。紧接着，我们将定义拓扑空间中的点集的开性、闭性，以及闭包、内部、边界等重要概念，并详细论证这些概念之间的相互关系。例如，我们将证明一个集合的闭包等于包含该集合的最小闭集，并探讨如何利用边界来刻画空间的“粗糙”或“光滑”程度。 第三章：基础拓扑与构造 本章专注于构造特定的拓扑结构，这是后续深入研究的基础。我们将详细介绍子空间拓扑，即在一个拓扑空间上诱导出其子集的拓扑结构，并探讨其在分析几何问题中的应用。随后，我们将探讨积拓扑，用于处理多个空间构成的笛卡尔积上的结构，这对于函数空间和概率论中的多维分析至关重要。最后，我们将介绍商拓扑，它允许我们将等价关系下的集合“粘合”起来形成新的空间，是理解抽象代数和几何结构的重要工具。 第二部分：连续性、收敛性与分离性 第四章：连续函数与拓扑同胚 本章的核心是拓扑学中“连续性”的精确定义。我们将阐述在一般拓扑空间中，一个函数 $f: X o Y$ 满足“原像下保持开性”的定义，并证明它等价于在度量空间中我们熟悉的 $epsilon-delta$ 定义。我们将比较两种定义之间的异同。本章的重点将放在拓扑同胚（Homeomorphism）的概念上，它描述了两个拓扑空间在结构上是不可区分的。通过同胚的例子和非同胚的例子（例如，圆盘与方形之间的同胚），读者将建立起对拓扑不变性的初步认识。 第五章：收敛性与滤波器 虽然在度量空间中，点列收敛是核心概念，但在更一般的拓扑空间中，点列的限制有时会失效。本章将引入滤波器（Filters）作为推广点列收敛的工具。我们将定义滤波器、超滤器（Ultrafilters）的概念，并展示如何利用它们来重新定义拓扑空间中的收敛性。我们将严格证明，在特定的拓扑空间（如紧致空间）中，点列收敛与滤波器收敛是等价的，而在一般拓扑空间中，滤波器提供了更鲁棒的收敛描述。 第六章：分离公理 拓扑空间根据其“分离点”的能力可以分为不同层次。本章系统地介绍了著名的分离公理系列：$T_0, T_1, T_2$（豪斯多夫/Hausdorff），以及更强的 $T_3$ 和 $T_4$（正则/正规）。我们将详细证明，豪斯多夫空间的重要性在于它保证了极限的唯一性。我们将展示这些公理之间的蕴含关系，并给出每个层次的典型例子（如，实数集 $mathbb{R}$ 上的标准拓扑是 $T_4$ 的，而不可思议的代数拓扑可能仅是 $T_0$）。 第三部分：重要的拓扑性质 第七章：紧致性 紧致性是拓扑学中最强大和最有用的性质之一，它直接联系着函数在空间上的行为。本章将定义紧致性——“任意开复盖存在有限子复盖”——并将其与度量空间中的“有界闭集”的性质进行对比。我们将证明海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）在有限维欧几里得空间中的成立。此外，本章还将深入探讨紧致性的重要性质，例如，紧集在连续函数下的像仍然是紧集，以及积拓扑下紧致性的保持性（提舒宏定理 Tychonoff's Theorem）。 第八章：连通性 连通性描述了一个空间是否可以被分解成不相交的非空开集。我们将定义连通空间和路径连通空间，并探讨它们之间的关系。我们将证明，在路径连通空间中，连续函数保持路径连通性。本章还将介绍连通分支和路径连通分支，这些概念在分析函数域的结构时极为关键。我们将利用连通性来证明中间值定理（Intermediate Value Theorem）的一般化形式。 第九章：可数性与可积性 本章讨论那些与基（Basis）和可数性相关的概念。我们将定义拓扑基和局部基，并探讨可数拓扑空间（如可分空间）的性质。我们将重点讨论可数紧致性，并证明在度量空间中，可数紧致性等价于紧致性。最后，我们将引入可分离性的概念，探讨其在函数分析和泛函分析中作为良化空间先决条件的意义。 结论与展望 本书在最后总结了拓扑学如何为现代分析学（如泛函分析、微分拓扑和概率论）提供了一个坚实而灵活的语言框架。通过对拓扑空间基本结构的细致剖析，读者将能够更深刻地理解极限、收敛以及空间本身的内在几何属性。本书为进一步探索代数拓扑和微分几何等领域打下了不可或缺的理论基础。

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这本书的价值远超出了单纯的教材范畴，它更像是一部数学思想的史诗。阅读它不仅仅是学习知识点，更是在与作者进行一场智力上的深度对话。我特别关注了书中关于非线性算子不动点理论的那几章，作者对Schauder不动点定理的阐述，其严谨性和完整性，是我在其他任何一本主流教材中都未曾见过的。那种对每一个假设条件的细致推敲，对定理适用范围的精确界定，让我体会到数学的真正魅力在于其无可辩驳的逻辑自洽性。对于任何一位希望在应用数学或理论物理的交叉领域深耕的研究者来说，这本书都是一本不可或缺的“内功心法”。它可能不会直接给你解决问题的“公式”，但它会赋予你构建和验证任何潜在解决方案的思维框架和工具箱。总而言之，这是一部经得起时间考验的经典之作。

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从内容广度的角度来看，这本书的覆盖面让人惊叹，它似乎涵盖了从经典分析到现代函数空间理论的几乎所有重要分支，而且各个部分之间的联系被处理得异常紧密。我最欣赏的是作者在引入新概念时所采用的“渐进式复杂化”的策略。例如，在引入一个新的拓扑结构时，作者会先从最简单的欧几里得空间中的类比现象开始，然后逐步增加约束条件，最终导出该理论在更抽象空间中的一般形式。这种处理方式极大地降低了理解曲线的坡度。我感觉自己仿佛在一位经验极其丰富的导师的指导下进行学习，他知道在哪里设置陷阱，在哪里提供必要的脚手架。这本书的深度和广度使得它在我的书架上占据了一个核心位置，我确信，无论我的研究如何深入，我总能从中找到新的视角和尚未被充分挖掘的细节。

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我必须承认，这本书的阅读体验是两极分化的。如果你带着一种“希望找到现成答案”的心态来翻阅，那你很可能会失望而归。它更像是一本引导你进行深入探索的地图册，而不是一份现成的旅行指南。书中大量的例证和反例设计得非常巧妙，它们并非是为了简单地巩固刚学过的概念，而是为了揭示理论的边界和适用范围。例如，在讨论某些泛函的性质时，作者给出的一个反例，直接颠覆了我之前对该类函数行为的直观认知，让我意识到“直觉”在高级数学面前是多么的不可靠。这本书的排版清晰，公式的编号和引用系统堪称典范，这在查阅和交叉引用时显得尤为重要。我曾经花了一个下午的时间，仅仅是为了追溯一个在第十章中出现的辅助引理的原始出处，这种细致入微的编排，体现了作者对知识传承的尊重。

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这部著作的封面设计着实令人眼前一亮，那种沉稳中带着一丝不苟的专业气息，让人立刻对接下来的内容充满了期待。装帧的质感也相当不错，厚实的纸张和精良的印刷工艺，使得每一页翻阅起来都成为一种享受。我特别欣赏扉页上那句引言，虽然我已经不记得具体措辞了，但那种对数学严谨性的追求，仿佛已经预示了书中内容的深度。在初步浏览目录时，我被其宏大的结构所震撼，从基础的集合论铺陈开来，逐步深入到更复杂的拓扑结构和函数空间，每一步的逻辑衔接都如同精密的机械运作，让人不得不佩服作者在构建知识体系上的深厚功力。这本书无疑是一本为严肃学者准备的工具书，它不迎合初学者的认知习惯，而是直接将读者置于一个高阶的学术环境中，要求你带着现有的知识储备去挑战和吸收。那种扑面而来的学术气场，对于正在撰写毕业论文的我来说，简直是如虎添翼般的存在。光是目录的梳理，就已经为我的研究方向提供了清晰的脉络指引，这比我阅读数篇分散的期刊文章都要有效得多。

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这本书的行文风格极其简洁，几乎没有多余的修饰词或口语化的表达，完全是一种纯粹的数学语言在对话。起初阅读时，我感觉自己像是在攀登一座陡峭的山峰，每一步都需要精确的计算和严密的推理，稍有不慎就会在某个证明的细节处迷失方向。作者对于定理的陈述极为凝练，往往是一句话就概括了一个复杂结构的本质，这对于那些已经对相关领域有所涉猎的人来说，无疑是极高的效率，但对于希望获得更直观理解的读者，则可能需要反复咀嚼。我记得在处理关于度量空间稳定性的那几章时，我不得不频繁地翻阅附录中的基础概念，以确保自己对每一个符号的意义都能做到百分之百的把握。这种高强度的阅读体验，虽然耗费心神，但一旦成功突破一个难点，那种成就感是无与伦比的。它强迫你从“理解”升华到“掌握”的层次，真正体会到数学之美的冷峻与力量。

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