Painleve Equations Through Symmetry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Noumi, Masatoshi/ Noumi, Masatoshi (TRN)

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价格:533.00 元

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isbn号码:9780821832219

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• Painlevé equations
• Differential equations
• Symmetry
• Integrability
• Nonlinear analysis
• Mathematical physics
• Solitons
• Lie groups
• Geometry
• Special functions

泛函分析与偏微分方程：现代研究前沿 本书聚焦于泛函分析的经典理论及其在现代偏微分方程研究中的前沿应用，系统梳理了线性与非线性算子理论、变分法、以及各种经典偏微分方程的定性与非定性解的存在性、唯一性、稳定性和正则性。 --- 第一部分：泛函分析基础与算子理论 第1章：希尔伯特空间与巴拿赫空间 本章深入探讨了无限维线性空间的核心概念。从向量空间的基本定义出发，详尽阐述了内积空间、范数、拓扑结构以及完备性的重要性。希尔伯特空间的完备性使得傅里叶分析和正交分解成为可能，本章重点分析了闭凸集上的投影定理，这是变分法和优化理论的基石。巴拿赫空间的部分则着重于线性泛函的性质，特别是利用Hahn-Banach定理来构造重要的线性泛函，为后续的强收敛和弱收敛概念打下基础。此外，还讨论了有界线性算子（有界闭图像定理）的性质及其在求解线性偏微分方程中的作用。 第2章：算子谱理论入门 谱理论是理解线性算子性质的关键。本章从有界算子的谱的概念开始，逐步过渡到紧算子（Compact Operators）的Riesz理论。紧算子在无限维空间中扮演着“有限维化”的角色，是理解Fredholm积分方程和某些偏微分方程特征值问题的桥梁。我们详细分析了自伴算子的谱分解定理，该定理在量子力学和半群理论中具有核心地位。对于一般线性算子的谱，讨论了解析函数演算（Functional Calculus），如何通过解析函数将算子的性质传递到谱结构上，并引入了谱半径公式。 第3章：分布与 Sobolev 空间 偏微分方程的解往往不具备传统意义上的光滑性。本章是现代 PDE 理论的基石。首先系统介绍了测试函数空间 $mathcal{D}(Omega)$ 和分布（Generalized Functions）的概念，使得对广义导数的处理成为可能。重点阐述了Sobolev空间 $W^{k,p}(Omega)$ 的定义、性质、嵌入定理（包括Rellich-Kondrachov紧性定理）以及关键的Sobolev不等式。这些工具是建立和证明变分解（弱解）存在性的核心工具，特别是对于那些解可能只存在于一阶或二阶导数上的问题。 --- 第二部分：变分法与能量方法 第4章：直接法与能量泛函 本章的核心是变分法的“直接法”（Direct Method in the Calculus of Variations）。我们首先定义了能量泛函 $J(u)$，并讨论了函数空间上的收敛性（如紧性）。通过分析泛函的下半连续性、一致凸性（Strict Convexity）和强制性（Coercivity），可以利用Weierstrass极值定理的推广，证明极小值点的存在性。该方法被广泛应用于求解静力学、弹性理论和最小曲面问题。 第5章：变分原理与拉格朗日-欧拉方程 本章连接了变分法与偏微分方程的推导。详细阐述了变分原理如何导出欧拉-拉格朗日方程（即偏微分方程）。特别关注了椭圆型方程的变分构造，如泊松方程及其在稳态问题中的应用。引入了 Gâteaux 导数和 Fréchet 导数，用以精确描述泛函的变分，并推导出必要的最优性条件。 第6章：正则性理论（Regularity Theory） 如果一个方程的弱解存在，那么它是否也是强解？本章致力于探讨解的光滑性。针对椭圆型方程，从基本的最大值原理（Maximum Principle）开始，逐步推导 $L^2$ 估计、内部估计，最终利用迭代过程证明 $W^{2,p}$ 估计和 $C^{2,alpha}$ 估计。对于非线性问题，我们讨论了由线性化算子谱决定的正则性提升，以及如何利用势能结构来简化正则性分析。 --- 第三部分：经典偏微分方程的定性理论 第7章：椭圆型方程：拉普拉斯与泊松问题 本章集中研究如下形式的二阶线性与非线性方程：$mathcal{L}u = f$。详细分析了经典泊松方程在不同边界条件下的解的唯一性（基于最大值原理）和存在性（利用狄利克雷空间或Sobolev空间中的变分构造）。对于非线性（如 $Delta u + g(u) = f$），我们讨论了拓扑度理论在证明解存在性中的应用，并深入分析了均匀椭圆型算子（Uniformly Elliptic Operators）的性质。 第8章：抛物型方程：热传导与扩散过程 抛物型方程描述了时间演化的耗散系统。本章着重分析了初值-边值问题（Cauchy-Dirichlet Problem）。时间导数和空间导数的不同阶数导致了独特的传播性质，例如无穷远处的定性行为和奇点形成（blow-up）的抑制。引入了能量方法和特性的概念来分析抛物型方程的解的性质，并讨论了半群理论在无穷时间行为分析中的应用。 第9章：双曲型方程：波动与守恒律 双曲型方程，如波动方程，描述了波的传播，其特征在于信息只能以有限速度传播。本章详细研究了波动方程的解的构造（达朗贝尔公式），以及 Huygens 原理的物理意义。在守恒律（Conservation Laws）方面，重点分析了黎曼问题的解法，以及由于非线性项引起的间断解（Shock Waves）的引入——即熵解（Entropy Solutions）的概念和晁氏条件（Compensated Compactness）在证明其存在性中的应用。 第10章：稳定性与长期行为 本章关注系统的长期演化。通过 Lyapunov 函数或耗散能量的分析，证明了许多物理系统（如耗散型波动方程或反应-扩散系统）解的渐近稳定性。讨论了耗散性系统中的吸引子（Attractors）理论，特别是关于光滑吸引子的存在性和维度的估计，揭示了复杂系统内部的低维结构。 --- 第四部分：高级主题与现代发展 第11章：非线性椭圆方程与分支理论 对于 $Delta u + lambda u = f(u)$ 这样的非线性特征值问题，本章探讨了分支（Bifurcation）现象。利用 Krasnoselskii-Rabinowitz 定理，分析了当参数 $lambda$ 变化时解的结构如何发生定性变化。此外，还讨论了度量空间上的非线性椭圆方程，特别关注了具有不规则项的方程，如 $p$-拉普拉斯方程。 第12章：演化系统中的奇性形成 本章深入探讨了非线性演化方程中解的“爆破”（Blow-up）现象。这在反应-扩散系统（Reaction-Diffusion Systems）和非线性波动方程中非常常见。通过临界指数的分析和最大/最小原理的精细化应用，确定了解在有限时间内发散的条件，并分析了爆破的类型和几何结构。 第13章：随机偏微分方程（SPDEs）概述 在处理大量不确定性输入（如噪声或湍流）时，随机偏微分方程成为必需。本章介绍了随机过程的基本工具，特别是 Wiener 过程，并将其应用于随机泊松方程和随机热方程。重点在于如何将泛函分析工具扩展到随机环境中，例如使用随机积分和 $L^2$ 空间上的随机算子理论来定义和分析解的随机性质。 --- 本书的构建旨在为研究生和研究人员提供一套完整的现代偏微分方程工具箱，强调从基础泛函分析到复杂非线性、随机系统的理论桥梁，为解决实际工程和物理问题提供坚实的数学基础。

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初翻阅此书时，我立刻感受到了作者在内容组织上的匠心独运。它似乎并非仅仅是罗列公式和定理的教科书，而更像是一场精心策划的智力探险。叙述的节奏把握得极为精妙，从基础概念的引入，到复杂理论的层层递进，过渡自然流畅，仿佛一位经验丰富的向导，带领读者逐步深入到这个高度抽象的数学领域。其中穿插的历史背景介绍和对关键人物贡献的梳理，极大地丰富了阅读的层次感，使得原本枯燥的理论学习过程充满了人情味和探索的乐趣。这种叙事方式有效地缓解了初学者可能产生的畏难情绪，让人感觉每一步的跨越都是在坚实的基础上实现的，而非空中楼阁。

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书中对不同问题的分析角度展现了令人叹服的深度和广度。我特别欣赏作者在论证过程中所采用的跨学科视角，它似乎从代数几何、微分方程乃至更广泛的动力系统理论中汲取养分，构建了一个多维度的理解框架。对于每一个核心的Painlevé方程，作者都以近乎苛刻的严谨性对其性质进行了剖析，但这种严谨性并未以牺牲可读性为代价。复杂的推导过程被分解成一系列逻辑清晰的步骤，每一步的动机和结论都交代得非常明白，极大地帮助读者构建起完整的知识脉络。这种处理方式，对于希望深入研究的进阶读者而言，提供了极佳的参考价值，让人能够透过表面现象，直抵问题的本质。

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尽管这本书的学术水准极高，但其定价和可获取性却是需要考虑的实际问题。可以明显感受到这是一部面向专业研究人员和高年级研究生的作品，其深度和广度要求读者具备扎实的预备知识背景。对于那些仅仅希望对该领域有一个初步了解的爱好者来说，这本书的门槛可能略高，部分章节的阅读需要极大的专注度和毅力。然而，对于立志于在非线性可积系统领域深耕的学者而言，这本书无疑是一笔宝贵的财富，它提供的详尽论证和丰富引用，是构建未来研究起点的重要基石。总而言之，这是一部份量十足、经得起时间检验的经典之作。

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这本书的独特之处在于其对“对称性”这一核心概念的持续强调和贯穿始终的应用。很多同类书籍在处理Painlevé方程时，往往将对称性视为一个附加的工具，而本书则将其提升到了核心哲学的地位。作者通过展示各种变换如何保持方程结构不变，从而揭示了其内在的深层联系和不变性质。这种思维方式的培养，远比单纯掌握解题技巧更为重要。它教会我们如何用一种更具洞察力的方式去审视数学结构，这种对“不变性”的追求，是所有高等数学研究的共同主题，使得这本书的价值超越了Painlevé方程本身，具有更广泛的指导意义。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，精装的质感拿在手里沉甸甸的，封面采用了深沉的钴蓝色调，配上烫金的书名和作者信息，散发出一种古典而又严谨的学术气息。纸张的选择也非常考究，厚实而富有韧性，印刷清晰，字号排版适中，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。整体而言，这本书在视觉和触觉上都提供了一种非常愉悦的阅读体验，看得出出版方在实体制作上倾注了不少心血。对于那些珍视纸质书收藏价值的读者来说，单凭这份精美的外壳，就已经值回票价了。它不仅仅是一本数学专著，更像是一件值得陈列在书架上的艺术品，散发着知识的重量感。

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