Applied Numerical Methods Using MATLAB pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Yang, Wo?n-yo?ng (EDT)/ Cao, Wenwu/ Chong, Tae-Sang/ Morris, John

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:2005-5

价格:1152.00元

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isbn号码:9780471698333

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数值分析与计算方法：理论、算法与实践 本书旨在为读者提供一个全面而深入的数值分析与计算方法体系。我们将从基础概念出发，逐步深入到各种核心算法的原理、推导、实现与应用，最终帮助读者建立起扎实的理论基础和娴熟的计算实践能力。本书的内容涵盖了从方程求解、函数逼近到数值积分、微分方程求解等一系列关键的数值计算领域，并着重强调理论与实践的紧密结合。 第一部分：绪论与基础 在正式展开各种数值计算方法之前，我们首先需要建立起对数值计算的基本认知。本部分将阐述数值计算在科学与工程领域的广泛应用，解释为何我们需要数值方法来解决实际问题，并介绍数值分析的基本思想，如近似、误差分析等。 数值计算的意义与范围： 探讨在现实世界中，许多数学问题无法通过解析方法获得精确解，例如复杂的积分、高阶非线性方程组等。数值计算的重要性在于其能够提供近似解，满足工程设计、科学模拟等实际需求。本书将重点关注那些可以通过计算机程序实现并得到可接受精度结果的计算方法。 误差的来源与分析： 任何数值计算都不可避免地存在误差。我们将详细介绍误差的几种主要来源： 截断误差（Truncation Error）： 源于用有限项近似无限级数或用近似公式代替精确公式，例如泰勒展开中的余项。 舍入误差（Round-off Error）： 源于计算机在表示和计算过程中使用有限的二进制位数，导致对实数的近似表示。 模型误差（Model Error）： 源于用于描述真实世界的数学模型本身就是一种近似，与真实情况存在差异。 我们将学习如何量化和控制这些误差，理解误差传播的规律，并掌握如何通过选择合适的算法和精度来减小误差对最终结果的影响。 算法的性能指标： 除了精度，算法的效率也是衡量其优劣的重要标准。我们将讨论计算复杂度，例如时间复杂度和空间复杂度，以及如何选择在精度和效率之间达到最佳平衡的算法。 第二部分：方程组的求解 方程组的求解是科学计算中最基本且最核心的问题之一。本书将系统介绍求解代数方程组（包括线性方程组和非线性方程组）的各种数值方法。 线性方程组的直接法： 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 介绍其基本原理、步骤以及如何通过行变换将增广矩阵化为上（或下）三角矩阵，然后回代求解。我们将深入分析其操作次数和潜在的数值稳定性问题，并引入LU分解作为一种高效且可以重复使用的求解策略。LU分解将系数矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，从而将求解Ax=b转化为求解Ly=b和Ux=y的两个更容易求解的问题。 克劳特法（Crout Method）与杜利特尔法（Doolittle Method）： 作为LU分解的变种，将更详细地介绍它们的计算过程和适用性。 Cholesky分解（Cholesky Decomposition）： 针对对称正定矩阵，介绍其计算效率更高的分解方法。 列主元消去法（Pivoting）： 讨论为提高高斯消元法的数值稳定性，如何通过交换行（部分主元法）或行和列（全主元法）来选择合适的“主元”。 线性方程组的迭代法： 当方程组规模巨大时，直接法可能计算量过大或数值不稳定。迭代法通过构造一系列近似解，逐步逼近真实解。 雅可比迭代法（Jacobi Iteration）： 介绍其迭代公式的推导，并讨论其收敛条件。 高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）： 相较于雅可比法，高斯-赛德尔法在每一步迭代中都会使用最新计算出的分量，因此通常收敛更快。我们将分析其迭代过程和收敛性。 超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）： 作为高斯-赛德尔迭代法的改进，通过引入一个松弛因子来加速收敛。 共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）： 针对对称正定矩阵，是一种非常高效的迭代方法，尤其适用于大型稀疏线性系统。 非线性方程（组）的求解： 二分法（Bisection Method）： 介绍其基本思想，利用零点定理，不断缩小包含根的区间。分析其可靠性与收敛速度。 牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Method）： 基于泰勒展开，利用函数的一阶导数来逼近根。详细推导其迭代公式，并讨论其快速的二次收敛性，同时指出其对初始猜测值的敏感性和可能存在的导数为零的问题。 割线法（Secant Method）： 作为牛顿法的近似，使用两个点上的函数值来近似导数，避免了计算导数的麻烦。 不动点迭代法（Fixed-Point Iteration）： 将方程f(x)=0转化为x=g(x)的形式，然后进行迭代。分析其收敛条件（|g'(x)| < 1）。 多维非线性方程组的牛顿法： 将牛顿法的思想推广到多维空间，需要计算雅可比矩阵，并通过求解线性方程组来更新迭代点。 第三部分：函数逼近与插值 在许多应用中，我们可能只有离散的数据点，或者需要用更简单的函数来近似复杂的函数。本部分将探讨各种函数逼近与插值的方法。 多项式插值： 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）： 介绍拉格朗日插值多项式的形式及其构造方法。分析其优点（形式简洁）和缺点（收敛速度慢，且随着节点增加，数值稳定性可能变差，出现Runge现象）。 牛顿插值（Newton Interpolation）： 介绍牛顿插值多项式的分点差形式，以及如何通过计算均差来构建多项式。强调其优点在于添加新数据点时，只需计算新的均差，而无需重构整个多项式。 差商与均差： 详细介绍差商的定义及其计算方法，以及它们与插值多项式系数的关系。 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）： 介绍三次样条是一种分段三次多项式，在连接点处具有连续的一阶和二阶导数，能够生成平滑的曲线，并解决高次多项式插值的Runge现象。 函数逼近： 最小二乘法（Least Squares Approximation）： 当数据点存在噪声时，我们不一定追求精确插值，而是寻找一个函数（通常是多项式）使得实际数据与拟合函数之间的误差平方和最小。介绍其原理和求解方法。 傅里叶级数与变换： 介绍如何将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，以及傅里叶变换在信号处理和数据分析中的应用。 切比雪夫逼近（Chebyshev Approximation）： 介绍如何选择一组基函数（如切比雪夫多项式）来最佳逼近函数，以最小化最大误差。 第四部分：数值积分与微分 数值积分用于计算定积分的近似值，而数值微分则用于估计函数的导数值。 数值积分（Quadrature Formulas）： 梯形法则（Trapezoidal Rule）： 基于用直线连接数据点来近似曲线，将积分区间分成若干小段，每段用梯形面积近似。 辛普森法则（Simpson's Rule）： 使用抛物线来近似曲线，通常比梯形法则精度更高。介绍其基本形式和复合辛普森法则。 牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes Formulas）： 介绍一系列基于等距节点的求积公式，包括梯形法则和辛普森法则等。 高斯求积（Gaussian Quadrature）： 介绍一种更为高级的求积方法，通过选择合适的节点和权重，可以在较低节点数下达到很高的精度。 数值微分： 有限差分法（Finite Difference Method）： 使用函数在邻近点的值来近似导数。介绍前向差分、后向差分和中心差分，并分析它们的精度。 第五部分：常微分方程的数值解 求解常微分方程（ODEs）是科学研究和工程模拟中的常见问题。本部分将介绍几种求解初值问题和边值问题的数值方法。 初值问题（Initial Value Problems, IVPs）： 欧拉方法（Euler's Method）： 最简单的数值解法，基于斜率的线性外插。介绍显式欧拉法和隐式欧拉法，并分析其一阶精度。 改进欧拉法（Improved Euler Method）/斜率法（Heun's Method）： 结合了预测-校正的思想，提高了精度。 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）： 一类非常重要的求解ODEs的方法，通过在区间内评估多个斜率来提高精度。详细介绍经典的四阶龙格-库塔方法（RK4），并讨论其高阶精度和广泛应用。 多步法（Multistep Methods）： 利用先前计算出的点来预测当前点的值。介绍亚当斯-巴什福斯法（Adams-Bashforth）和亚当斯-穆尔顿法（Adams-Moulton）等。 边值问题（Boundary Value Problems, BVPs）： 打靶法（Shooting Method）： 将边值问题转化为一系列初值问题，通过调整初值来满足边界条件。 有限差分法： 将微分方程在离散网格点上用有限差分近似，转化为代数方程组求解。 第六部分：收敛性、稳定性和误差控制 在数值计算中，理解算法的收敛性（是否逼近真实解）和稳定性（对微小扰动的敏感性）至关重要。 收敛性分析： 探讨不同数值方法的收敛阶，以及如何通过减小步长或增加迭代次数来提高精度。 稳定性分析： 讨论数值方法可能出现的发散现象，以及如何选择稳定的算法来避免误差的积累和放大。 自适应步长法： 介绍如何根据局部误差估计来动态调整计算步长，从而在保证精度的同时提高计算效率。 第七部分：高级主题与应用 特征值与特征向量的计算： 介绍幂法、反幂法、QR算法等用于求解大型矩阵的特征值与特征向量的方法。 傅里叶分析的数值实现： 介绍快速傅里叶变换（FFT）及其在信号处理、数据分析中的应用。 数值优化： 介绍无约束和约束优化问题的数值解法，如梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。 数值线性代数在机器学习中的应用： 探讨如何将本书介绍的数值方法应用于解决机器学习中的核心问题，如模型训练、数据降维等。 学习方法与实践建议 本书不仅注重理论的深入讲解，更强调通过实际的计算练习来巩固所学知识。我们鼓励读者动手实践，利用编程工具（例如，本书假设读者具备一定的编程基础，并将通过概念性的描述来指导编程实现，而非局限于特定软件的语法）来实现各种算法，并将其应用于解决实际问题。通过对算法进行测试，观察不同参数设置下的结果，以及分析误差，读者将能更深刻地理解数值方法的精髓。 本书为读者提供了一个坚实的数值分析知识框架，为他们在后续的科学研究、工程计算以及数据科学等领域打下坚实的基础。通过对本书内容的学习和实践，读者将能够自信地选择、实现和应用合适的数值方法来解决复杂问题。

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我是一位资深的结构工程师，过去处理非线性问题时，往往依赖于商业软件的内置求解器，从未深究其内部逻辑。出于职业好奇心，我决定购买并深入研究这本书，希望能对我们日常使用的工具有一个更本质的认识。这本书在处理优化问题，特别是无约束优化时，表现得尤为出色。它没有停留在早期的最速下降法，而是详尽地对比了牛顿法、割线法以及拟牛顿法（如BFGS算法）在收敛速度和计算成本之间的权衡。最关键的是，书中清晰地阐述了如何在实际计算中构建Hessian矩阵的近似，这对于处理那些需要计算二阶导数的复杂目标函数至关重要。更让人信服的是，作者在介绍每种方法时，都会提供一个关于**算法鲁棒性**的讨论，比如在梯度计算出现数值不稳定的情况下，程序应该如何应对。这种对“边界情况”的关注，体现了作者深厚的工程实践经验。对于像我这样需要确保仿真结果准确性和可重复性的专业人士来说，这本书提供的知识框架，远比任何一个软件的用户手册都要有价值得多。

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说实话，刚翻开这本《应用数值方法与MATLAB实现》时，我本以为它会是一本枯燥乏味的参考书，主要用于查阅某个特定算法的公式。然而，我错了。这本书的叙事方式非常具有引导性，它没有采用那种“先抛定义，后给例子”的传统教学模式，而是更倾向于**“先观察现象，再探究机理”**的工程思维。比如，在处理微分方程的初值问题时，它没有直接给出Runge-Kutta方法的公式，而是先用一个简单的欧拉方法模拟了一个物理过程（比如弹簧振子的运动），然后指出欧拉法的误差积累速度太快，这才自然地引出更高阶方法的必要性。这种层层递进的结构，极大地增强了阅读的连贯性和逻辑性。更让我惊喜的是，书中对MATLAB的特性运用得炉火纯青，很多本该在编程语言课上学习的技巧，如向量化操作、矩阵分解的效率对比，都被巧妙地嵌入到数值算法的讲解中。这使得读者在学习数值方法的同时，也自然而然地提升了MATLAB的编程效率和代码的优化能力。对我个人而言，这本书极大地弥补了我在“理论理解”和“工程实现”之间的鸿沟。

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我接触过市面上好几本关于数值分析的书籍，大部分要么是过于注重理论的纯数学论述，读起来像一本高等数学的延伸，让人望而却步；要么就是编程实例堆砌，代码虽然跑起来了，但背后的数学原理却讲得稀里糊涂，代码的“黑箱化”让人对结果的可靠性产生怀疑。这本书巧妙地找到了一个平衡点，它简直是为那些“动手能力强，但数学基础稍弱”的工程师群体准备的“翻译器”。例如，在讲解插值法时，它不仅详细解析了拉格朗日插值的结构，更深入探讨了分段三次样条（Cubic Spline）如何在保证一阶和二阶连续性的同时，有效避免了龙格现象，并且随后立马跟进了一段结构清晰、注释详尽的MATLAB脚本，展示了如何通过矩阵构建来求解样条的系数。更让我印象深刻的是，作者似乎非常了解初学者的痛点，他们会特意强调在实际编程中应如何处理**病态问题（Ill-conditioned problems）**，而不是一味地展示“完美”的求解过程。这种对现实工程约束的关注，让这本书的实用价值远超理论探讨。我几乎可以将这本书视为一本高级的“算法实现手册”，而非单纯的教材。

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这本书的排版和图示设计也值得称赞。在处理诸如傅里叶变换或偏微分方程的离散化这类视觉复杂度较高的内容时，作者没有采用密密麻麻的文字堆砌，而是大量使用了清晰的流程图和二维/三维的图形解释。例如，在讲解有限差分法求解二维泊松方程时，书中的网格划分示意图和相邻节点间的关系图，使得原本抽象的差分方程形式变得直观易懂。这种视觉辅助对于快速建立空间感和理解算子离散化至关重要。另外，这本书在误差分析部分也做得非常细致，它区分了**截断误差（Truncation Error）**和**舍入误差（Round-off Error）**，并明确指出在不同的计算阶段，哪种误差占据主导地位。这种细致的区分，对于那些需要进行高精度计算的科研人员来说，是极其宝贵的指导。总而言之，这是一本在理论深度、代码实践和阅读体验上都达到了极高水准的工具书，它成功地将一门通常被认为晦涩的学科，转化成了一套系统化、可操作的工程技能包。

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这本《应用数值方法与MATLAB实现》的书籍，在我看来，简直是为我这种既想深入理解数值计算的理论精髓，又渴望看到实际代码支撑的工科学生量身定做的。我记得我刚接触有限元分析（FEA）的时候，那些矩阵求逆和迭代求解的公式看得我头晕脑涨，总觉得它们是悬浮在空中的数学概念，缺乏一个落地的支点。这本书的厉害之处就在于，它没有仅仅停留在抽象的数学推导上，而是紧密地将这些算法——比如牛顿法在非线性方程组中的应用，或者拉普拉斯算子在离散化时的边界条件处理——与MATLAB的编程实现紧密结合起来。当我看到书中使用`m-file`函数清晰地展示了如何用雅可比迭代法求解大型稀疏线性系统时，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它不像某些教科书那样，把MATLAB代码当作一个可选的附录，而是将其视为理解算法复杂性、误差传播和收敛速度的**核心工具**。通过亲自敲写和运行书中的示例，我不再是死记硬背欧拉法的公式，而是真正体会到了时间步长对解的稳定性和精度的决定性影响。对于需要进行大量工程仿真和数据拟合的读者来说，这本书提供的不仅仅是知识，更是一种**即插即用**的实战能力。我强烈推荐给那些已经掌握了基础微积分和线性代数，正准备向专业数值计算领域迈进的同行。

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